内蒙古通辽市高三4月模拟考试数学（理）试题

2022届内蒙古通辽市高三4月模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】在数轴上分别作出集合，集合，再由交集的概念取相交部分.【详解】因为，，所以．故答案为：A.2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的四则运算直接计算即可.【详解】因为，所以，故选：C.3．椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆方程可得，再结合三角形周长，得，进而可得离心率.【详解】因为，所以.因为的周长为，所以，所以，所以椭圆的离心率为，故选：B.4．已知命题，；命题，．则下列命题中为真命题的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分别判断出命题的真假，再去判断各选项的真假.【详解】当时，，则命题，为假命题，则为真命题；令，，则，则在上为减函数，又，则在上恒成立，即，．则命题，为假命题，则为真命题.选项A:为假命题；选项B:为假命题；选项C:为假命题；选项D:为真命题.故选：D5．若实数x，y满足约束条件则的最小值为（

）A．0 B． C．﹣3 D．﹣1【答案】C【分析】根据题意作出了可行域，进而根据的几何意义求出最小值.【详解】作出不等式组对应的可行域如下图，可知，当直线经过点的交点即（﹣1，2）时，z取得最小值﹣3．故选：C.6．若函数（且）在R上既是奇函数，又是减函数，则的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求得的解析式中参数的值和的取值范围，再去判断其图像形状.【详解】因为函数在R上是奇函数，所以，所以，经检验，满足题意，又因为为减函数，所以，则（）由可知的图象关于直线轴对称，排除选项CD；又的大致图象为B．故选：B7．函数的部分图象如图所示，则函数的图象可以由的图象（

）A．向左平移个单位长度得到 B．向左平移个单位长度得到C．向右平移个单位长度得到 D．向右平移个单位长度得到【答案】D【分析】先求得函数的解析式，再去判断函数的图象与的图象间的关系.【详解】由图可知，，则，所以．由，，得，所以．函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，所以D正确．故选：D8．某市为推进“垃圾分类”这项工作的实施，开展了“垃圾分类进校园”的活动.现对该市某学校高二年级示范班级学生进行考核，从该班男生､女生中各随机选出5名进行考核打分，满分为100分，评分后得到这10人得分的茎叶图如图所示，则选出的男生､女生得分的方差分别为（

）A．8；6 B．6；8 C．64；36 D．36；64【答案】A【分析】利用平均值和方差公式，即可求解.【详解】男生得分的平均值为，方差为；女生得分的平均值为，方差为.故选：A.9．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，现日益成为人们了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块各完成一次，则“挑战答题”板块与其他三个答题板块在完成顺序上均不相邻的学习方法种数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分情况讨论当“挑战答题”板块在首或尾时与当“挑战答题”板块不在首尾时的排法，进而得解.【详解】当“挑战答题”板块在首或尾时，则与“挑战答题”板块相邻的只能是“阅读文章”或“视听学习”板块，其他任意排，共有种不同的排法；当“挑战答题”板块不在首尾时，则与“挑战答题”板块相邻的只能是“阅读文章”和“视听学习”板块，其他任意排，共有种不同的排法.所以“挑战答题”板块与其他三个答题板块在完成顺序上均不相邻的学习方法种数为，故选：A.10．如图，在直角梯形ABCD中，，，，将直角梯形ABCD沿对角线折起，使平面平面BCD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】取BD的中点F，连接AF，则，通过面面垂直的性质定理可得到平面BCD．过C作，且使，连接AE，EF，BE，FC则为所求的角，在分别求出的大小，即可求出答案.【详解】在直角梯形ABCD中，因为，，，所以，，取BD的中点F，连接AF，则．又因为平面平面BCD且交于BD，所以平面BCD．过C作，且使，连接AE，EF，BE，FC则为所求的角．在中，，在中，．因为，所以为直角三角形．所以，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为．故选：B.11．已知函数为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据偶函数求出时，，然后求导，再计算，然后利用点斜式方程写出切线方程.【详解】因为为偶函数，设，则，所以，所以.因为当时，，所以，所以曲线在处的切线方程为，即.故选：D.12．函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具．初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次的有理运算及有限次的复合所产生的，且能用一个解析式表示的函数，如函数，我们可以作变形：．所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数．已知初等函数，，则（

）A．B．当时，；当时，C．D．当时，；当时，【答案】A【分析】由已知中的变形可得，；由，分别在、和时，得到与的大小关系，结合指数函数单调性可得的大小关系.【详解】，；，当时，，，；当时，，，；当时，，，；综上所述：.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查两个函数之间大小关系的比较，解题关键是能够根据已知中所给的变形思路，将所给函数变形为复合函数的形式，进而将函数大小关系的比较转化为幂指数大小的比较问题.二、填空题13．设向量，且，则___________.【答案】5【分析】由得：，分别求出，代入即可得出答案.【详解】因为，所以，，因为，所以，所以.故答案为：5.14．双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线E的离心率为______．【答案】2【分析】列方程得到关于双曲线E的a、c的等式，即可求得双曲线E的离心率.【详解】圆的圆心（2，0），半径为1双曲线的渐近线因为双曲线E的渐近线与圆C相切，所以，则．故答案为：215．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______．【答案】2【分析】由正弦定理化简即可求出答案.【详解】因为，所以，所以，所以．因为，所以．故答案为：2.16．《九章算术》是我国古代数学名著，书中记载的鳖臑是四个面均为直角三角形的四面体．如图所示的为一个鳖臑的正视图和侧视图，已知为直角三角形，且D为BC的中点，为等腰直角三角形，若此鳖臑的体积为，则其外接球的体积为______．【答案】【分析】先画出鳖臑的直观图，再依据该直观图的结构特征求得其外接球的半径，进而求得其外接球的体积.【详解】由正视图和侧视图可知该鳖臑的直观图如图所示，，Q为ON的中点，，平面OMN设，则，，，．所以该鳖臑的体积为．由，得．因为其外接球的直径为，所以外接球的体积为．故答案为：三、解答题17．已知数列的前项和为，且.(1)证明：为等比数列.(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列；（2）求出，利用裂项相消法可求得.【详解】(1)证明：因为，所以当时，，可得；当时，由可得，所以，所以.即是首项为，公比为的等比数列，所以，.(2)解：由（1）知，所以.18．盲盒，是指消费者看不见里边所装物品的盒子，具有随机属性，只有打开才会知道自己抽到了什么．现有9个盲盒，每一个都装有1个商品，里边商品价值不超过10元的有5个，超过10元的有4个．现有甲、乙两人轮流取出1个盲盒拆开，甲先取，取后拆开不放回，直到两人中有一人取到装有超过10元商品的盲盒时终止，每个盲盒每一次被取出的机会是均等的．(1)求取盲盒3次即终止的概率；(2)求甲取到装有超过10元商品的盲盒的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用古典概型的概率求解；（2）根据甲先取，由甲只可能在第1次，第3次和第5次取到求解.【详解】(1)解：设事件A为“取盲盒3次即终止”，所以．(2)设事件B为“甲取到装有超过10元商品的盲盒”，“第i次取到装有超过10元商品的盲盒”为事件，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到，则，，，所以，，.19．如图，在四棱锥中，，，，，，.(1)证明：平面.(2)若为的中点，求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；（2）以为坐标原点，以，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量求二面角的方法即可求出答案.【详解】(1)证明：由题可知为等边三角形，所以，.在中，由余弦定理得，所以，所以.因为，且，所以平面.因为平面，所以.因为，且相交，所以平面.(2)以为坐标原点，以，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则，.设平面的法向量为，则令，得.取平面的一个法向量为，则.由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.20．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，且．(1)求抛物线E的标准方程．(2)过的直线与抛物线交于两点，与准线交于点，若直线的斜率分别为，证明：是，的等差中项．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设出的坐标，根据点在抛物线上，列方程组求解；（2）设出直线方程，和抛物线联立，结合韦达定理求解.【详解】(1)由抛物线的定义知，因为在抛物线E上，所以，解得，所以抛物线E的方程为．(2)由（1）知，，．由题意，显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，．联立方程组，得，则，．因为，所以．因为，，所以，所以，于是是，的等差中项．21．已知函数．(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；(2)若的图象与直线有两个不同的交点，，求实数的取值范围，并证明．【答案】(1)；(2)实数的取值范围是，证明见解析.【分析】（1）求出导数；在上单调递增，即在上恒成立，只需满足，构造函数，利用导数求出即可.（2）①问题等价转化：函数的图象与直线有两个不同的交点，有两个实数解，化简得：有两个不相等的实数根在上有两个不同的零点，；②利用导数讨论函数的零点：对函数求导，讨论单调性，得到，在上两个不同的零点，则需满足：且在和上存在大于，计算即可；③利用极值点偏移证明不等式：设，即，构造函数关于对称：，求导判断，即；代换，得：，利用单调性即可证：.【详解】(1)由，得．在上单调递增，所以在上恒成立，，即在上恒成立．令，则．令，得；令，得．所以在上单调递增，在上单调递减，即，所以，故实数的取值范围是．(2)的图象与直线有两个不同的交点，，方程有两个不同的根，．即，得，令，则有两个不同的零点，．，则时，；时，；在上单调递增，在上单调递减.即．又有，当时，；当时，．所以，故实数的取值范围是．设，则，当时，，令，，则，所以在上单调递增，则，即．，且，，在上单调递减，所以，即．当时，显然成立．综上，.【点睛】关键点睛：本题考查导数的综合运用、函数零点、转化思想；本题难点有三个：第一个：已知函数在某区间上单调递增或单调递减求参数的取值范围，转化为其导函数在区间上的大于等于或小于等于的恒成立问题；第二个：函数图像的交点转化为新函数的零点，难点在与对新函数的变式和处理；第三个：极值点偏移的题型中，可以构造关于极值点对称的函数判断其符号，这种思路的易错点在于，的取值范围要结合题意分析；也可以利用对数平均不等式构造证明.22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且两曲线与交于M，N两点．(1)求曲线，的直角坐标方程；(2)设，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）依据参普方程互化规则求得曲线的直角坐标方程，依据极坐标与直角坐标的互化规则求得曲线的直角坐标方程；（2）利用直线参数方程的几何意义去求的值简单快捷.【详解】(1)由曲线的参数方程消去参数t，得，即曲线的直角坐标方程为．由曲线的极坐标方程，得，则即的直角坐标方程为．(2)因为在曲线上，所以曲线的参数方程为（t为参数），代入的直角坐标方程，得．设M，N对应的参数