高二数学选修平均变化率

高二数学选修平均变化率第1页，共22页，2023年，2月20日，星期四世界充满着变化,有些变化几乎不为人们察觉,而有些变化却让人们发出感叹与惊呼！第2页，共22页，2023年，2月20日，星期四微积分主要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。第3页，共22页，2023年，2月20日，星期四问题情境1法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快,赛道上显示12.94秒的成绩已经打破了12.95奥运会记录,但经验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度达到8.52m/s。问：平均速度的数学意义是什么

?第4页，共22页，2023年，2月20日，星期四时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.5℃18.6℃33.4℃现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载:问题情境2观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210（注:3月18日为第一天）第5页，共22页，2023年，2月20日，星期四t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？问题情境2第6页，共22页，2023年，2月20日，星期四问题情境3某人第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示:t(s)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)s(m)210问题1:AB段与BC段哪一段位移变化的多?问题2:AB段与BC段哪一段位移变化的快?问题3:在图形上用什么方法可直接看出哪一段位移变化的快?第7页，共22页，2023年，2月20日，星期四t(s)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)s(m)210容易看出BC之间的曲线比AB之间的曲线更加”陡峭”,陡峭的程度反映了位移变化的快与慢.问题4:如何量化曲线的陡峭程度呢?问题情境3第8页，共22页，2023年，2月20日，星期四t(s)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)s(m)2101.曲线上BC之间一段几乎成了直线,由此联想到如何量化直线的倾斜程度.2.由B点上升到C点，必须考察yC－yB的大小，但仅仅注意到yC－yB

的大小能否量化BC段陡峭程度?为什么？B’在考察yC－yB

的同时必须考察xC－xB，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变而言。问题情境3第9页，共22页，2023年，2月20日，星期四t(s)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)s(m)2103.我们用比值近似地量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为位移在区间【32，34】上的平均变化率.4.分别计算位移在区间【1，32】【32，34】的平均变化率.问题情境3第10页，共22页，2023年，2月20日，星期四t(s)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)s(m)210问题5:位移的平均变化率能否反映每一时刻位移的变化率?位移的平均变化率只能表示这一段时间里位移大致的变化情况,但不能精确的表示每一时刻的位移变化情况.问题情境3第11页，共22页，2023年，2月20日，星期四问题情境32030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)v(m/s)t(s)210t(s)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)s(m)210问题6:将位移曲线改成速度曲线,你又能得到什么结论?第12页，共22页，2023年，2月20日，星期四一般地,函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为(1)曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”——无形不直观——无数不入微(3)平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”.数学建构注(4)平均变化率公式记忆类似直线上两点间的斜率公式.第13页，共22页，2023年，2月20日，星期四例1:(1)某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。T(月)W(kg)639123.56.58.611问题:这两个平均变化率的实际意义是什么?数学应用点拨:求平均变化率关键有两点

①自变量的变化量△x=x2-x1；②函数值的变化量△y=f(x2)-f(x1);第14页，共22页，2023年，2月20日，星期四例1:(2)水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的体积（单位：），计算第一个10s内V的平均变化率。甲乙问题:(1)负号表示什么意思?(2)平均变化率可正可负,那能否为0?请举例说明.(3)－0.25cm3/s能否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积V减少的速度?－0.25cm3/s数学应用第15页，共22页，2023年，2月20日，星期四练习1:在经营某种商品中,甲乙两人投入相同的资金,甲挣到10万元,乙挣到2万元,能否比较和评价甲,乙两人的经营成果?(注:甲用5年时间挣到10万元,乙用5个月挣到2万元)解:甲获利的平均变化率为(万元/月)乙获利的平均变化率为(万元/月)由，所以乙的经营成果好.数学应用第16页，共22页，2023年，2月20日，星期四例2:(1)已知函数f(x)=2x+1,g(x)=－2x,

分别计算在区间

[-3，-1]，[0，5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率.问题1:一次函数f(x)=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点?一次函数在任意区间上的平均变化率都是斜率.问题2:其它函数在区间[m，n]上的平均变化率有什么几何意义?数学应用第17页，共22页，2023年，2月20日，星期四01mnPQ

平均变化率的几何意义:函数f(x)曲线上两点P,Q的连线（割线）的斜率即为函数f(x)在区间[XP，XQ]上的平均变化率.函数f(x)在区间[m，n]上的平均变化率为:xy数学理论第18页，共22页，2023年，2月20日，星期四例2:(2)已知函数f(x)=x2

,分别计算f(x)

在下列区间上的平均变化率：

1）[1，3]；2）[1，2]；3）[1，1.1]；4）[1，1.001].

432.12.001数学应用第19页，共22页，2023年，2月20日，星期四xy13P2O平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但当x2—x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”.数学理论第20页，共22页，2023年，2月20日，星期四练习2:已知函数f(x)=x2,分别计算f(x)

在下列区间上的平均变化率：

（1）[0.9，1]；（2）[0.99，1]；（3）[0.999，1];（4）[0.9999，1];1.91.991.999（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（