湖南省浏阳一中08-09学年高一数学下学期竞赛试题

浏阳一中2008年下学期高一数学竞赛试题一、选择题（共8题，每题4分）1．已知会集=x|x3，=x|x3，则会集x|x1（）x0=1A．MNB．MNR(MN)RC．CD．C(MN)2．若函数yf(x1)的图像与函数ylnx1的图像关于直线yx对称，则f(x)（）A．B．C．D．3．设奇函数在(0,)上为增函数，且f(1)0，则不等式f(x)f(x)0的解x集为（）A．(1,0)(1,)B．(,1)(0,1)C．(,1)(1,)D．(1,0)(1,0)4．若直线axbyc0经过第一、二、三象限，则（）A．ab0,bc0B．ab0,bc0C．ab0,bc0D．ab0,bc05．设有直线和平面，以下四个命题中正确的选项是（）A．若m//,n//,则m//nB．若m,n,m//,n//,则//C．若,ma,则mD．若,m,m,则m//6．长方体ABCD-ABCD中，AB=BC=2，AA=1，则BC与平面BBDD所成的角的正11111111弦值为（）A．6B．25C．15D．1035557．连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为

2

7,4

3，M、N分别是

AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有以下四个命题：①弦AB、CD可能订交于M。③MN的最大值为5其中真命题的个数为（）A．1个B．2个

②弦AB、CD可能订交于N。④MN的最小值为1。C．3个D．4个8．如图，动点在正方体

ABCD

A1B1C1D1的对角线上，过点作垂直于平面

BB1D1D的直线，与正方体表面订交于M，N．设BPx，MNy，则函数yf(x)的图象大体是（）D1Cyyyy1A1B1DPNCOxOxOxOxMABA．B．C．D．二、填空题9．已经直线经过点A（3，a），B（a-2,3），直线过M（3，a），N（6，5），若m1m2，则a=______________10．设定义在R上的函数知足f(x)?f(x2)13，f(1)2，则f(99)_____________11．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为_______________12．已知函数f(x)3ax(a1)a1①若a0，则的定义域为______________②若在区间上为的减函数，则的范围是__________________三、解答题13．已知A（4，1），B（0，4）两点和直线L：y=3x-1，（1）在直线L上找一点M，使|MA|+|MB|最小，求出M点坐标和最小值；（2）在直线L上找一点N，使||NA|-|NB||最大，求出N点坐标和最大值。14．在三棱锥P-ABC中，CA=CB=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PCAC。1）求证PCAB。（2）求二面角B-AP-C的大小的正弦值

PAB共C15．已知二次函数的二次项系数为a，且不等式f(x)2x的解集为（1，3）1）若f(x)6a0有两个相等的根，求的剖析式2）若的最大值为正数，求a的取值范围16．设a、b，且a2，定义在区间（-b,b）内的函数=lg1ax是奇函数12x（1）求a的值（2）求b的取值范围（3）谈论的单调性。17．已知函数的定义域为R，对任意实数m、n都有f(mn)f(m)?f(n)，且当x0时，0f(x)1（1）证明f(0)1，且x0时，>1（2）若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)128浏阳一中2008年下学期高一数学竞赛试题答卷一选择题（共8小题，每题4分）题号12345678答案二填空题（共4小题，每题4分）9______________________10_______________________11_____________________12________________________________三解答题1314PABPABC151617答案一、选择题（共8题，每题4分）1．已知会集=x3，=x|x3，则会集（）x|0x|x1=Dx1A．MNB．MNR(MN)RC．CD．C(MN)2．若函数yf(x1)的图像与函数ylnx1的图像关于直线yx对称，则f(x)（B）A．B．C．D．0，则不等式f(x)f(x)3．设奇函数在(0,)上为增函数，且f(1)0的解集为（Dx）A．(1,0)(1,)B．(,1)(0,1)C．(,1)(1,)D．(1,0)(1,0)4．若直线axbyc0经过第一、二、三象限，则（D）A．ab0,bc0B．ab0,bc0C．ab0,bc0D．ab0,bc05．设有直线和平面，以下四个命题中正确的选项是（D）A．若m//,n//,则m//nB．若m,n,m//,n//,则//C．若,ma,则mD．若,m,m,则m//6．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为（D）A．6B．25C．15D．1035557．连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为27,43，M、N分别是AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有以下四个命题：①弦AB、CD可能订交于M②弦AB、CD可能订交于N③MN的最大值为5④MN的最小值为1其中真命题的个数为（C）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，动点在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线上，过点作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面订交于M，N．设BPx，MNy，则函数yf(x)的图象大体是（B）D1Cyyyy1A1B1DPNCOxOxOxOxMBA．B．C．D．A二、填空题9．已经直线经过点A（3，a），B（a-2,3），直线过M（3，a），N（6，5），若m1m2，则a=_0或5_____________10．设定义在R上的函数知足f(x)?f(x2)13，f(1)2，则f(99)________13_____211．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为_______________12．已知函数f(x)3ax(a1)a1①若a0，则的定义域为___(,3]___________a②若在区间上为的减函数，则的范围是____,01,3______________三、解答题13．已知A（4，1），B（0，4）两点和直线L：y=3x-1，（1）在直线L上找一点M，使|MA|+|MB|最小，求出M点坐标和最小值；（2）在直线L上找一点N，使||NA|-|NB||最大，求出N点坐标和最大值。解：（1）直线AB与直线L的交点即为所求的点M。直线AB的方程为y3x4，由方程组434x4得M（4,3)。此时|MA|+|MB|的最小值为|AB|=53y3x1（2）设A（4，1）关于直线L：y=3x-1的对称点为C（x,y）y1?311x4x4x得C（-2，3）BC的方程为yy14223?12直线BC与L的交点即为所求的点Ny3x1得N（2，5）此时||NA|-|NB||最大即为|BC|=1x4214．在三棱锥P-ABC中，CA=CB=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PCAC。1）求证PCAB。（2）求二面角B-AP-C的大小的正弦值P（Ⅰ）取中点，连结PD，CD．APBP，PDAB．ABACBC，P共CDAB．CPDCDD，DAB平面．APC平面，BPCAB．C（Ⅱ）ACBC，APBP，△APC≌△BPC．P又PCAC，EPCBC．又ACB90，即ACBC，且ACPCC，ABBC平面．C取中点．连结BE，CE．ABBP，BEAP．EC是在平面内的射影，CEAP．BEC是二面角BAPC的平面角．在△BCE中，BCE90，BC2，BE36，AB2sinBECBC6．BE3．15．已知二次函数的二次项系数为a，且不等式f(x)2x的解集为（1，3）1）若f(x)6a0有两个相等的根，求的剖析式2）若的最大值为正数，求a的取值范围解：设f(x)ax2bxc则不等式f(x)2x即为ax2(b2)xc0.a0a0由其解集为（1，3）b213所以b4a2ac3ac13a所以f(x)ax2(4a2)x3a(a<0)(1)f(x)6a0即为ax2(4a2)x9a0有两个相等的根(4a2)236a20a1或a=1（舍去）5（2）若的最大值为2正数a0(4a2)212a02a23或23a016．设a、b，且a2，定义在区间（-b,b）内的函数=lg1ax是奇函数12x（1）求a的值（2）求b的取值范围（3）谈论的单调性。解：（1）函数是奇函数关于定义域内每个X都有f(-x)+f(x)=0得a2得=lg12x不得由12x0得1x10b112x12x222（3）f(x)是定义域内的减函数11证明：设x2b，则bx1122f(x1)f(x2)12x112x2(12x1)?(12x2)lglglg2x2lg2x2)(12x2)12x11(1又(12x1)(12x2)(12x1)(12x2)4(x2x1)0(12x1)(12x2)(12x1)(!2x2)1f(x1)f(x2)lg(12x1)?(12x2)0.(12x2)(12x2)f(x1)f(x2)即函数f(x)是(-b,b)上的减函数。17．已知函数的定义域为R，对任意实数m、n都有f(mn)f(m)?f(n)，且当x0时，0f(x)1（1）证明f(0)1，且x0时，>1（2）若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)128解：（1）f(mn)f(m)?f(n)f(10)f(1)?f(0)f(1)0f(0)1设x0时，则-x>0,0<f