周期或规律题型探索（解析版）-2021年河南中考数学专项训练

专题20周期或规律题型探索一、选择题1．（2020重庆A卷）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（） A．10 B．15 C．18 D．21【答案】B【解析】本题考查了图形规律的探索，观察图形可知，第①个图案黑色三角形个数为1，第②个图案黑色三角形个数为3=1+2，第③个图案黑色三角形个数为6=1+2+3,…，按此规律可知第⑤个图案黑色三角形个数为1+2+3+4+5=15．2．（2020鄂州）如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点，则（n为正整数）的坐标是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】本题考查了反比例函数的性质，属于规律问题，求出是解题的关键．先求出的坐标，由题意容易得到为等腰直角三角形，即可得到，然后过作交y轴于H，，通过反比例函数解析式可求出x，从而能够得到，再同样求出，即可发现规律．解：联立，解得，∴，，由题意可知，∵，∴为等腰直角三角形，∴，过作交y轴于H，则容易得到，设，则，∴，解得，（舍），∴，，∴，用同样方法可得到，因此可得到，即故选：D．3.（2020重庆B卷）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定的规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形有8个实心圆点，第③个图形有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中的实心圆点的个数为（）A．18 B．19C．20 D．21【答案】C【解析】本题考查了图形规律的探索，观察图形可知，第①个图形实心圆点的个数为5=（2×1+1）+2，第②个图形实心圆点的个数为8=（2×2+1）+3，第③个图形实心圆点的个数为11=（2×3+1）+4,…，按此规律可知第⑥个图形实心圆点的个数为（2×6+1）+7=20，因此本题选C．4.（2020德州）下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案黑色棋子的个数是A. 148 B. 152 C. 174 D.202【答案】C【解析】图①中的黑子棋子数是0+2（1+2+3）；图②中的黑子棋子数是2+2（1+2+3+4）；图③中的黑子棋子数是4+2（1+2+3+4+5）；图=4\*GB3④中的黑子棋子数是6+2（1+2+3+4+5+6）；…第10个这样的图案黑子棋子数是2×9+2（1+2+3+4+5+6+…+11+12）=.5.（2020天水）观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2－S B．2S2＋S C．2S2－2S D．2S2－2S－2【答案】A【解析】根据等式的规律，可知2100＋2101＋2102＋…＋2199＋2200＝2100(1＋2＋22＋…＋299＋2100)＝2100(1＋2101－2)＝2×(2100)2－2100，又2100＝S，即可用含S的式子表示这组数据的和为2S2－S．因此本题选A．6．（2020聊城）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖，如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图eq\o\ac(○,n)表示，那么图eq\o\ac(○,50)中的白色小正方形地砖的块数是（）……①②③A．150B．200C．355D．505【答案】C【解析】该类规律猜想题可从图形规律、数字规律或函数等角度分析求解．方法1：根据图形规律可知，白色小正方形地砖的块数分别为：①5×3－3×1；②5×5－3×2；③5×7－3×3；…则图eq\o\ac(○,n)有白色小正方形地砖的块数是5(2n＋1)－3n＝7n＋5，图eq\o\ac(○,50)中的白色小正方形地砖的块数是7×50＋5＝355．方法2：从数字规律考虑，图①、②、③中白色小正方形地砖的块数分别为12，19，26，…发现相邻两数的差均为7，即有①12＝7×1＋5；②19＝7×2＋5；③26＝7×3＋5；…则图eq\o\ac(○,n)中白色小正方形地砖的块数是7n＋5，eq\o\ac(○,50)中的白色小正方形地砖的块数是7×50＋5＝355．方法3：从函数角度入手考虑，根据题意，初步猜想白色小正方形地砖的块数s与图形序号n具有一次函数关系，设s＝kn＋b，把（1，12）、（2，19）代入，得解得∴s＝7n＋5．验证：当n＝3时，s＝7×3＋5＝26，符合题意．当n＝50时，s＝7×50＋5＝355．二、填空题1．（2020铜仁）观察下列等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；2+22+23+24+25＝26﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝（结果用含m的代数式表示）．【答案】2m2﹣m【解析】由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝220（220×2﹣1），再将220＝m代入，原式＝m（2m﹣1）=＝2m2﹣m．2．（2020黔西南州）如图所示的图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为________．【答案】57【解析】本题考查了图形规律探究．第①个图形中一共有3个菱形，即2＋1×1＝3；第②个图形中一共有7个菱形，即3＋2×2＝7；第③个图形中一共有13个菱形，即4＋3×3＝13；…，按此规律排列下去，所以第⑦个图形中菱形的个数为:8＋7×7＝57，因此本题答案为57．3．(2020绥化)下面各图形由大小相同的黑点组成，图(1)中有2个点，图(2)中有7个点，图(3)中有14个点，……，按此规律，第10个图中黑点的个数是______．……【答案】119【解析】将每个图形左、右各补上一个点，使它们分别成为“方阵”．第n个图形左、右各补一个点后，斜着看共有(n＋1)行，每行有(n＋1)个点，因此第n个图形原有点的个数是(n＋1)2－2．当n＝10时，(10＋1)2－2＝112－2＝119(个)．4.（2020江苏徐州）如图，∠MON=30˚，在OM上截取OA1=.过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1,以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2,以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于.【答案】219【解析】先分别求出A1B1、A2B2、A3B3的值，然后找出它们的规律，从而得出线段A20B20的长.∵∠O=30˚，OA1=，∴OB1=，A1B1==20，∵OB1=B1A2=2,∴∠B1A2A1=∠O=30˚，∴∠OB1A1=∠A2B1A1=60˚,∴∠B2B1A2=60，∵B2A2⊥OM，∴∠B1A2B2=60˚,∴△B1A2B2为等边三角形，同理可得：△B2A3B3为等边三角形，∴B2A2=2=21，∴A3B3=A3B2=2A2B2=4=22,同理可求得A4B4=8=23，∴A20B20=219.5.（2020衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为(，)，将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4、OP5...OPn（n为正整数）

，则点P2020的坐标是.【答案】（22018，﹣22018）【解析】本题考查了点的变化规律，根据题意得出点P2020的坐标与点P3的坐标在同一直线上是解题关键.∵点P1的坐标为（），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；∴OP1＝1，OP2＝2，∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，∴OPn＝2n-1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2019÷8＝252…3，∴点P2020的坐标与点P3的坐标在同一直线上，正好在第4象限角平分线上，∴点P2020的坐标是（22018，﹣22018）．因此本题答案为（22018，﹣22018）．6．(2020自贡)如图，直线y=-3x+b与y轴交于点A，与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝，前25个等边三角形的周长之和为【答案】43，60．【解析】本题考查了反比例函数的图像和性质，解直角三角形，一元二次方程根与系数的关系，探究规律行规知识．解：设直线y=-3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F∵y=-3x+b，∴当y＝0时，x=33b，即点D的坐标为（33当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），∴OA＝﹣b，OD=-33∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OAOD=3，∵直线y=-3x+b与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，∴-整理得，-3x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2=33k，即EB•FC∵EBAB=cos60°=12，∴AB＝2EB，同理可得：∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=433k＝16，解得：k＝由题意可以假设D1（m，m3），∴m2•3=43，∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12设D2（4+n，3n），∵（4+n）•3n＝43，解得n＝22-2∴E1E2＝42-4，即第二个三角形的周长为122-12，设D3（42+a，由题意（42+a）•3a＝43，解得a＝23-22，即第三个三角形的周长为123-…，∴第四个三角形的周长为124-123，∴前25个等边三角形的周长之和12+122-12+123-122+124-123+⋯+1225因此本题答案为：43，60．7．（2020泰安）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，......，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，......，第n个数记为an，则a4＋a200﹦___________．【答案】20110【解析】本题考查了对有理数探索规律和有理数的运算，根据表中数据排列，会发现a2=3=2+1、a3=6=3+2+1、则a4=1+2+3+4=10，a200=1+2+3+4+…+199+200=EQ\f(200×（200+1）,2)=20100，所以，a4＋a200﹦20110，因此本题答案为20110．8．（2020齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4EQ\R(,2)），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12EQ\R(,2)，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是．【答案】22020【解析】根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．∵点A1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积＝2，∵A2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为2EQ\R(,2)，∴第2个等腰直角三角形的面积＝22，∵A4（10，4EQ\R(,2)），∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4，∴第3个等腰直角三角形的面积＝8＝23，…则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．9.（2020达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线l1：y=kx+k+1与直线l2：y=（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是；记直线l1和l2与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1=，S1+S2+S3+…+S100的值为.【答案】（﹣1,1），14，【解析】联立函数解析式得kx+k+1=（k+1）x+k+2，解得x=﹣1，将x=﹣1代入直线l1的解析式得y=1，所以交点为（﹣1，1）．当k=1时，直线l1：y=x＋2和直线l2：y=2x+3与x轴的交点分别为（﹣2，0）和（﹣32，0），所以围成的三角形面积S1=12×12×1=14，依次可得：S2=112，S3=124，S4=140，……，发现Sn=12nn+1，所以S1+S2+S3+…+S100=14+112+124+140+……+1200×101=12（1﹣12+12﹣13+13﹣110．（2020泰州）以水平数轴的原点O为圆心过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为(5，0°)、(4，300°)，则点C的坐标表示为_______．【答案】(3，240°)【解析】本题考查了有序数对，前一个数字表示该点到圆心的距离，后一个数字表示方向．．11．（2020山西）如图是－组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形．．．按此规律摆下去，第n个图案有_________个三角形（用含n的代数式表示）．【答案】（3n＋1）【解析】本题考查规律探究．第1个图案有个4三角形，4＝1+3；第2个图案有7个三角形，7＝1+2×3；第3个图案有10个三角形，10=1＋3×3…按此规律摆下去，第n个图案有（3n＋1）个三角形．故答案为3n＋1．12．（2020湘西州）观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也会有类似的结论，你的结论是．【答案】A1N＝AnM，∠NOAn【解析】本题考查了正多边形和圆、规律型：图形的变化类、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正多边形的性质．∵（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也有类似的结论是A1N＝AnM，∠NOAn．因此本题答案是A1N＝AnM，∠NOAn．13．（2020怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y=3x（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为【答案】(2【解析】解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C=3OC设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，3t），把B1（t，3t）代入y=3x得t•3t=3，解得t＝1或t∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D=3m，则B2的坐标表示为（2+m，3m把B2（2+m，3m）代入y=3x得（2+m）×3m=3，解得m=2-∴A1D=2-1，A1A2=22-2，∴A2（22，0设A2E的长度为n，同理，B3E为3n，B3的坐标表示为（22+n，3n把B3（22+n，3n）代入y=3x得（22+n）•∴A2E=3-2，A2A3=23-2∴A3（23，0综上可得：An（2n，0故答案为：(214.（2020张家界）观察下面的变化规律：，……根据上面的规律计算：__________．【答案】【解析】本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．由题干信息可抽象出一般规律：（均为奇数，且）．故．故答案：．15．（2020本溪）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为．（用含正整数n的式子表示）【答案】2【解析】先求得△EF1D的面积为1，再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得EF1F2的面积，EF2F3的面积，…，EFn﹣1Fn的面积，以及△BCFn的面积，再根据面积的和差关系即可求解．解：∵AE＝DA，点F1是CD的中点，矩形ABCD的面积等于2，∴△EF1D和△EAB的面积都等于1，∵点F2是CF1的中点，∴△EF1F2的面积等于12同理可得△EFn﹣1Fn的面积为12∵△BCFn的面积为12S△EFn﹣1Fn=∴△EFnB的面积为2+1﹣1-12-⋯-12n-1-16．(2020青海)观察下列各式的规律：①1×3－22＝3－4＝－1；②2×4－32＝8－9＝－1；③3×5－42＝15－16＝－1．请按以上规律写出第4个算式______．用含有字母的式子表示第n个算式为______．【答案】4×6－52＝－1；n(n＋2)－(n＋1)2＝－1【解析】等式左边第一个数与序号数相同，第二、三两个数分别比第一个数大2、大1，等式右边总是－1，因此第4个算式是4×6－52＝－1．第n个算式是n(n＋2)－(n＋1)2＝－1．17.(2020潍坊)如图，四边形是正方形，曲线是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为；的圆心为点B，半径为；的圆心为点C，半径为；圆心为点D，半径为；…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形的边长为1，则的长是_________．【答案】【解析】本题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．由图可知，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，，，……，，，故的半径为，的弧长=．18.（2020牡丹江）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是______个.第第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形【答案】92【解析】根据已有图形找规律，第1个图形中一共有1×（1+1）+2=4个圆，第2个图形中一共有2×（2+1）+2=8个圆，第3个图形中一共有3×（3+1）+2=14个圆，第4个图形中一共有4×（4+1）+2=22个圆；故可得第n个图形中圆的个数是n（n+1）+2；所以第⑨个图形中圆的个数9×（9+1）+2=92．19.（2020咸宁）按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．【答案】bc=a【解析】本题考查了数字的变化规律，∵一列数：3，，，，，，，，…，可发现：第n个数等于前面两个数的商，∵a，b，c表示这列数中的连续三个数，∴bc=a，因此本题填bc=a．20．（2020营口）如图，∠MON=60°，点A1在射线ON上，且OA1=1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2=A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3=A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为．【答案】【解析】在Rt△OA1B1中，∠OA1B1=90°，OA1=1，∠B1OA1=60°，∴A1B1=OA1·tan60°=1×=，则A1A2=A1B1=，所以OA2=1+，如上同理可得A2B2=OA2·tan60°=（1+）×=（1+），则A2A3=A2B2=（1+），所以OA3=OA2+A2A3=（1+）+（1+）=（1+）2，所以A3B3=OA3·tan60°=（1+）2，以此类推，可得A2020B2020=（1+）2019．21．（2020·滨州）观察下列各式：，根据其中的规律可得________（用含n的式子表示）．【答案】【解析】本题考查了观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，观察分母的变化为3、5、7，…，2n+1，分子的变化为：n2+（-1）n+1，因此本题填．22．（2020内江）如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，0），直线与x轴交于点B，以AB为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，以此类推……，则点的纵坐标是______________【答案】【解析】本题考查了点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30º角的直角三角形的性质，数字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到坐标变化规律．如图，过A1作A1C⊥AB与C，过A2作A2C1⊥A1B1于C1，过A3作A3C2⊥A2B2于C2，先根据直线方程与x轴交于点B（-1，0），且与x轴夹角为30º，则有AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质，分别求的A1、A2、A3、的纵坐标，进而得到An的纵坐标，据此可得A2020的纵坐标，即可解答．如图，过A1作A1C⊥AB与C，过A2作A2C1⊥A1B1于C1，过A3作A3C2⊥A2B2于C2，先根据直线方程与x轴交于点B（-1，0），与y轴交于点D（0，），∴OB=1,OD=,∴∠DBO=30º,由题意可得：∠A1B1B=∠A2B2B1=30º,∠B1A1B=∠B2A2B1=60º∴∠A1BB1=∠A2B1B2=90º，∴AB=1，A1B1=2A1B=21，A2B2=2A2B1=22，A3B3=2A3B2=23，…AnBn=2n

∴A1C=AB=×1，A1纵坐标为×1=；A2C1=A1B1=，A2的纵坐标为×1+===；A3C2=A2B2=,A3的纵坐标为×1++===；…由此规律可得：AnCn-1=,An的纵坐标为=，∴A2020=，因此本题答案为：．23．（2020抚顺本溪辽阳）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为．（用含正整数n的式子表示）【答案】3【解析】本题分别延长BF1、BF2、BF3…与ED相交构成相似三角形，根据相似三角形的性质求出三角形△EF1B、△EF2B、△EF3B，…与矩形的面积关系，找出其变化规律求解．设AD＝a，AB＝b，则ab＝2．如图1，延长BF1，ED交于点M1，过F1作F1N1∥ED．∵四边形ABCD是矩形，∴DE∥BC，AD＝BC，∴∠M1＝∠M1BC，又∵DF1＝CF1，∠DF1M1＝∠BF1C，∴△DF1M1≌△CF1B，∴BC＝DM1，BF1＝F1M1．∵AE＝DA，∴EM1＝3a．∵F1N1∥ED，∴△BF1N1∽△BM1E，∴＝＝，∴F1N1＝EM1＝a，∴S△BF1E＝F1N1·AB＝＝．如图2，延长BF2，ED交于点M2，过F2作F2N2∥ED．∵∠M2＝∠M2BC，∠DF2M2＝∠BF2C，∴△DF2M2∽△CF2B，∴＝＝，∴DM2＝3BC＝3a，∴EM2＝5a．∵F2N2∥ED，∴△BF2N2∽△BM2E，∴＝＝，∴F2N2＝EM2＝a，∴S△BF2E＝F2N2·AB＝．如图3，延长BF3，ED交于点M3，过F3作F3N3∥ED．∵∠M3＝∠M3BC，∠DF3M3＝∠BF3C，∴△DF3M3∽△CF3B，∴＝＝，∴DM3＝7BC＝7a，∴EM3＝9a．∵F3N3∥ED，∴△BF3N3∽△BM3E，∴＝＝，∴F3N3＝EM3＝a，∴S△BF3E＝F3N3·AB＝．…，S△BFnE＝FnNn·AB＝．故△EFnB的面积为．三、解答题1．（2020安徽）观察以下等式：第1个等式：eq\f(1,3)×(1+eq\f(2,1))＝2-eq\f(1,1)，第2个等式：eq\f(3,4)×(1+eq\f(2,2))＝2-eq\f(1,2)，第3个等式：eq\f(5,5)×(1+eq\f(2,3))＝2-eq\f(1,3)，第4个等式：eq\f(7,6)×(1+eq\f(2,4))＝2-eq\f(1,4)，第5个等式：eq\f(9