2023届陕西省汉中市高三下学期第二次教学质量检测数学（理）试题

2023届陕西省汉中市高三下学期第二次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．设全集为R，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】求解集合A，然后利用集合的交并补运算直接求解即可【详解】由题知或，又集合，又或则.故选：B2．已知复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据题意列式解出m，再利用复数的运算求得，结合复数的几何意义即可得出答案.【详解】若复数为纯虚数，则，解得，则，故复数在复平面内对应的点为，在第一象限.故选：A.3．若，且，则的值为A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，，∴，∴．选B．4．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】确定每段圆弧的中心角是，第段圆弧的半径为，由弧长公式求得弧长，然后由等差数列前项和公式计算．【详解】由题意每段圆弧的中心角都是，第段圆弧的半径为，弧长记为，则，所以．故选：D．5．设，则“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线一般式中平行满足的关系即可求解.【详解】若直线与直线平行，则，解得或，经检验或时两直线平行．故“”能得到“直线与直线平行”，但是“直线与直线平行”不能得到“”故选：A6．已知点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】由题可设，，然后根据向量数量积的坐标表示及三角函数的性质即得.【详解】因为点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，则，设，，所以，所以，即的最小值为故选：D.【点睛】方法点睛：向量数量积问题常用方法一是利用基底法，结合平面向量基本定理及数量积的定义求解；二是利用坐标法，结合图形建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积.7．定义在上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有；②函数的图象关于轴对称；③对于任意的，都有；则、、从小到大的关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由①得函数的周期为2，由②得函数的对称轴为x=1，由③得函数的单调性，综合以上函数的性质可以推理得解.【详解】①对于任意的，都有，所以函数的周期为T=2；②函数的图象关于轴对称，所以函数f(x)关于直线对称；③对于任意的，都有，所以函数在单调递增，因为，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的周期性、对称性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.8．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论不正确的是（

）A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线AP与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】C【分析】对于A，根据线面垂直的判定定理，结合正方体的性质以及线面垂直的性质定理，可得答案；对于B，根据三棱锥的体积公式，证明底面上的高为定值，利用线面平行判定以及性质定理，可得答案；对于C，根据异面直线夹角的定义，作图，结合等边三角形的性质，可得答案；对于D，由题意，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，根据公式，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】对于A，连接，记，如下图：在正方体中，平面，平面，，在正方形中，，，平面，平面，平面，，同理可得：，，平面，平面，故A正确；对于B，在正方体中，，平面，平面，平面，则，到平面的距离相同，即三棱锥中底面上的高为一个定值，故B正确；对于C，连接，，，作图如下：在正方体中，易知为等边三角形，则，，为异面直线与所成角或者补角，则异面直线与所成角的取值范围，故C错误；对于D，在正方体中，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图：设该正方体的边长为，则，，，，，，设，且，则，，即，可得，则，由A可知平面，则平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，由，则当时，取得最大值为，故D正确.故选：C.9．已知函数满足下列两个条件：①函数是奇函数；②，且．若函数在上存在最小值，则实数的最小值为A． B． C． D．【答案】C【解析】由②可得，周期，从而，根据函数是奇函数结合的范围可得，进而，由的范围求出的范围，根据存在最小值列出不等式，解出即可.【详解】由可得，由可得（其中为函数的最小正周期），所以，解得，所以，所以，因为函数是奇函数，所以，即，因为，所以，所以，当时，，因为函数在上存在最小值，所以，即，故实数的最小值为．故选C．【点睛】本题主要考查了三角函数解析式的求法，通过三角函数的图象研究其性质，熟练掌握图象是解题的关键，属于中档题.10．已知函数的定域为，图象恒过点，对任意，当时，都有，则不等式的解集为（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由，设，得到，令，然后将不等式，转化为，利用的单调性求解.【详解】因为，不妨设，则，令，在R上递增，又，所以不等式，即为，即，所以，则，解得，故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是由，构造函数，利用其单调性得解.11．已知双曲线在左，右焦点分别为，，以为圆心，以为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在轴左侧交于，两点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】分析：首先将双曲线的焦距设出，之后借助于正三角形的特征，求得对应线段的长，从而进一步求得点A的坐标，利用点在双曲线的渐近线上，得到点的坐标所满足的关系式，从而确定的关系，结合双曲线中的关系，进一步求得离心率的大小.详解：设，设与x轴相较于M点，根据正三角形的性质，可以求得，从而求得，所以有，故选A.点睛：该题考查的是有关双曲线的性质的问题，在解题的过程中，注意找渐近线上的点的坐标，也可以利用等边三角形的性质，可以确定出渐近线的倾斜角，从而求得的关系，结合双曲线中的关系，进一步求得离心率的大小，这样更省时间.12．设分别是函数和的零点(其中)，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函数与方程思想，得到两根满足的方程关系，然后根据对称性原则得到两根的关系，最后再通过构造函数求解范围.【详解】令，得即，所以是图像与图像的交点，且显然，令，得，即，所以是图像与图像的交点，因为与关于对称，所以两根也关于对称，所以有，所以，令在上单调递减，所以故选：C二、填空题13．已知向量，，且与垂直，则______．【答案】【分析】求得坐标，根据垂直关系列出式子即可求解.【详解】，，，与垂直，，解得.故答案为：.14．在中，，，，在线段上，若与的面积之比为，则__________【答案】1【分析】先根据面积之比求得，再代入余弦定理即可求解．【详解】如图，因为与的面积之比为，所以，又因为，所以，在中，由余弦定理得，所以.故答案为：1.【点睛】本题主要考查用余弦定理来解三角形，考查学生的计算能力和公式得掌握程度，属于基础题.15．已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的常数项为________.【答案】【分析】赋值令，根据展开式中各项系数的和求得，再结合的二项展开式的通项公式分析运算.【详解】令，可得展开式中各项系数的和为，解得，可得，其中的展开式的通项公式为，令，则；令，则；故该展开式中的常数项为.故答案为：.16．已知为坐标原点，抛物线的方程为，直线与交于两点，若，则面积的最小值为________.【答案】16【分析】直线斜率显然存在，设，直线方程为，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，由求得，然后由弦长公式求得弦长，再求得原点到直线的距离，得出三角形面积后可得最小值．【详解】直线斜率显然存在，设，直线方程为，由得，，，，，，则，，或，时，直线过原点，不合题意，因此，满足，，直线方程为，，原点到直线的距离为，所以，所以时，取得最小值．故答案为：16.三、解答题17．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心.据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）；(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；(3)用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列及期望.【答案】(2)(3)分布列见解析，【分析】（1）根据频率和为1求，进而可求平均数；（2）根据题意结合古典概型分析运算；（3）根据题意可得，根据二项分布求分布列和期望.【详解】（1）由小矩形面积和等于1可得：，解得.平均年龄（岁）.（2）第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30根据分层抽样可得：第1组抽取人，第2组抽取人再从这5人中抽取3人，设至少1人的年龄在第1组中的事件为A，其概率为.（3）由题意可知：，则有：，，，.∴X的分布列为：X0123P可得的数学期望.18．如图，等腰梯形中，，，，E为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面ABCD）．(1)求证：；(2)若把折起到当平面平面时，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据折叠问题结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）建系，利用空间向量求二面角.【详解】（1）连接，设，由题意可得：，，

∴四边形为菱形，则，折叠后，，，平面，∴平面，且平面，故.（2）若平面平面，由，平面平面，平面，可得平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，可得，，设平面的一个法向量为，则，令，则，得，∵为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，则，由图观察知：二面角是钝角，故二面角的余弦值为．19．已知数列的前项和为，，从：①；②；③中选出一个能确定的条件，补充到横线处，并解答下面问题.(1)求数列的通项公式；(2)设数列，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）选①可得不能确定，选②作差得到，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出通项公式，选③可得是以为首项，为公差的等差数列，即可求出通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和计算可得.【详解】（1）选①作条件：因为，，数列奇数项确定，但未知，故数列偶数项不确定，因此数列不确定，不能选①；选②作条件：，，当时，则，当，所以，所以，

又因为，对任意正整数，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以；选③作条件：因为，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，又因为，所以；（2）由（1）知，等差数列的通项公式，于是，

所以.20．已知过点的椭圆：的焦距为2，其中为椭圆的离心率．(1)求的标准方程；(2)设为坐标原点，直线与交于两点，以，为邻边作平行四边形，且点恰好在上，试问：平行四边形的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．【答案】(1)(2)是定值，定值为【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；（2）根据题意结合韦达定理求点，代入椭圆方程可得，结合弦长公式求面积即可，注意讨论直线的斜率是否存在.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，由题意可得，解得，故的标准方程为.（2）平行四边形的面积为定值，理由如下：由（1）可得：，则有：当直线的斜率不存在时，设，若为平行四边形，则点为长轴顶点，不妨设，可得，解得，故平行四边形的面积；当直线的斜率存在时，设，联立方程，消去y得，则，可得，∵，若为平行四边形，则，即点在椭圆上，则，整理可得，满足，则，可得，点到直线的距离，故平行四边形的面积；综上所述：平行四边形的面积为定值.【点睛】方法定睛：求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．21．已知函数的图象在点处的切线与直线平行．(1)求实数m的值，并求函数的单调区间；(2)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)，增区间是，减区间是(2)【分析】(1)由导数的几何意义列方程求，根据导数与函数的单调性的关系求函数的单调区间；(2)由已知对任意恒成立，讨论，利用导数求的最小值，结合条件求a的取值范围．【详解】（1）函数的定义域为，，因为函数的图象在点处的切线与直线平行，所以，故，解得，所以，所以．当时，，又，则，故，所以在上单调递减．设，则，当时，，，是增函数，即在上单调递增，所以，因此在上单调递增，所以的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）不等式可化为，设，由已知可得在上恒成立，满足题意．因为，令，则，令，