高中人教B第二册案：6.1.1　向量的概念含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精【新教材】2020-2021学年高中数学人教B版必修第二册学案：6.1.1向量的概念含解析第六章平面向量初步6。1平面向量及其线性运算6。1。1向量的概念素养目标·定方向课程标准学法解读1。理解向量的概念，掌握向量的表示方法、记法．2．了解零向量及单位向量．3．掌握向量的相等与平行。通过对向量及有关概念的学习，培养学生的数学抽象、直观想象及逻辑推理素养。必备知识·探新知知识点向量的定义与表示（1)定义：既有__大小__又有__方向__的量．（2）表示方法:①几何表示法：用以A为始点，以B为终点作__有向线段__eq\o（AB,\s\up6(→)）．②字母表示法：在印刷时，通常用__加粗__的__斜体小写__字母如a，b，c、…表示向量，在书写时，可写成__带箭头__的小写字母如eq\o(a,\s\up6(→）)，eq\o（b，\s\up6(→)），eq\o(c,\s\up6（→）)，…．（3）向量的模：向量的大小也称为向量的长度或模，如a,eq\o(AB，\s\up6（→)）的模分别记作|a｜，｜eq\o(AB，\s\up6(→）)|．思考：(1）定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特性?只描述其中一个方面可以吗？（2）由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量？提示：(1）向量不仅有大小，而且有方向．大小是代数特征，方向是几何特征．看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可．(2）要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点．知识点特殊向量(1）零向量:__始点__和__终点__相同的向量称为零向量，记作0．(2)单位向量：长度（或模）为__1__的向量称为单位向量．(3）相等向量：大小__相等__且方向__相同__的向量称为相等向量．向量a与b相等,记作a＝B．（4)平行向量或共线向量:方向__相同__或__相反__的非零向量称为平行向量，也称为共线向量．向量a平行于b，记作a∥B．规定__零__向量平行于任何向量．思考：（1）0与0相同吗？0是不是没有方向?(2）若a＝b，则两向量在大小与方向上有何关系？（3)“向量平行”与“几何中的平行"一样吗？提示：（1)0与0不同,0是一个实数,0是一个向量，且｜0｜＝0。0有方向,其方向是任意的．(2）若a＝b，意味着|a｜＝|b｜,且a与b的方向相同．（3）向量平行与几何中的平行不同，向量平行包括基线重合的情况，故也称向量共线．关键能力·攻重难题型探究题型向量的有关概念┃┃典例剖析__■典例1给出下列命题：（1）平行向量的方向一定相同；(2）向量的模一定是正数；（3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量;(4）若向量eq\o(AB,\s\up6(→））与eq\o（CD，\s\up6（→）)是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上．其中正确的序号是__（3)__．［分析]从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征进行逐一考察，注意各自的特例对命题的影响．[解析]（1)错误．两向量方向相同或相反都视为平行向量．(2）错误．|0｜＝0.(3）正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量eq\o(AB，\s\up6（→））,eq\o(CD，\s\up6（→））必须在同一直线上．故填(3)．规律方法：要充分理解与向量有关的概念,明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键．┃┃对点训练__■1．给出下列命题:(1)若｜a|＝｜b｜，则a＝b;(2)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；(3）若a＝b，b＝c，则a＝c；(4）若四边形ABCD是平行四边形,则eq\o(AB,\s\up6（→））＝eq\o（CD,\s\up6（→）），eq\o（BC，\s\up6（→)）＝eq\o（DA,\s\up6（→)）．其中正确命题的序号是__（2)（3）__．[解析](1）该命题不正确,|a｜＝|b｜只是说明这两向量的模相等,但其方向未必相同;(2)该命题正确，因两相等向量的模相等,方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合;(3)该命题正确，由向量相等的定义知,a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；(4)该命题不正确，如图所示,显然有eq\o(AB，\s\up6（→））≠eq\o(CD,\s\up6（→）），eq\o(BC,\s\up6（→）)≠eq\o(DA,\s\up6（→）)．题型相等向量与共线向量┃┃典例剖析__■典例2如图，四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形．（1)找出与向量eq\o(AB,\s\up6(→)）相等的向量；（2)找出与向量eq\o（AB，\s\up6(→)）共线的向量．［分析](1）找与向量eq\o（AB,\s\up6（→））相等的向量,就是找与eq\o（AB,\s\up6（→）)长度相等且方向相同的向量．（2）找与eq\o(AB,\s\up6(→）)共线的向量,就是找与eq\o（AB,\s\up6(→）)方向相同或相反的向量．[解析］（1)由四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形知，eq\o(DC，\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6（→））与eq\o（AB,\s\up6(→）)的长度相等且方向相同，所以与向量eq\o（AB，\s\up6（→))相等的向量为eq\o（DC,\s\up6（→）),eq\o(ED，\s\up6(→）)．(2）由题图可知eq\o(DC,\s\up6（→））,eq\o(ED，\s\up6（→）)，eq\o（EC，\s\up6（→))与eq\o（AB,\s\up6(→)）方向相同，eq\o(BA，\s\up6（→）），eq\o（CD，\s\up6（→)），eq\o(DE，\s\up6(→）），eq\o（CE，\s\up6（→））与eq\o(AB，\s\up6(→）)方向相反，所以与向量eq\o（AB，\s\up6（→)）共线的向量有eq\o（DC,\s\up6(→)）,eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(EC，\s\up6（→)），eq\o（BA，\s\up6(→)），eq\o(CD，\s\up6(→）），eq\o（DE，\s\up6（→)),eq\o(CE,\s\up6（→)）．规律方法:1.寻找相等向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向且共线的．2．寻找共线向量的方法:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量．3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．若两向量相等，则两向量方向相同,模相等;若两向量共线，则两向量方向相同或相反．┃┃对点训练__■2．如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中:（1）分别写出与eq\o（AO,\s\up6(→）)、eq\o（BO,\s\up6(→))相等的向量；（2)写出与eq\o(AO，\s\up6(→))共线的向量;（3)写出与eq\o（AO，\s\up6(→））的模相等的向量;（4)向量eq\o（AO,\s\up6(→））与eq\o（CO,\s\up6(→)）是否相等？［解析］(1)eq\o(AO,\s\up6(→））＝eq\o(BF，\s\up6（→）),eq\o(BO，\s\up6(→))＝eq\o（AE,\s\up6(→)）．(2）与eq\o(AO，\s\up6(→）)共线的向量为：eq\o(BF，\s\up6(→))，eq\o（CO,\s\up6（→）),eq\o(DE，\s\up6（→)）．（3)∵｜eq\o(AO,\s\up6(→))｜＝｜eq\o（CO,\s\up6(→))|＝|eq\o（DO,\s\up6（→）)｜＝|eq\o（BO,\s\up6(→))|＝｜eq\o(BF，\s\up6（→））|＝|eq\o(CF，\s\up6（→））｜＝|eq\o（AE,\s\up6(→））｜＝｜eq\o（DE，\s\up6（→）)|．∴与eq\o(AO,\s\up6(→)）模相等的向量为：eq\o(CO,\s\up6（→)），eq\o(DO，\s\up6(→))，eq\o(BO，\s\up6(→）)，eq\o（BF，\s\up6(→）），eq\o（CF，\s\up6(→)),eq\o（AE,\s\up6（→）），eq\o(DE，\s\up6(→）)．(4）不相等．题型向量的表示与应用┃┃典例剖析__■典例3(1）如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且|eq\o(AC,\s\up6（→))｜＝eq\r（5)，画出所有的向量eq\o(AC,\s\up6(→）)；(2）如图所示，在四边形ABCD中，eq\o（AB，\s\up6(→））＝eq\o(DC，\s\up6（→)）,N，M分别是AD,BC上的点，且eq\o(CN，\s\up6（→)）＝eq\o(MA,\s\up6(→))。求证：eq\o（DN,\s\up6(→）)＝eq\o（MB,\s\up6(→)）．[分析]（1)根据方向与大小确定终点即可．（2）利用向量相等证明四边形ABCD，CNAM为平行四边形，进而得到eq\o(DN，\s\up6(→)）＝eq\o(MB,\s\up6(→))．[解析]（1)画出所有的向量eq\o(AC,\s\up6（→））,如图：（2）因为eq\o（AB，\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o（AB，\s\up6(→)）|＝|eq\o（DC,\s\up6（→））｜,且AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形．所以｜eq\o（DA，\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6（→）)｜，且DA∥CB．又因为eq\o(DA，\s\up6(→））与eq\o（CB,\s\up6(→）)的方向相同，所以eq\o(CB,\s\up6（→)）＝eq\o（DA,\s\up6(→)）．同理可证四边形CNAM是平行四边形，所以eq\o(CM,\s\up6（→)）＝eq\o(NA,\s\up6(→))．因为｜eq\o(CB，\s\up6（→)）｜＝|eq\o（DA,\s\up6（→））｜，|eq\o（CM，\s\up6（→）)｜＝｜eq\o（NA,\s\up6（→))｜,所以｜eq\o（MB，\s\up6(→））|＝|eq\o（DN,\s\up6(→))｜，DN∥MB，即eq\o（DN，\s\up6(→）)与eq\o(MB，\s\up6（→))的模相等且方向相同，所以eq\o（DN，\s\up6（→）)＝eq\o（MB,\s\up6(→）)．易错警示┃┃典例剖析__■典例4在□ABCD中,O是两对角线AC,BD的交点，设点集S＝{A，B,C，D，O}，向量集合T＝{eq\o（MN，\s\up6（→)）|M，N∈S}，且M，N不重合,则集合T中元素的个数为__12__．[错解］S＝｛A，B，C，D，O｝，S中任意两点连成的有向线段有：eq\o(AB,\s\up6(→）)，eq\o（AC,\s\up6(→)），eq\o（AD，\s\up6（→)），eq\o（AO，\s\up6（→))；eq\o(BA,\s\up6(→)),eq\o（BC,\s\up6(→)）,eq\o（BD,\s\up6(→）)，eq\o(BO,\s\up6(→))；eq\o（CA，\s\up6（→））,eq\o（CB，\s\up6(→）），eq\o（CD,\s\up6(→))，eq\o（CO，\s\up6(→）)；eq\o(DA,\s\up6（→)）,eq\o（DB,\s\up6(→)），eq\o（DC，\s\up6(→）），eq\o(DO,\s\up6（→)）;eq\o(OA，\s\up6(→）)，eq\o(OB,\s\up6（→）),eq\o（OC,\s\up6（→））,eq\o（OD,\s\up6(→）)，共有20个元素．［辨析］求解时，若忽略对相等向量的考虑．[正解］在上面20个向量中，由平行四边形的性质可知（如图)，共有8对向量相等，即eq\o（AB,\s\up6（→））＝eq\o(DC,\s\up6(→)）,eq\o（BA，\s\up6（→））＝eq\o（CD，\s\up6(→）），eq\o(AD,\s\up6（→)）＝eq\o(BC，\s\up6(→)），eq\o(DA,\s\up6（→）)＝eq\