2023年九年级数学中考专题训练-二次函数的最值(带答案)

中考专题训练——二次函数的最值

22

1.已知一系列具备负整数系数形式规律的“负倍数二次函数”：%=-x-2x,y2=-2x-4x,

2

y3=—3x—6x,

⑴探索发现，所有“负倍数二次函数”都有同一条对称轴直线

⑵求二次函数的解析式及其顶点坐标.

⑶点（T，io）是否是“负倍数二次函数”中某一抛物线的顶点，若是，请求出它所在的抛物线解

析式，并求出-2VXV1对应的y的取值范围；若不是，请说明理由.

2.如图，抛物线y=ax2+版+c与x轴交于A（-2,0）,3（6,0）两点，

与F轴交于点C.直线/与抛物线交于两点，与y轴交于点E,

点〃的坐标为（4,3）.

（1）求抛物线的解析式与直线/的解析式；

⑵若点。是抛物线上的点且在直线/上方,连接以、阳，求当.PAD

面积最大时点。的坐标及该面积的最大值；

⑶若点〃是y轴上的点，且ZAOQ=45。，求点。的坐标.

3.已知抛物线了=以2+2以-3"（〃为常数，awO）

⑴求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含。的代数式表示）；

⑵若a<0.且尸（"］，乂）与。（-5,%）是该抛物线上的两点，且

凹<必，求”的取值范围；

⑶如图，当a=-l时，设该抛物线与x轴分别交于A、5两点，

点A在点8的左侧，与V轴交于点C.点。是直线AC上方抛物

线上的一个动点，8。交AC于点E,设点。的横坐标为J记

S=A，当「为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值.

4.在平面直角坐标系中，设二次函数产-⑼=3-〃？（勿是实数）.

⑴当加=2时，若点A（8,〃）在该函数图象上，求〃的值.

（2）小明说二次函数图象的顶点在直线y=-gx+3上，你认为他的说法对吗？为什么？

⑶已知点P(a+M),Q(4，"5+a,c)都在该二次函数图象上，求证：c<^-.

O

5.如图，直线y=x-3交X轴于点8,交y轴于点4,抛物线y=4+4x+c经过点48,点C

为抛物线的顶点.

⑴求抛物线的解析式及点61的坐标；

⑵将抛物线y=+©+c向下平移⑺个单位长度.

①当0VXM3时，用含加的式子表示y的取值范围；

②点C的对应点为C,连接AC,BC,若S^ABC.=2,求加的值.

6.已知二次函数5=-炉+2g+1；

⑴求证：无论，”取任何值，二次函数的图像与x轴总有两个不

同的交点；

⑵若此函数图像的顶点为。点，与｝'轴的交点于点C,直线与

x轴相交于点A,对称轴的直线与x轴相交于点8,求证：BC，AQ；

⑶当-2MxM1时，二次函数y=-x2+2/nx+l有最大值4,求优的

值.

7.在平面直角坐标系中，设二次函数匕=(x+〃)(%-k-1),其中〃力0

⑴若函数匕的图象经过点(3,4),求函数%的表达式；

⑵若一次函数%=版+。的图象与函数匕的图象经过x轴上同一点，探究实数“，6满足的关

系式；若6随彳的变化能取得最大值，证明：当。取得最大值时，抛物线匕=(x+〃)(x-k

-1)与x轴只有一个交点；

(3)已知点。J。，m)和。(1,n)在函数匕的图象上，若mV",求的取值范围.

8.如图，抛物线丫=加+"+3与x轴交于4,8两点，坐标分别为点

A(TO),8(3,0),与y轴交于点C,作直线BC,动点。在x轴上运

动，过点P作外小x轴，交抛物线于点M,交直线优于点N,设点P

的横坐标为m.

⑴求抛物线的解析式；

⑵当点。在线段如上运动时，求线段椒的最大值；

试卷第2页，共6页

⑶当以C,0,M,〃为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出力的值.

9.设二次函数了=/-(利+1)》+加+2加+2(勿是常数).

⑴当机=3时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；

⑵试判断二次函数图象与x轴的交点情况；

⑶设二次函数的图象与y轴交于点(0,"),当时，求〃的最大值.

10.如图，在平面直角坐标系中，直线y=；x+2与X轴交于点4与y轴交于点8,抛物线

y=-；d+bx+c经过48两点，与x轴的另一个交点为C.

(1)求抛物线的解析式.

⑵若点。是抛物线上位于直线48上方的一个动点，设点，的横坐标为t,过点，作y轴的平

行线交的于£当士为何值时，线段宏的长最大，并求其最大值；

⑶是否存在点。，使得ZD8A的度数恰好是“BAC的2倍？如果存在，求出点。的坐标；如果

不存在，请说明理由.

11.已知二次函数p=-(x-«)2+k.

⑴若该函数图象与x轴的两个交点横坐标分别为-1和3,求函数的表达式；

⑵若该函数与x轴有两个交点，求〃的取值范围；

⑶若在〃WxW2A-3范围内，该函数的最大值与最小值的差为4,求〃的值.

12.已知二次函数y=a(x-x,)(x-x?),其中x7Vx?.

(1)若a=1,x,=1,Xz=4,求二次函数顶点坐标；

(2)若x,+xz=4,当x=0时，y>0,当x=3时，y<0,且mVx2V"(加，〃为相邻整数)，求

m^n的值；

⑶在(1)的条件下，将抛物线向左平移"(">0)个单位，记平移后y随着x的增加而减小

的部分为凡若。和直线/=*-〃有交点，求5"的最小值.

13.在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线尸ax?-4a/1(a>0).

5

4

2

1

2345x

⑴抛物线的对称轴为—；

(2)若当1WxW5时，y的最小值是7,求当1WxW5时，p的最大值；

⑶已知直线尸-/3与抛物线片ax?-4a/1(a>0)存在两个交点，设左侧的交点为点户(必,

%)，当-2Wx,VT时，求a的取值范围.

14.已知抛物线产加+2奴+a-7(”0)经过点4(4,-2),顶点为8.

⑴求a的值及顶点8的坐标；

⑵求直线的函数表达式；

⑶若。是抛物线上一动点，设点。的横坐标为相(-14，〃44),△砂的面积为S,求S的最大值.

15.已知点4(2,-3)是二次函数.丫=/+(2,"-1»-2根图象上的点.

(1)求二次函数图象的顶点坐标：

(2)当-14x44时，求函数的最大值与最小值的差：

⑶当tWxWf+3时，若函数的最大值与最小值的差为4,求大的值.

16.在平面直角坐标系x勿中，抛物线y=-X'+6A+C与x轴交于点力，8(4在8的左侧)

5-

4

3

2

-4-3-2-1°234

-1

-2

试卷第4页，共6页

⑴若抛物线的对称轴为直线X=1,点/的坐标为（-1,0）,求6和c的值；

（2）将（1）中的抛物线向左平移两个单位后再向下平移，得到的抛物线经过点0.且与x轴正

半轴交于点C,记平移后的抛物线顶点为只求点。的坐标；

⑶当6=6时，在抛物线上有两点"（加，匕）和〃（m'3,%），且匕V段,请直接写出R的取

值范围.

17.已知关于x的二次函数y=x2-2ax+a2+2a.

⑴当”=1时，求已知二次函数对应的抛物线的顶点和对称轴；

⑵当4=2时，直线y=2x与该抛物线相交，求抛物线在这条直线上所截线段的长度；

⑶若抛物线>=》2-2妆+4+2”与直线x=4交于点4求点彳到x轴的最小值.

17

18.如图，已知二次函数>=-1*2+5》+4的图像与x轴交于点4,B,与V轴交于点C,顶点

⑵求直线861的解析式；

⑶点£是第一象限内抛物线上的动点，连接比，CE,求48g面积的最大值；

⑷以48为直径，"为圆心作圆明试判断直线3与圆"的位置关系，并说明理由

19.设抛物线），=o?+板一3%其中a、。为实数，a<0,且经过（3,0）.

⑴求地物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；

⑵若〃=-2,当时，函数的最大值是6,求才的值；

⑶点4坐标为（0,4）,将点4向右平移3个单位长度，得到点8.若抛物线与线段A8有两个

公共点，求a的取值范围.

20.如图，抛物线y=-x?+2/3的图象与x轴交于4,8两点（x/>x8）,与y轴交于点C.

⑴求点4B,C的坐标；

⑵点"（加，0）是线段四上的动点，且1VmV3.过点"作施_Lx轴，交抛物线于点儿交

直线4C于点E.过点。作交抛物线于点0.过点〃作轴于点N,可得矩形PQNM.试

求矩形。必例的周长L关于加的函数解析式；

⑶在（2）的条件下，当小的值是多少时，矩形。刎的周长上的值最大？并求出/■的值最大

时△/!£■"的面积S.

试卷第6页，共6页

参考答案:

I.(1)-1

(2))7?二-湛・2心顶点坐标为(-1,H)

(3)是，产-10/-20%,当一2VxVI时，・30£v^l0

【分析】(1)由抛物线对称轴为直线户-二求解.

2a

222

(2)根据弘=-x-2x,y2=-2x-4x,y3=-3x-6x,可得/=-m2_2n进而求解.

(3)将(-1,10)代入/=-"f-2”x求〃的值，即可判定是否为顶点，再根据二次函数性质求解即可.

(1)

解：•••抛物线对称轴为直线x=-3，

2a

22

.••抛物线M=-x?-2x,y2=-2x-4x,y3=-3x-6x,的对称轴为直线4-1,

故答案为：-1.

(2)

解：9=-/-2%=-1x2x,

_y2=-2x2-4x=-x2-2x2x,

JJ=-3X2-6X=-3X2-3X2X,

yn=-rv^-2nx,

把4-1代入得：yn--n+2n=n,

.,.二次函数y〃的解析式为冲=-〃/-2/1¥,顶点坐标为(-1,it).

(3)

解：由(2)知冲=-渡-2内的顶点坐标为(-1,«).

当〃=10时,其顶点坐标为(-1,10),

.•.点(-U0)是y=.l0x2-20x的顶点坐标；

Vx=-10,抛物线开口向下，对称轴为直线x=-l,

.•.当-2«x41时,)，有最大值10,

当x=-2时，y=-10x(-2)2-20x(-2)=0,

当产1时，y=-10x12-20x1=-30,

.•.当-24x41时,y有最小值-30,

所以当时，-3g比10.

【点评】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，根据"、”

的解析式的规律，求出冲的解析式，二次函数的性质.

2.(l)y=--x2+x+3,y=—x+1；

42

2715

(2)4%。的面积最大值为二，P(1,—)；

44

13

⑶(0,1)或(0，-9)

【分析】(1)利用待定系数法求解函数解析式；

(2)过点P作PE〃y轴交4。于E,设-；〃2+〃+3),则以〃，；〃+1)，根据工办”-/)-PE=3PE,

得到PE的值最大时，△%。的面积最大，求出PE的最大值即可；

(3)如图2,将线段4。绕点A逆时针旋转90。，得到AT,则7(-5,6),设。7交)，轴于Q,则/4。。=45。，

作点T关于A。的对称点T'(1，-6),设力。'交y轴于点Q',则NAOQ'=45。，分别求出直线DT,直线。厂

的解析式即可解决问题.

【解析】(1)解：将点A、B、。的坐标代入y=ox2+w+c,,得

4〃-2Z?+c=0"—4

<36〃+6/?+c=0,解得,力=1,

16〃+4/?+c=3c=3

.•・抛物线的解析式为y=_；/+x+3；

4

・•,直线/经过点A,。，

/.设直线I的解析式y=kx+mf

-2k+in=0

得2,

4Z+〃2=3

in=1

:•直线/的解析式为y=；x+i；

(2)如图1,过点尸作尸E〃y轴交A。于E,

图1

设P(小—，「+〃+3),贝ljE(〃，一〃+1),

42

:S^=-\xD-xA\PE=3PE,

・・・PE的值最大时，的面积最大，

PE=--n2+n+3-|-n+1|

412J

=--(H-1)2+2,

4V)4

9

・・・当〃=1时，PE的值最大，最大值为了,

4

2715

此时△必。的面积最大值为7,小，尹

(3)如图2,将线段A。绕点A逆时针旋转90。，得到AT,则T(-5,6),

设DT交y轴于Q,则ZADQ=45°,

,：D(4,3),

113

直线OT的解析式为y=,

13

Q(0,—),

3

作点7关于A。的对称点「(1,-6),

则直线DT的解析式为y=3x-9,

设。。'交y轴于点。'，则NAD。'=45。,

：.Q(0,-9),

13

综上所述，满足条件的点。的坐标为(0,三)或(0,-9).

【点评】此题考查了二次函数与一次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，直线

与y轴的交点，熟练掌握知识点并应用解决问题是解题的关键.

3.⑴顶点为(-1,-4a).对称轴为直线x=-l；

(2)〃?>3或m<-5；

39

⑶当七时’s有最大值记

【分析】(1)将解析式化为顶点式，即可顶点顶点坐标及对称轴；

(2)根据函数值的大小即可得到|-1-同由此求解；

(3)根据y=-/-2x+3,求出8(1,0),4(-3,0),由S=今迹得至ljS=空，过点力作。凡Lx轴交

〉AABEBE

AC于点F,过点8作BG_Lx轴交AC于点G,求出直线AC的解析式，设。6—』—2，+3),则尸(3什3),

得到。F=兄"8G=4,将-23/=4S化为二次函数的顶点式，根据函数的性质求出S最大值.

(1)

解：y=ax2+2ax-3a

=y=a(^x2+2x-3)

=〃(x+l)2-4a,

J顶点为(-1,-4〃)，对称轴为直线户-1；

(2)

Vtz<0,

・・・抛物线开口向下，

・.・P(my)与。(-5,必)是该抛物线上的两点，且%<必，

.•.|-l-w|>[-5-(-1)],

；・〃?>3或tn<-5；

(3)

当时，y=-x2-2x+3,

令产0,则x=-3或户1,

：.B(1,0),A(-3,0),

..C_S"DE

:.S回,

BE

过点。作_L1轴交AC于点F,过点B作8G_Lx轴交AC于点G,

:.DF〃BG,

△DEFs^BEG,

.EDDF

・・3Q==

BEBG

设直线AC的解析式为y=kx+b,

心=3=3

解得g

\-3k+b=0

.•.y=x+3,

设O(r,-?-2r+3),则尸。，什3),

：.DF=-f-,it,BG=4,

：.-l2-3t=4S,

.„If3V9

••S=--1tH—H---9

当广-：3时，S有最大值9

216

【点评】此题是二次函数的综合题，求二次函数的顶点坐标及对称轴，利用函数值的大小确定自变量，二

次函数的最值计算，综合掌握二次函数的知识是解题的关键.

4.(1)-7

(2)对，理由见解析

(3)见解析

【分析】(1)把〃?=2,点A(8,〃)代入解析式即可求解；

(2)由抛物线解析式，得顶点是(2加,3-加，把x=2%代入y=-gx+3,求出y值与3M比较，若相等则即

可判断小明说法正确，否则说法错误；

(3)由点P(a+1,c),Q(4m-5+a,c)的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线户"匕岁二^="+2m2,

13

即可得出〃+2»7-2=2%，求得a=2,得到P(3,c),代入解析式即可得到c=(3-2m)2+3-rn=-2m2+5m--

22

=-2(底［5尸+13/，根据二次函数的性质即可证得结论.

48

(1)

解：当机=2时，＞»=-—(x-4)2+1

2

VA(8,〃)在函数图象上，

/.n=—(8-4)2+1=-7

2

(2)

解：由题意得，顶点是(2m,3-加)

当x=2〃？时，y=・；x2m+3=-，％+3

，顶点(2加3-加)在直线y=-gx+3上

(3)

证明：-：P(a+l,c),Q(4〃?-5+mc)都在二次函数的图象上

・2士士/口a+1+4/n-5+a..

..对称轴是直线龙=-------------=〃+2m-2

/.a+2m-2=2m,

：.P(3,c),

把P(3,c)代入抛物线解析式，得

/.c=(3-2/n)2+3-m=~2m2+5m--=-2(/zz--)2+—,

2248

V-2<0,

13

.・・c有最大值为V，

o

••—.

一8

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练

掌握二次函数的性质是解题的关键.

5.(l)y=-x2+4x-3,C(2,l)

②胴或根=3

(2)①—3—m<y<\—in=2,

33

【分析】(1)根据直线解析式求得A8的坐标，代入抛物线解析式待定系数法求解析式即可，然后化为顶

点式即可求得C的坐标，

(2)①根据二次函数平移规律求得平移后的顶点坐标，即可求得当时，最大值，根据离对称轴越

远的点，函数值越小，即可求得最小值，进而求得y的取值范围；

②设直线AB与x=2交于点。，求得点。的坐标，根据三角形面积公式建立绝对值方程求解即可.

(1)

解：•直线y=x-3交X轴于点8,交y轴于点A,

令x=0,则》=-3,令y=0,贝！|x=3

.•.4(0,-3),8(3,0)

代入y=4+4x+c

（0=9a+12+c

得a

[c=-3

[a=—\

解得,

[c=-3

y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1

•・•点C为抛物线的顶点

・・・C（2,l）

（2）

解：将抛物线产-犬+以一3向下平移机个单位长度，

则平移后的解析式为丫=-/+4》-3-机=-（工-2）2+1-加，顶点坐标为（2,1-加），对称轴为x=2

①当0Mx43时，最大值为y=l-，〃，

v2-0>3-2,根据离对称轴越远的点，函数值越小，

，最小值为x=0时，y--3-m

y<l-m9

②依题意，C（2,l-m）

・・・A（0,-3）,3（3,0）

设直线AB的解析式为y=

jh=-3

jo=3Z+Z?

[k=l

解得匕a

[b=-3

・•・直线48的解析式为y=x-3

设直线AB与x=2交于点D,

当x=2时，_y=2-3=-1

二。(2,-1)

C,D=|l-/n+l|=|2-m|

则S,旷=-C'Dx3

SAABC=2

.,.^x|2-w|x3=2

2in

解得：/«=-,或〃?=7

【点评】本题考查了二次函数综合，面积问题，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.

6.(1)见解析

(2)见解析

⑶-G或2

【分析】(1)计算出△，可以证明△大于0,即可说明图象与x轴总有两个不同交点：

(2)根据二次函数解析式，求得。(〃?,〃?2+1),仇见0),C(O,1),再用待定系数法求直线CQ解析式为广〃n+1,

从而可求出点A(-',0),即可计算出A¥=AC2+BC2,由勾股定理的逆定理得出/AC8=90。，即可得出结论;

m

(3)分三种情况：当加92时，且-时，二次函数>=-。-帆)2+m2+1有最大值%当户_2时，

函数取得最大值；当且-2VxVl时，二次函数)=-。-加)2+加2+1有最大值4,当广加时，函

数最大值为m2+1=4；当加>1,且-2KxW1时，二次函数y=-(元-机)2+"，+1有最大值4,当x=l时，函

数取得最大值；分别求解即可.

(1)

证明：△=(2加)2_4X(-1)xl

=47?J2+4

*.*/n2>0,

・・・4〃?2+4>0

即/>0,

・•・无论相取何值时，其图象与x轴总有两个不同交点；

(2)

证明：由y=-x2+2mx+1=-(x-/n)2+w2+1,得D(fn,ni2+\),B(/w,0),

令x=O则尸1,则C(0,l),

设直线CD解析式为y-kx+b,

把。(肛序+l),C(O,1)代入,得

m2+\=km+b,[k-m

.,，解得：…，

\=b[h=l

直线CD解析式为y=tnx+\,

令y=0,则》=-,

m

；・A(・一,0),

m

/.AB2=(nz+—)2=w2+2+,

mm

3氏/+i,

AC2=(—)2+12=!+1,

tnm~

：.AB2=AC2+BC2,

：.ZACB=90°,

：.BC±ADf

(3)

解：由y=-x2+2twc+]=-(x-nt)2+m2+\,

抛物线的对称轴为直线户如

V«=-1<0,抛物线开口向下，

当心-2时，且-2VxW1时，二次函数)?=-(尢-，%)2+/+1有最大值4,

工当户-2时，函数取得最大值，

即・(・2-〃。2+〃?2+1=4,解得:m=-1.75(舍去)，

当-2<m<l,且-2Wx«l时，二次函数》=-。-⑼2+/+1有最大值4,

当x=m时，函数最大值为+1=4,

解得：加=-由或m=6(舍去)，

当论1,且时，二次函数尸-*-m)2+/+1有最大值4,

，当户1时，函数取得最大值，

即-(l-/n)2+/n2+l=4,解得：m二2,

综上，机二百或〃2二2.

【点评】本题考查二次函数与x轴交点问题，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，勾股定

理的逆定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键.

7.(1)^=x2-x-2

(2)实数上b满足的关系式为8-公=0或公+火+^=0；证明见解析

(3)0<x0<1

22

【分析】(1)yl=(x+k)(x-k-})=x-x-k-k,将(3,4)代入x=f_xM2乂解得公+々=2,进而可得

函数凹的表达式；

(2)由y=(x+A:)(x-kT)可知与x轴的交点坐标为(-左,0),亿+1,0),当交点为(-匕0)时，kx(-k)+b=O,

即［一标=o；当交点为仅+1,0)时,kx仅+1)+6=0,即公+及+八0；由b随无的变化能取得最大值，可

知实数A,〃满足的关系式为公+4+6=0,求出。取得最大值时的左值，代入二次函数中，求出判根公式A

的值然后与零比较，进而可证结论：

(3)由y=(*+4)(一％-1)=/一厂公-人可得对称轴为直线、=一三=(，可知。(1,〃)关于对称轴的点

/XI乙

坐标为(0"),由机＜〃，二次函数的图象与性质可求%的取值范围.

(1)

22

解：yt=(x+^)(x-Z:-l)=x—x—k—k

将(3,4)代入当=/-》一%2—2得32—3—左2-左=4

解得：k2+k=2

函数%的表达式为X=V-x-2.

(2)

解：由y=(x+Z)(x-Z-l)可知与x轴的交点坐标为(-Z,0),(%+1,0)

•••一次函数%=履+〃与必的图象经过x轴的同一点

当交点为(一左，0)时，kx(-k)+b=Q,即6d2=0；

当交点为仅+1,0)时,%*(左+1)+6=0,即/+%+。=0；

综上所述，实数4，b满足的关系式为6-公=0或二+々+6=0.

证明：随A的变化能取得最大值

，实数Kb满足的关系式为隆+左+：=0

/,=_左2_左=_[\+_1)+1

I24

V-l<0

.•.当人=—;时，b能取得最大值

x-1xl-l21

••X=+=X—XH----

2A24

AA=J(-1)2-4xlxl=0

.•.当％取得最大值时，抛物线y/=(x+G)(x-k-1)与x轴只有一个交点.

(3)

解：Vy,=(^x+k)(x-k-1)=x2-x-k2-k

-11

对称轴为直线

2x12

/.Q(L”)关于对称轴的点坐标为(。,〃)

m<n,

...由二次函数的图象与性质可知0<%<1

•••%的取值范围为。<%<1.

【点评】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与x轴的交点坐

标等知识.解题的关键在于对二次函数知识的熟练掌握与灵活运用.

8.(1)y=-x2+2x+3；

(2)y;

4

⑶密旦或三叵

44

【分析】(1)利用待定系数法求解析式：

(2)由题意可得C点坐标为(0,3),求出直线BC解析式由PMJ_x轴，得M-m2+2m+3\NCm,

-m+3),求出MN的长度，根据二次函数的性质求出MN的最大值；

(3)由轴，得到MN〃OC,当以C、0、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN,

当点P在线段08上时，当点P不在线段。8上时，列方程求出机.

(1)

解：•••抛物线>=加+辰+3与x轴交于4,B两点，坐标分别为点A(-l,0),B(3,0),

fq-b+3=0f^z=-l

•••X2C，解得〃…

[Q9。+3b+3=0[b=2

•••抛物线解析式为y=*+2x+3；

⑵

由题意可得C点坐标为(0,3),

设直线BC解析式为广质+6,

把B、C坐标代入可得、[3k+。b=0,

[b=3

[k=-\

解得八。，

[b=3

/.直线BC解析式为y=-x+3.

・"例Lc轴，点P的横坐标为m

.'.MCm,-m2+2m+3),N(m,-m+3),

在线段08上运动，

；.M点在N点上方,

39

MN=—m2+2m+3-(-nt+3)=-m2+3wi=~(m-—)2+—,

39

当机=1时，MN有最大值，MN的最大值为

(3)

轴，

：.MN//0C,当以C、0、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有0C=MN,

当点P在线段OB上时，则有MN=-m2+?>m,

-*+3优=3,此方程无实数根；

当点P不在线段08上时，则有MN=-m+3-(-M+2w+3)=疝-3加，

nr—3m=3,

解得m=.3上②或加=3-虫f,

22

综上可知当以C、0、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，，〃的值为三立i或三q史.

22

【点评】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，解一元二次方

程，正确掌握各知识点是解题的关键，此题属于基础题.

9.(1)二次函数图象的对称轴为直线x=2；顶点坐标为(2,13)

(2)二次函数图象与x轴无交点

(3)"的最大值为10

【分析】(1)把，〃=3代入得出二次函数关系式，然后求出对称轴和顶点坐标即可；

(2)令y=0,判断一元二次方程解的情况即可；

(3)用团表示出〃，把〃看作小的二次函数，求出当-2VZ2时，关于〃?、〃组成的二次函数的最大值即

可.

【解析】(1)解：把机=3代入得：

y=x2-(3+l)x+32+2x3+2

=x2-4x+\7

=(X-2)2+13

二二次函数的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,13).

(2)令y=0得：x2-(/w+l)x+n?2+2n?+2=0,

△=[一(/九+1)1一4("/+2m+2)

=trr+26+1-4〃，-87^-8

=—3AM2—6m—7

=-3(1+2〃2)-7

/\2

=-3(/72+1)--4,

,.,-3(^+1)'<0,

.•.-3(租+1)2-4<0,

，一元二次方程幺一(加+1方+疗+26+2=0无实数解，

.•.二次函数图象与x轴无交点.

(3)令40,

n=m2+2m+2=(〃?+1)2+1,

...函数的对称轴为直线，”=-1,

'：-2<m<2,

.•.当-25<-1时,〃随机的增大而减小；

当-1<m<2时,〃随相的增大而增大,

当m--2时，n-2；

当〃?=-1时，n=\,

当/n=2时,n=10.

，〃的最大值为10.

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，将〃看作，"的函数求"的最大值是

解题的关键.

],3

10.(1))»=——x'——x+2

22

(2)当，=-2时，DE有最大值为2

(3)存在点。，使得NO54=2NBAC,£>(-2,3)

【分析】(1)先求出点A,点3坐标，利用待定系数法可求解析式；

⑵过点。作。于凡交于E,设点”,-132-Qn+2),即,1,+2),利用二次函数的性质可求解；

(3)过点8作BH〃x轴，交抛物线于点H,过点。作DM_Lx轴，交BH于点N,先证明ZDBH=ZHBA=ZBAC,

然后设点。(九-力1"2-力3〃+2),应用三角函数定义建立方程求解.

22

(1)

解：由y=gx+2可得：

当x=0时，y=2；当.y=。时，x=T,

AA(-4,0),8(0,2),

把A、3的坐标代入y=-gi+bx+c得：

c=2

---x16-4Z?+c=0，

2

b=--

解得：2,

c=2

i1

•・・抛物线的解析式为：y=-^x2-1%+2；

(2)

如图，过点。作3F上AC于F,交A8于E,

131

设点加,-5/-,+2),E(t,-t+2),

:.DE=--t2-2l=--(t+2)2+2,

22

..•当7=-2时，DE有最大值为2；

(3)

存在点。，使得"54=2NBAC,理由如下：

如图，过点3作BH〃x轴，交抛物线于点”，过点。作。轴，交BH于点、N,

:.ZBAC=ZHBA,

•;NDBA=24AC,

ZDBH=ZHBA=Z&4C,

在R/MQ5中，OB=2,OA=4,

/.tanZ.DBH=tanZ.BAC=,

OA2

tanZ.DBH-,

NB2

1c313

设点£)(/??,—耳〃?2+,则ON二-弓〃/一不加，BN=-m,

13

,—m2—m.

■-22_1,

-m2

解得：m=-2,

•・•点。的坐标为(-2,3)；

存在点Q,使得NO84=2NB4C,此时点。(-2,3).

【点评】本题是二次函数的综合题，属于中考压轴题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行线的

性质、三角函数定义以及两函数的交点问题.熟练掌握二次函数的性质，正确添加辅助线是解答此题的关

键.

11.(1)尸一(x-1)2+1

⑵40

(3)5

【分析】(1)根据该函数图象与x轴的两个交点横坐标分别为-I和3,求出对称轴，得到左的值即可.

(2)根据该函数与x轴有两个交点，A>0即可.

(3)利用对称轴判断在哪取得最大值和最小值，作差就得到结论.

【解析】(1)解：•••该函数图象与x轴的两个交点横坐标分别为-1和3,

.•.该函数图象的对称轴是x=L

又•.，=-(厂％)2+%的对称轴是

"=1

即函数的表达式是y=-(x-1)2+l.

(2)解：y—~(x~k)2+k

=-x2+2kx-l^-\-k.

•..该函数与x轴有两个交点，

.'.^=h2-4ac=(2k)2-4*(-1)•(k-k2)

=4k>0.

即:k>0.

(3)解：：在小区2Z-3范围内，

：.2k-3>k.

解得：崩3.

,/函数图象开口向下且对称轴是K=k,

时，y有最大值，y最大值=k,

x=2Z—3时，y有最小值，y曷〃倘=-R+7%—9.

V该函数的最大值与最小值的差为4,

：.k-(-S+7A-9)=4,即Q-6氏+5=0.

解得：为=1(舍去)，心=5.

.♦/的值是5.

【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，先求出&的取值范围值是解题的关键.

59

12.(1)(y,--)

(2)m+n=7

⑶/-5〃的最小值为-3笠99.

64

59

【分析】(1)由题意得，抛物线的表达式为y=(x-1)(x-4)=x2-5x+4=(X-1)2-p即可求解;

(2)由题意得，抛物线的对称轴为直线(X/+M)=2,则x=3在对称轴的右侧，而尤=3时，>-<0,

且〃?(机，〃为相邻整数)，故X2在3和4之间，即可求解；

(3)当P和直线有交点时，则当烂g-”时，直线在P的上方，进而求解.

⑴

解：由题意得，抛物线的表达式为y=(%-1)(x-4)

-5x+4

z5-9

=(X----)2-----,

24

故抛物线的顶点坐标为(；5，-：9);

⑵

解：由题意得，抛物线的对称轴为直线x=g(力+尤2)=2,

；.x=3在对称轴的右侧，

..•当％=0时，y>0,x=3时，y<0,可画出大致图像为：

・・・当％=0与x=4时，y的值相等，

・』=4时，y>0,

・・・3<X2<4(加，〃为相邻整数)，

・・・功在3和4之间，

m=3,〃=4,

・・・〃？+〃=3+4=7；

(3)

解：将抛物线向左平移〃(n>0)个单位，此时函数的对称轴为直线》=1•-n,

2

•.•当P和直线y=x-〃有交点时，

则当烂!-〃时，直线在尸的上方，

59

当X=5-〃时，p的y值为-I，

当x=--〃时，y=x-n=--2〃，

22

59

即彳-2n>-,

24

解得〃W1?9，

O

故0<〃S?

O

525

15：y=n2-5n=(〃-—)2----,

24

Vl>0,故y有最小值，

工~19

而ov三甘，

O

19

当时，

o

n2-5n的最小值为-――.

64

【点评】此题为二次函数综合题，主要考查了一次函数基本知识、二次函数的平移以及二次函数增减性等

知识，确定直线和抛物线的位置关系是解题关键.

13.(1)AF=2

,7

(2)y的最大值是5

13

(3)-<a<j

【分析】(1)根据抛物线的对称轴公式即可得结论；

(2)根据抛物线的对称轴为直线x=2,可得顶点在1人5范围内，和y的最小值是-1,得顶点坐标为(2,

-1),把顶点(2,-1)代入y=or2"4ax+1,可得a的值，进而可得y的最大值；

(3)当4-2时，P(-2,5),把尸(-2,5)代入产苏-4"+1,当x/=-l时，P(-1,4),把P(-1,4)代

入产五-4ar+l,分别求出。的值，再根据函数的性质即可得a的取值范围.

(1)

解：抛物线的对称轴为：x=-学=2,

2a

故答案为：x=2；

(2)

解：♦.•抛物线的对称轴直线为42,

顶点在1勺05范围内，

•.方的最小值是-1,

，顶点坐标为(2,-1).

Va>0,开口向上，

.•.当x>2时，y随x的增大而增大，

即45时，y有最大值，

，把顶点(2,-1)代入尸发-4级+1,

4a-8a+1--I,

解得a=；,

2

•\y=^-x-2x+\f

・••当x=5时，y=-1,

7

即y的最大值是］；

(3)

解：当4・2时，P(-2,5),

把P(・2,5)代入)=狈2_4〃工+1,

4。+8。+1=5,

解得此，

当X/=-l时,P(-1,4),

把P(-1,4)代入产苏-40什1,

/.〃+4〃+1=4,

3

解得斫;，

3-5

【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数

的最值，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质.

14.⑴a=(,8(-1,一7)

(2)直线AB的函数解析式为：y=x-6

(3)5最大值为胃25

O

【分析】(1)将点A代入解析式得出“=*,利用抛物线顶点公式代入求解即可得；

(2)设直线的函数解析式为y="+b,将点A、B代入求解即可得；

(3)作出相应图象，得出P(，％上加+|,〃-弓)，确定PC长度，然后根据三角形面积公式

确定函数解析式，即可确定最值问题.

(1)

解：将点A(4,-2)代入y=办?+2or+“一7得，16。+8。+。一7=—2,

解得

.12234

••V==—X4---X-----,

.555

2

・・・x=^=-1,y=T,

2x-

5

・・・

(2)

设直线AB的函数解析式为y=kx+h,

.(4k+h=-2

^[-k+b=-l，

仅=1

解得八u、

[h=-6

・・・直线43的函数解析式为：>=元-6；

(3)

如图，过点尸作PC〃y轴，交于C,

.,f12234)1.34

1555J555

.1f1313c

・.Sc=-x——nr2+—w+—x5=——m2+—"?+2,

2I555)22

v-l<-<4,

2

•••S最大值为-;x(|)+3+2="

228

【点评】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数

的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.

15.(1)(3,-4)

(2)当一1SE4时，函数的最大值与最小值的差为16

(3»=1或2

【分析】(1)把点4代入解析式中，解得机=-|,再利用配方法化成顶点式解析式即可解得顶点坐标；

(2)分别解得当一上烂4时，函数的最大值与最小值，再求差；

(3)当0^+3时，对/进行分类讨论，①当/+3<3时，即fVO,y随着x的增大而减小；②当03<3时，

顶点的横坐标在取值范围内；③当,3时，y随着x的增大而增大，分别解得函数对应的最大值，再由函数

的最大值与最小值的差为4,列方程，解方程即可解答.

(1)

解：•••己知42,-3)是二次函数y=f+(2机—l)x—2机图象上的点

4+4m-2-2m=-3

解得根=一|

此二次函数的解析式为：y=M-6x+5=(x-3)2-4

顶点坐标为(3,-4)；

(2)

•.•顶点坐标为(3,-4),

*,•当x=3时，y最小值=—4»

当x=-1时，y屁x俊=12

.••当一1―4时，函数的最大值与最小值的差为16；

(3)

当W烂什3时，对「进行分类讨论，

①当f+3<3时，即r<0,y随着x的增大而减小，

当》=，时，y艇犬》=U-6f+5

当x=f+3时，y最小线=(Z+3)2-6(/+3)+5=尸-4,

?-6/+5-(?-4)=4

-»+4-(-3+6f-5)=-6r+9=4,

解得f=J(不合题意，舍去)，

②当03V3时，顶点的横坐标在取值范围内，

局小盘=­4,

3

/)当0弓二5时，在时，y施大废=P6+5,

6f+5—(-4)=4,

解得。=1,及=5(不合题意，舍去)；

〃)当时，在x=r+3时，y展大盘=理一4,

・・・/一4一(-4)=4,

・・・解得力=2,上=一2(不合题意，舍去)，

③当＞3时，y随着x的增大而增大，

当x=，时，y最小磨=己6什5,

当x=t+3时，y最大数=»-4,

13

・・.於_4-(凡6什5)=4解得"一(不合题意，舍去)，

6

综上所述，r=l或2.

【点评】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、将一般式解析式转化为顶点式

解析式、解一元二次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

16.(1)2,3

⑵(T1)

3

⑶吃

【分析】(1)由对称轴和4点坐标，可得到B点坐标，再通过交点式即可得到解析式，从而求出匕和c的值；