2022-2023学年福建省福州市福清市高中联合体高一年级下册学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省福州市福清市高中联合体高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．复数的虚部是（

）A． B．4 C．3 D．【答案】B【分析】根据复数的概念可得结果.【详解】复数的虚部为.故选：B.2．下列结论中，正确的是（

）A．零向量只有大小没有方向 B．C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等【答案】B【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案．【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；由于与方向相反，长度相等，故B正确；因为零向量的模为0，故C错误；与线段的长度相等，故D错误．故选：B．3．复数的共轭复数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用共轭复数的概念判断.【详解】复数的共轭复数是，故B，C，D错误.故选：A.4．若，，与的夹角为，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的数量积的定义计算即可.【详解】因为，，与的夹角为，所以.故选：C.5．已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用面积公式计算可得.【详解】因为，，，所以.故选：D6．为了得到函数的图象，只要把函数上所有的点（

）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【答案】C【分析】利用三角函数图象的相位变换求解.【详解】对于A，函数上所有的点向左平行移动个单位长度，得到，故A错误；对于B，函数上所有的点向右平行移动个单位长度，得到，故B错误；对于C，函数上所有的点向左平行移动个单位长度，得到，故C正确；对于D，函数上所有的点向右平行移动个单位长度，得到，故D错误.故选：C.7．已知向量，，若，则m的值为（

）A．或2 B．或3 C．或3 D．或4【答案】A【分析】根据向量垂直的坐标公式计算即可.【详解】因为，所以，即，解得或.故选：A.8．已知分别为三个内角的对边，若，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由正弦定理得到，再由余弦定理求得，即可求解.【详解】因为，由正弦定理可得，又因为，由余弦定理得，又因为，所以.故选：C.二、多选题9．设，复数，则下列说法正确的是（

）A．若是实数，则 B．若是虚数，则C．当时，的模为 D．当时，在复平面上对应的点为【答案】AC【分析】根据复数的概念判断A、B，根据复数的模判断C，根据复数的几何意义判断D.【详解】因为，，对于A：若是实数，则，解得，故A正确；对于B：若是虚数，则，解得，故B错误；对于C：当时，所以，故C正确；对于D：当时，在复平面上对应的点为，故D错误；故选：AC10．设向量，，则（

）A． B．与的夹角为C．与共线 D．【答案】AD【分析】利用向量运算的坐标表示、向量模长、夹角公式以及向量共线、垂直的坐标形式计算求解.【详解】因为，，所以，，故A正确；因为，，所以，因为两向量夹角的范围为，所以与的夹角为，故B错误；因为，，所以，又，所以，所以，所以与不共线，故C错误，D正确.故选：AD.11．如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.则该质点到x轴的距离关于时间t的函数记为.下列说法正确的是（

）A． B．C．的周期为 D．的周期为3【答案】AC【分析】根据角速度的概念、任意角的三角函数定义以及三角函数的周期公式计算.【详解】由题可知，质点的角速度为，因为点P为起始点，沿逆时针方向运动，设经过时间之后所成角为，则，根据任意角的三角函数定义有：，所以该质点到x轴的距离为，故A正确，B错误；因为，所以的周期为，故C正确，D错误.故选：AC.12．已知向量，，（），则下列命题正确的是（

）A．若，则B．存在，使得C．与共线的单位向量只有一个为D．若在上的投影向量为，则向量与夹角为【答案】ABD【分析】根据向量垂直的坐标公式即可判断A；根据结合数量积的运算律求出，即可判断B；根据单位向量的定义判断C；根据投影向量的定义求出，再根据向量夹角的公式即判断D.【详解】对于A，若，则，，，故A正确；对于B，由，，得，，若，则，所以，由，得，所以，所以，所以存在，使得，故B正确；对于C，与共线的单位向量为，故为或，故C错误；对于D，在上的投影向量为，所以，则，又因为，所以，即向量与夹角为，故D正确.故选：ABD.三、填空题13．已知复数满足，则__________．【答案】.【分析】在等式两边同时除以，再利用复数的除法法则可得出复数.【详解】，，故答案为.【点睛】本题考查复数的除法，解题的关键就是从等式中得出的表达式，再结合复数的四则运算律得出结果.14．已知与不共线，是一组基底，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】由是一组基底，可得两个向量不共线，利用平面向量共线定理结合平面向量基本定理求出时的值，即可得解.【详解】当时，则存在唯一实数，使得，所以，解得，因为是一组基底，所以两个向量不共线，所以.故答案为：.15．一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为_______海里.【答案】4【分析】先结合条件找出已知角及线段长，然后结合余弦定理即可直接求解．【详解】设轮船的初始位置为A，20分钟后轮船位置为B，灯塔位置为C，如图所示由题意得，，，，由余弦定理得，即，解得．则灯塔与轮船原来的距离为4海里故答案为：4．16．将函数的图象沿x轴向左平行移动个单位长度后，得到关于原点对称的图象，请写出一个符合题意的，则______.【答案】（答案不唯一）【分析】根据三角函数的图象变换求得，因为的图象关于原点对称，得到，列出方程，即可求解.【详解】将函数的图象沿x轴向左平行移动个单位长度后，得到函数，因为的图象关于原点对称，可得，即，解得，即，所以符合题意的可以是.故答案为：（答案不唯一）.四、解答题17．已知复数，，且是纯虚数.(1)求；(2)设复数，在复平面上对应的点为，，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简复数，即可得到方程（不等式）组，即可求出的值，从而求出复数，再求出，即可求模；（2）首先表示出、的坐标，依题意可得，即可求出点坐标，从而求出其对应的复数.【详解】（1）因为，所以，所以，因为是纯虚数，所以，解得，所以，则，所以.（2）复数，在复平面上对应的点为，，则，因为四边形是复平面内的平行四边形，所以，所以，则点对应的复数为.18．已知，，.(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接展开，代入即可求解；（2）先分别求出，再直接代入向量夹角公式即可求解.【详解】（1）因为，所以；（2），，所以，即向量与夹角的余弦值为.19．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.(1)求角A；(2)若，，求b，c的值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）先用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换的公式化简求解即可；（2）先利用正弦定理找到边的关系，然后根据条件利用余弦定理求解即可.【详解】（1）已知，由正弦定理得，，显然，所以有，得，又，所以；（2）因为，由正弦定理可知，由余弦定理可得，，即，解得，所以.20．某同学用“五点法”画函数在一个周期内的简图时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；(2)将函数的图象横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变可得函数的图象.求函数在区间的最大值以及取得最大值时的集合.【答案】(1)表格数据见解析，(2)答案见解析【分析】（1）根据表格中的数据可得出关于、、的方程组，可解得这三个参数的值，即可得出函数的解析式，金额可完善表格中的数据；（2）根据三角函数图象变换可得出函数的解析式，由可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的取值集合.【详解】（1）解：由表格中的数据可得，解得，所以，.表格数据如下表：（2）解：将函数的图象横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变可得函数的图象，则，当时，则，当时，即当时，函数取最大值，且，所以，函数在区间取最大值时的的取值集合为.21．如图所示，在中，点D是边BC的中点，点E是线段AD靠近A的三等分点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设，，其中，.(1)试用与表示，；(2)求证：为定值，并求此定值.【答案】(1)，.(2)证明见解析；定值为.【分析】（1）根据向量的平行四边形法则和三角形法则，即可求解；（2）由题意求得，结合三点共线，得到，即可求解.【详解】（1）解：因为点为的中点，由向量的平行四边形法则，可得，在中，由向量的三角形法则，可得.（2）证明：在中，点为的中点，且点为靠近的三等分点，且所以,因为三点共线，所以，解得，即为定值.22．已知函数的图象如图所示，点B，D，F为与x轴的交点，