高等数学同济版第一章

高等数学同济(tónɡjì)版第一章第一页，共40页。数学——研究(yánjiū)数和空间图形及其相互关系的科学数学(shùxué)不仅(bùjǐn)是一种工具,数学而且是一种思维模式;

不仅是一种知识,

而且是一种素养;

不仅是一种科学,

而且是一种文化;

能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志.数学一、什么是数学?第二页，共40页。2高等数学—研究(yánjiū)对象为变量,运动(yùndòng)和辩证法进入了数学.1.分析根底(gēndǐ):函数,极限,连续

2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程主要内容：多元微积分二、什么是高等数学?初等数学—研究对象为常量,以静止观点研究问题.初等数学

——代数、几何、三角、解析几何第三页，共40页。3三、如何(rúhé)学习高等数学?学数学(shùxué)最好的方式是做数学(shùxué)预习(yùxí)复习作业考勤自我学习的能力微信公众号:山东建大高等数学第四页，共40页。4新生(xīnshēng)寄语学而优那么(nàme)用,学而优那么(nàme)创治学(zhìxué)之道：宽,专,漫

根底要宽专业要专

要使自己的专业知识漫到其他领域厚积薄发做好当下第五页，共40页。5第一章分析(fēnxī)根底函数(hánshù)极限(jíxiàn)连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限第六页，共40页。6一、映射(yìngshè)二、函数(hánshù)的概念第一节映射(yìngshè)与函数

第一章三、函数的几种特性四、反函数五、复合函数六、初等函数第七页，共40页。7一、映射(yìngshè)映射(yìngshè)设X,Y是两个(liǎnɡɡè)非空集合,假设存在一个对应规那么f,使得有唯一确定的与之对应,那么称f为从X

到Y

的映射,记作元素

y

称为元素x

在映射

f

下的像

,记作元素

x

称为元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

称为映射f

的定义域

;Y

的子集称为f

的值域

.第八页，共40页。8注意(zhùyì):1)映射的三要素—定义域,对应(duìyìng)规那么,值域.2)元素(yuánsù)x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.对映射假设,那么称f为满射;假设有那么称f为单射;假设f既是满射又是单射,那么称f为双射或一一映射.第九页，共40页。9例如(lìrú)

f

既是满射又是单射,故f为双射或一一映射(yìngshè).又如海伦(hǎilún)公式(满射)第十页，共40页。10X(数集或点集

)说明(shuōmíng):在不同数学(shùxué)分支中有不同的惯用名称.X(≠

)Y(数集)f称为(chēnɡwéi)X上的泛函X(≠

)Xf称为X

上的变换

Rf称为定义在X

上的函数映射又称为算子.例如,目录第十一页，共40页。11定义域二、函数(hánshù)的概念1.函数(hánshù)的概念设数集那么(nàme)称映射为定义在D

上的函数,记为自变量因变量叫作函数在x0处的函数值.称为函数的值域.函数图形:第十二页，共40页。12〔1〕单值函数(hánshù)多值函数(hánshù)没有特别说明(shuōmíng)，均指单值函数.说明：例如在(-r,r)内为多值函数.为单值函数,在〔2〕函数相等例如：和是不同的函数〔对应关系不同〕和是不同的函数〔定义域不同〕和是相同的函数.第十三页，共40页。13例1函数(hánshù)解及写出f(x)的定义域及值域,并求f(x)的定义域值域第十四页，共40页。14例2函数例3绝对值函数例4符号(fúhào)函数Sign[sain]1x显然(xiǎnrán)：定义域为值域为第十五页，共40页。15例5取整函数(hánshù)：如3yx1123-1-2-3-2-1-32不超过(chāoguò)x的最大整数，记做：目录(mùlù)除例2外都是分段函数第十六页，共40页。161.函数(hánshù)的有界性上界:

为一个上界.称f(x)在

X上有上界.下界(xiàjiè):称f(x)在X上有下界.

为一个下界.有界:|f(x)|M.M为正数(zhèngshù)无界:在(0,1)内有下界,但没有上界,所以无界.例如f(x)=sinx,有界.结论f(x)在X上有界f(x)在X上既有上界又有下界.使得三、函数的几种特性第十七页，共40页。172.函数(hánshù)的单调性设f(x)的定义域为D，区间I

D,对于I

上任意两点若恒有f(x1)<f(x2),则称f(x)在I

内单调增加

;则称f(x)在I

内单调减少

.若恒有f(x1)>f(x2),单调增加或单调减少的函数(hánshù)统称为单调函数(hánshù).图象(túxiànɡ)：第十八页，共40页。183.函数(hánshù)的奇偶性设f(x)的定义域

D关于原点对称（即x

D，x

D），偶函数的图形关于(guānyú)y轴对称，奇函数的图形关于(guānyú)原点对称.若恒有

，则称f(x)在

D内为偶函数.若恒有，则称f(x)在D内为奇函数

;说明(shuōmíng)假设在x=0有定义,为奇函数时,那么当必有第十九页，共40页。19例如(lìrú),

偶函数双曲余弦(yúxián)记又如,奇函数双曲正弦(zhèngxián)记P13：第二十页，共40页。20再如,奇函数双曲正切(zhèngqiē)记说明(shuōmíng)给定那么(nàme)偶函数奇函数P11例11自学：P11函数的运算第二十一页，共40页。214.函数(hánshù)的周期性都有(xl)D，且

f(xl)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，设f(x)的定义域为D，如果存在l≠0,使得对于任意xD,l称为(chēnɡwéi)f(x)的周期.通常(tōngcháng)，周期是指最小正周期.周期为

周期为注周期函数不一定存在最小正周期.例如常量函数狄利克雷函数x

为有理数x

为无理数目录第二十二页，共40页。221.反函数的概念(gàiniàn)假设(jiǎshè)函数为单射,那么(nàme)存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f

的反函数

.其反函数(减)(减).(1)y＝f(x)单调递增且也单调递增2.反函数的性质四、反函数相对而言，y=f(x)称为直接函数.第二十三页，共40页。23(2)函数(hánshù)与其(yǔqí)反函数的图形关于(guānyú)直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数第二十四页，共40页。24考虑正弦函数(hánshù)、余弦函数(hánshù):第二十五页，共40页。25得到(dédào)反正弦函数、反余弦函数:反三角函数都是多值函数，可选取(xuǎnqǔ)其单值支作为主值.第二十六页，共40页。26考虑正切(zhèngqiē)函数:得到反正(fǎnzhèng)切函数:第二十七页，共40页。27考虑(kǎolǜ)余切函数:得到(dédào)反余切函数:目录(mùlù)第二十八页，共40页。28那么(nàme)设有函数(hánshù)链称为由①,②确定(quèdìng)的复合函数,①②u称为中间变量.注意

构成复合函数的条件不可少.例如,

函数链:可定义复合函数五、复合函数但函数链不能构成复合函数.第二十九页，共40页。29两个(liǎnɡɡè)以上函数也可构成复合函数.例如(lìrú),可定义复合(fùhé)函数:约定:为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域,

默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.目录第三十页，共40页。30六、初等(chūděng)函数1.根本初等(chūděng)函数幂函数、指数函数(zhǐshùhánshù)、对数函数、三角函数、反三角函数2.初等函数由常数及根本初等函数否那么称为非初等函数.例如

,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四那么运算和复合步骤所构成,称为初等函数

.可表为故为初等函数.又如

,

双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学,P13–P15)如

第三十一页，共40页。31设函数(hánshù)

x

换为f

(x)例6解第三十二页，共40页。32例7求的反函数及其定义域.解当时,那么(nàme)当时,那么(nàme)当时,那么(nàme)反函数定义域为第三十三页，共40页。33内容(nèiróng)小结1.映射(yìngshè)的概念定义域对应(duìyìng)规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构2.函数的定义及函数的二要素

第一章第一节作业：1~6结束第三十四页，共40页。34且备用(bèiyòng)题证明(zhèngmíng)证:

令那么(nàme