(完整版)八年级数学上册同步练习题及答案

12.1.1平方根（第一课时）◆随堂检测1、若x2=a，则叫的平方根，如16的平方根是，的平方根是2、表示的平方根，表示12的3、196的平方根有个，它们的和为4、下列说法是否正确？说明理由（1）0没有平方根；（2）—1的平方根是；（3）64的平方根是8；（4）5是25的平方根；（5）5、求下列各数的平方根（1）100（2）（3）1.21（4）◆典例分析例若与是同一个数的平方根，试确定m的值◆课下作业●拓展提高一、选择1、如果一个数的平方根是a+3和2a-15，那么这个数是（）A、49B、441C、7或21D、49或4412、的平方根是（）A、4B、2C、-2D、二、填空3、若5x+4的平方根为，则x=4、若m—4没有平方根，则|m—5|=5、已知的平方根是，3a+b-1的平方根是，则a+2b的平方根是三、解答题6、a的两个平方根是方程3x+2y=2的一组解（1）求a的值（2）的平方根7、已知+∣x+y-2∣=0求x-y的值●体验中考1、（09河南）若实数x，y满足+=0，则代数式的值为2、（08咸阳）在小于或等于100的非负整数中，其平方根是整数的共有个3、（08荆门）下列说法正确的是（）A、64的平方根是8B、-1的平方根是C、-8是64的平方根D、没有平方根◆随堂检测1、的算术平方根是；的算术平方根_____2、一个数的算术平方根是9，则这个数的平方根是3、若有意义，则x的取值范围是，若a≥0，则04、下列叙述错误的是（）A、-4是16的平方根B、17是的算术平方根C、的算术平方根是D、0.4的算术平方根是0.02◆典例分析例：已知△ABC的三边分别为a、b、c且a、b满足，求c的取值范围分析：根据非负数的性质求a、b的值，再由三角形三边关系确定c的范围◆课下作业●拓展提高一、选择1、若，则的平方根为（）A、16B、C、D、2、的算术平方根是（）A、4B、C、2D、二、填空3、如果一个数的算术平方根等于它的平方根，那么这个数是4、若+=0，则=三、解答题5、若a是的平方根，b是的算术平方根，求+2b的值6、已知a为的整数部分，b-1是400的算术平方根，求的值●体验中考AUTONUM\*Arabic．(2009年山东潍坊)一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（）A． B． C． D．2、（08年泰安市）的整数部分是；若a<<b，（a、b为连续整数），则a=，b=3、（08年广州）如图，实数、在数轴上的位置，化简=4、（08年随州）小明家装修用了大小相同的正方形瓷砖共66块铺成10.56米2的房间，小明想知道每块瓷砖的规格，请你帮助算一算.12.1.2立方根◆随堂检测1、若一个数的立方等于—5，则这个数叫做—5的，用符号表示为，—64的立方根是，125的立方根是；的立方根是—5.2、如果=216，则=.如果=64，则=.3、当为时，有意义.4、下列语句正确的是（）A、的立方根是2B、的立方根是27C、的立方根是D、立方根是典例分析例若，求的值.●拓展提高一、选择1、若，，则a+b的所有可能值是（）A、0B、C、0或D、0或12或2、若式子有意义，则的取值范围为（）A、B、C、D、以上均不对二、填空3、的立方根的平方根是4、若，则（—4+x）的立方根为三、解答题5、求下列各式中的x的值（1）125=343（2）6、已知：，且，求的值●体验中考1、（09宁波）实数8的立方根是2、（08泰州市）已知，，互为相反数，则下列各组数中，不是互为相反数的一组是（）A、3a与3bB、+2与+2C、与D、与3、（08益阳市）一个正方体的水晶砖，体积为100cm3，它的棱长大约在（）A、4～5cm之间B、5～6cm之间C、6～7cm之间D、7～8cm之间12.2实数与数轴◆随堂检测1、下列各数：，，，，，，，中，无理数有个，有理数有个，负数有个，整数有个.2、的相反数是，||=的相反数是，的绝对值=3、设对应数轴上的点A，对应数轴上的点B，则A、B间的距离为4、若实数a<b<0，则|a||b|；大于小于的整数是；比较大小：5、下列说法中,正确的是()A.实数包括有理数,0和无理数B.无限小数是无理数C.有理数是有限小数D.数轴上的点表示实数.◆典例分析例：设a、b是有理数，并且a、b满足等式，求a+b的平方根◆课下作业●拓展提高一、选择1、CA0B如图，数轴上表示1，的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点CA0BA．－1B．1－C．2－D．－22、设a是实数，则|a|-a的值（）A．可以是负数B．不可能是负数C．必是正数D．可以是整数也可以是负数二、填空3、写出一个3和4之间的无理数4、下列实数，，0，，，1…（每两个1之间的0的个数逐次加1）中，设有m个有理数，n个无理数，则=三、解答题5、比较下列实数的大小（1）||和3（2）和（3）和6、设m是的整数部分，n是的小数部分，求m-n的值.●体验中考AUTONUM\*Arabic．（2011年青岛二中模拟）如图，数轴上两点表示的数分别为和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）CAOB（第46题图）ACAOB（第46题图）C． D．AUTONUM\*Arabic．（2011年湖南长沙）已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（）110aA．1 B． C． D．3、（2011年江苏连云港）实数在数轴上对应点的位置如图所示，0a0a10b（第8题图）A． B． C． D．4、（2011年浙江省杭州市模2）如图，数轴上点A所表示的数的倒数是（）A.B.2C.D.§13.1幂的运算1.同底数幂的乘法试一试（1）2×２＝（）×（）＝２；（2）5×５＝5；（3）a·a＝a．概括：a·a＝（）（）＝＝a．可得a·a＝a这就是说，同底数幂相乘，．例1计算：（1）10×１０；（2）a·a；（3）a·a·a．练习1.判断下列计算是否正确，并简要说明理由．（1）a·a＝a；（2）a＋a＝a；（3）a·a＝a；（4）a＋a＝a．2.计算：（1）10×10；（2）a·a；（3）x·x·x．3．填空：（1）叫做的m次幂，其中a叫幂的________，m叫幂的________；（2）写出一个以幂的形式表示的数，使它的底数为c，指数为3，这个数为________；（3）表示________，表示________；（4）根据乘方的意义，＝________，＝________，因此＝同底数幂的乘法练习题1．计算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2．计算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）3．下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．4．选择题：（1）可以写成（）．A．B．C．D．（2）下列式子正确的是（）．A．B．C．D．（3）下列计算正确的是（）．A．B．C．D．2.幂的乘方根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：（1）（2）＝×＝２；（2）（3）＝×＝３；（3）（a）＝×××＝a．概括（a）＝（n个）＝（n个）=a可得（a）＝a（m、n为正整数）．这就是说，幂的乘方，．例2计算：（10）；（2）（b）．练习1.判断下列计算是否正确，并简要说明理由．（1）（a）＝a；（2）a·a＝a；（3）（a）·a＝a．2.计算：（1）（2）；（2）（y）；（3）（x）；（4）（y）·（y）．3、计算:（1）x·（x2）3（2）（xm）n·（xn）m（3）（y4）5－（y5）4（4）（m3）4+m10m2+m·m3·m8（5）[（a－b）n]2[（b－a）n－1]2（6）[（a－b）n]2[（b－a）n－1]2（7）（m3）4+m10m2+m·m3·m8幂的乘方一、基础练习幂的乘方,底数_______,指数____.（am）n=___(其中m、n都是正整数)2、计算：（1）（23）2=_____；（2）（－22）3=______；（3）－（－a3）2=______；（4）（－x2）3=_______。3、如果x2n=3，则（x3n）4=_____．4、下列计算错误的是（）．A．（a5）5=a25B．（x4）m=（x2m）2C．x2m=（－xm）2D．a2m=（－a2）m5、在下列各式的括号内，应填入b4的是（）．A．b12=（）8B．b12=（）6C．b12=（）3D．b12=（）26、如果正方体的棱长是（1－2b）3，那么这个正方体的体积是（）．A．（1－2b）6B．（1－2b）9C．（1－2b）12D．6（1－2b）67、计算（－x5）7+（－x7）5的结果是（）．A．－2x12B．－2x35C．－2x70D．0二、能力提升1、若xm·x2m=2，求x9m=__________2、若a2n=3，求（a3n）4=____________。3、已知am=2,an=3,求a2m+3n=______，4、若644×83=2x，求x的值。5、已知a2m=2，b3n=3，求（a3m）2－（b2n）3+a2m·b3n的值．6、若2x=4y+1，27y=3x-1，试求x与y的值．7、已知a=355，b=444，c=533，请把a，b，c按大小排列．8．已知：3x=2，求3x+2的值．9．已知xm+n·xm－n=x9，求m的值．10．若52x+1=125，求（x－2）2011+x的值．3.积的乘方试一试（1）（ab）＝（ab）·（ab）＝（aa）·（bb）＝ab；（2）（ab）＝＝＝ab；（3）（ab）＝＝＝ab．概括（ab）＝（）·（）…（）（n个）＝（）·（）＝ab．可得（ab）＝ab（n为正整数）．积的乘方，等于，再．例3计算：（1）（2b）；（2）（2×a）；（3）（－a）；（4）（－3x）．练习1.判断下列计算是否正确，并说明理由．（1）（xy）＝xy；（2）（－2x）＝－2x．2.计算：（1）（3a）；（2）（－3a）；（3）（ab）；（4）（－2×１０）．3、计算：（1）（2×103）2（2）（－2a3y4）3(3)（4）（5）（－2a2b）2·（－2a2b2）3（6）[（－3mn2·m2）3]2积的乘方一、基础训练1．（ab）2=______，（ab）3=_______．2．（a2b）3=_______，（2a2b）2=_______，（－3xy2）2=_______．3.判断题（错误的说明为什么）（1）(3ab2)2=3a2b4（2）(-x2yz)2=-x4y2z2（3）()2=（4）(5)(a+b)=a+b（6）(-2ab2)3=-6a3b84．下列计算中，正确的是（）A．（xy）3=xy3B．（2xy）3=6x3y3C．（－3x2）3=27x5D．（a2b）n=a2nbn5．如果（ambn）3=a9b12，那么m，n的值等于（）A．m=9，n=4B．m=3，n=4C．m=4，n=3D．m=9，n=66．a6（a2b）3的结果是（）A．a11b3B．a12b3C．a14bD．3a12b7．（－ab2c）2=______，42×8n=2()×2()=2()．二、能力提升1．用简便方法计算：（4）（－0.125）12×（－1）7×（－8）13×（－）92．若x3=－8a6b9，求x的值。3．已知xn=5，yn=3，求（xy）3n的值．4.同底数幂的除法试一试用你熟悉的方法计算：（1）2÷２＝；（2）10÷10＝；（3）a÷a＝（a≠0）．概括2÷２＝＝；10÷10=＝；a÷a＝＝一般地，设m、n为正整数，m＞n，a≠0，有a÷a＝a．这就是说，同底数幂相除，．a÷a＝a．例4计算：（1）a÷a；（2）（－a）÷（－a）；（3）（2a）÷（2a）．（2）你会计算（a＋b）÷（a＋b）吗?练习1.填空：（1）a·（）＝a；（2）（）·（－b）＝（－b）；（3）x÷（）＝x；（4）（）÷（－y）＝（－y）．2.计算：（1）a÷a；（2）（－x）÷（－x）；（3）m÷m·m；（4）（a）÷a．3.计算：（1）x÷x；（2）（－a）÷（－a）；（3）（p）÷p；（4）a÷（－a）．习题13.11.计算（以幂的形式表示）：（1）9×9；（2）a·a；（3）3×２；（4）x·x·x．2.计算（以幂的形式表示）：（1）（10）；（2）（a）；（3）（x）；（4）（a2）·a．3.判断下列等式是否正确，并说明理由．（1）a·a＝（2a）；（2）a·b＝（ab）；（3）a＝（a）＝（a）＝（a）．4.计算（以幂的形式表示）：（1）（3×１０）；（2）（2x）；（3）（－2x）；（4）a·（ab）；（5）（ab）·（ac）．5.计算：（1）x÷x；（2）（－a）÷（－a）；（3）（p）÷p；（4）a÷（－a）．6.计算：（1）（a）÷（a）；（2）（xy）÷（xy）；（3）x·（x）÷x；（4）（y）÷y÷（－y）．§13.2整式的乘法1.单项式与单项式相乘计算：例2x·5x（1）3xy·（－2xy）；（2）（－5ab）·（－４bc）．概括单项式与单项式相乘，只要将它们的、分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则作为积的一个因式．例2卫星绕地球表面做圆周运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×１０米/秒，则卫星运行3×１０秒所走的路程约是多少?你能说出a·b,3a·2a,以及3a·5ab的几何意义吗?练习1.计算：（1）3a·2a；（2）（－9ab）·8ab；（3）（－3a）·（－2a）；（4）－3xyz·（xy）．2.光速约为３×１０米/秒，太阳光射到地球上的时间约为５×１０秒，则地球与太阳的距离约是多少米?单项式与单项式相乘随堂练习题一、选择题1．式子x4m+1可以写成（）A．（xm+1）4B．x·x4mC．（x3m+1）mD．x4m+x2．下列计算的结果正确的是（）A．（-x2）·（-x）2=x4B．x2y3·x4y3z=x8y9zC．（-4×103）·（8×105）=-3.2×109D．（-a-b）4·（a+b）3=-（a+b）73．计算（-5ax）·（3x2y）2的结果是（）A．-45ax5y2B．-15ax5y2C．-45x5y2D．45ax5y2二、填空题4．计算：（2xy2）·（x2y）=_________；（-5a3bc）·（3ac2）=________．5．已知am=2，an=3，则a3m+n=_________；a2m+3n=_________．6．一种电子计算机每秒可以做6×108次运算，它工作8×102秒可做_______次运算．三、解答题7．计算：①（-5ab2x）·（-a2bx3y）②（-3a3bc）3·（-2ab2）2③（-x2）·（yz）3·（x3y2z2）+x3y2·（xyz）2·（yz3）④（-2×103）3×（-4×108）28．先化简，再求值：-10（-a3b2c）2·a·（bc）3-（2abc）3·（-a2b2c）2，其中a=-5，b=0.2，c=2。9．若单项式-3a2m-nb2与4a3m+nb5m+8n同类项，那么这两个单项式的积是多少？四、探究题10．若2a=3，2b=5，2c=30，试用含a、b的式子表示c．2.单项式与多项式相乘试一试计算：2a·（3a－5b）．（－2a）·（３ab－5ab）．概括单项式与多项式相乘，只要将，再．练习1.计算：（1）3xy·（2xy－3xy）；（2）2x·（3x－xy＋y）．2.化简：x（x－1）＋2x（x＋1）－3x（2x－5）．3、计算：①（x2y-2xy+y2）·（-4xy）②-ab2·（3a2b-abc-1）③（3an+2b-2anbn-1+3bn）·5anbn+3（n为正整数，n>1）④-4x2·（xy-y2）-3x·（xy2-2x2y）单项式与多项式相乘随堂练习题一、选择题1．计算（-3x）·（2x2-5x-1）的结果是（）A．-6x2-15x2-3xB．-6x3+15x2+3xC．-6x3+15x2D．-6x3+15x2-12．下列各题计算正确的是（）A．（ab-1）（-4ab2）=-4a2b3-4ab2B．（3x2+xy-y2）·3x2=9x4+3x3y-y2C．（-3a）（a2-2a+1）=-3a3+6a2D．（-2x）（3x2-4x-2）=-6x3+8x2+4x3．如果一个三角形的底边长为2x2y+xy-y2，高为6xy，则这个三角形的面积是（）A．6x3y2+3x2y2-3xy3B．6x3y2+3xy-3xy3C．6x3y2+3x2y2-y2D．6x3y+3x2y24．计算x（y-z）-y（z-x）+z（x-y），结果正确的是（）A．2xy-2yzB．-2yzC．xy-2yzD．2xy-xz二、填空题5．方程2x（x-1）=12+x（2x-5）的解是__________．6．计算：-2ab·（a2b+3ab2-1）=_____________．7．已知a+2b=0，则式子a3+2ab（a+b）+4b3的值是___________．三、解答题8．计算：①（x2y-2xy+y2）·（-4xy）②-ab2·（3a2b-abc-1）③（3an+2b-2anbn-1+3bn）·5anbn+3（n为正整数，n>1）④-4x2·（xy-y2）-3x·（xy2-2x2y）9．化简求值：-ab·（a2b5-ab3-b），其中ab2=-2。四、探究题10．请先阅读下列解题过程，再仿做下面的题．已知x2+x-1=0，求x3+2x2+3的值．解：x3+2x2+3=x3+x2-x+x2+x+3=x（x2+x-1）+x2+x-1+4=0+0+4=4如果1+x+x2+x3=0，求x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8的值．3.多项式与多项式相乘回忆（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb概括这个等式实际上给出了多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用，再把．例4计算：（1）（x＋2）（x－3）（2）（3x－1）（2x＋1）．例5计算：（1）（x－3y）（x＋7y）；（2）（2x＋5y）（3x－2y）．练习1.计算：（1）（x＋5）（x－7）；（2）（x＋5y）（x－7y）（3）（2m＋3n）（2m－3n）；（4）（2a＋3b）（2a＋3b）．2.小东找来一张挂历纸包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小东应在挂历纸上裁下一块多大面积的长方形?习题13.21.计算：（1）5x·8x；（2）11x·（－12x）；（3）2x·（－3x）；（4）（－8xy）·－(1/2x)．2.世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达146.6米，底边长230.4米，用了约2.3×１０块大石块，每块重约2.5×１０千克．请问：胡夫金字塔总重约多少千克?3.计算：（1）－3x·（2x－x＋4）；（2）5/2xy·(－xy＋4/5xy)．4.化简：（1）x(1/2x＋1)－3x(3/2x－2)；（2）x（x－1）＋2x（x－2x＋3）．5.一块边长为xcm的正方形地砖，被裁掉一块2cm宽的长条．问剩下部分的面积是多少?6.计算：（1）（x＋5）（x＋6）；（2）（3x＋4）（3x－4）；（3）（2x＋1）（2x＋3）；（4）（9x＋4y）（9x－4y）．13.5因式分解（1）一、基础训练1．若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么其余的因式是（）A．-1-3x+4yB．1+3x-4yC．-1-3x-4yD．1-3x-4y2．多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（）A．-6ab2cB．-ab2C．-6ab2D．-6a3b2c3．下列用提公因式法分解因式正确的是（）A．12abc-9a2b2=3abc（4-3ab）B．3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2y）C．-a2+ab-ac=-a（a-b+c）D．x2y+5xy-y=y（x2+5x）4．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．-6a3b2=2a2b·（-3ab2）B．9a2-4b2=（3a+2b）（3a-2b）C．ma-mb+c=m（a-b）+cD．（a+b）2=a2+2ab+b25．下列各式从左到右的变形错误的是（）A．（y-x）2=（x-y）2B．-a-b=-（a+b）C．（m-n）3=-（n-m）3D．-m+n=-（m+n）6．若多项式x2-5x+m可分解为（x-3）（x-2），则m的值为（）A．-14B．-6C．6D．47．（1）分解因式：x3-4x=_______；（2）因式分解：ax2y+axy2=________．8．因式分解：（1）3x2-6xy+x；（2）-25x+x3；（3）9x2（a-b）+4y2（b-a）；（4）（x-2）（x-4）+1．二、能力训练9．计算54×99+45×99+99=________．10．若a与b都是有理数，且满足a2+b2+5=4a-2b，则（a+b）2006=_______．11．若x2-x+k是一个多项式的平方，则k的值为（）A．B．-C．D．-12．若m2+2mn+2n2-6n+9=0，求的值．13．利用整式的乘法容易知道（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb，现在的问题是：如何将多项式ma+mb+na+nb因式分解呢？用你发现的规律将m3-m2n+mn2-n3因式分解．14．由一个边长为a的小正方形和两个长为a，宽为b的小矩形拼成如图的矩形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式．15．说明817-299-913能被15整除．参考答案1．D点拨：-6ab+18abx+24aby=-6ab（1-3x-4y）．2．C点拨：公因式由三部分组成；系数找最大公约数，字母找相同的，字母指数找最低的．3．C点拨：A中c不是公因式，B中括号内应为x2-x+2，D中括号内少项．4．B点拨：分解的式子必须是多项式，而A是单项式；分解的结果是几个整式乘积的形式，C、D不满足．5．D点拨：-m+n=-（m-n）．6．C点拨：因为（x-3）（x-2）=x2-5x+6，所以m=6．7．（1）x（x+2）（x-2）；（2）axy（x+y）．8．（1）3x2-6xy+x=x（3x-6y+1）；（2）-25x+x3=x（x2-25）=x（x+5）（x-5）；（3）9x2（a-b）+4y2（b-a）=9x2（a-b）-4y2（a-b）=（a-b）（9x2-4y2）=（a-b）（3x+2y）（3x-2y）；（4）（x-2）（x-4）+1=x2-6x+8+1=x2-6x+9=（x-3）2．9．9900点拨：54×99+45×99+99=99（54+45+1）=99×100=9900．10．1点拨：∵a2+b2+5=4a-2b，∴a2-4a+4+b2+2b+1=0，即（a-2）2+（b+1）2=0，所以a=2，b=-1，（a+b）2006=（2-1）2006=1．11．A点拨：因为x2-x+=（x-）2，所以k=．12．解：m2+2mn+2n2-6n+9=0，（m2+2mn+n2）+（n2-6n+9）=0，（m+n）2+（n-3）2=0，m=-n，n=3，∴m=-3．==-．13．解：m3-m2n+mn2-n3=m2（m-n）+n2（m-n）=（m-n）（m2+n2）．14．a2+2ab=a（a+2b），a（a+b）+ab=a（a+2b），a（a+2b）-a（a+b）=ab，a（a+2b）-2ab=a2，a（a+2b）-a2=2ab等．点拨：将某一个矩形面积用不同形式表示出来．15．解：817-279-913=（34）7-（33）9-（32）13=328-327-326=326（32-3-1）=326×5=325×3×5=325×15，故817-279-913能被15整除．13.5因式分解（2）1．3a4b2与-12a3b5的公因式是_________．2．把下列多项式进行因式分解（1）9x2-6xy+3x；（2）-10x2y-5xy2+15xy；（3）a（m-n）-b（n-m）．3．因式分解：（1）16-m2；（2）（a+b）2-1；（3）a2-6a+9；（4）x2+2xy+2y2．4．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．（x+2）（x-2）=x2-4B．x2-2x+1=x（x-2）+1C．a2-b2=（a+b）（a-b）D．ma+mb+na+nb=m（a+b）+n（a+b）5．因式分解：（1）3mx2+6mxy+3my2；（2）x4-18x2y2+81y4；（3）a4-16；（4）4m2-3n（4m-3n）．6．因式分解：（1）（x+y）2-14（x+y）+49；（2）x（x-y）-y（y-x）；（3）4m2-3n（4m-3n）．7．用另一种方法解案例1中第（2）题．8．分解因式：（1）4a2-b2+6a-3b；（2）x2-y2-z2-2yz．9．已知：a-b=3，b+c=-5，求代数式ac-bc+a2-ab的值．参考答案1．3a3b22．（1）原式=3x（3x-2y+1）；（2）原式=-（10x2y+5xy2-15xy）=-5xy（2x+y-3）；（3）原式=a（m-n）+b（m-n）=（m-n）（a+b）．点拨：（1）题公因式是3x，注意第3项提出3x后，不要丢掉此项，括号内的多项式中写1；（2）题公因式是-5xy，当多项式第一项是负数时，一般提出“－”号使括号内的第一项为正数，在提出“－”号时，注意括号内的各项都变号．3．（1）16-m2=42-（m）2=（4+m）（4-m）；（2）（a+b）2-1=[（a+b）+1][（a+b）-b]=（a+b+1）（a+b-1）；（3）a2-6a+9=a2-2·a·3+32=（a-3）2；（4）x2+2xy+y2=（x2+4xy+4y2）=[x2+2·x·2y+（2y）2]=（x+2y）2．点拨：如果多项式完全符合公式形式则直接套用公式，若不是，则要先化成符合公式的形式，再套用公式．（1）（2）符合平方差公式的形式，（3）（4）符合完全平方公式的形式．4．C点拨：这是一道概念型试题，其思路是根据因式分解的定义来判断，分解因式的最后结果应是几个整式积的形式，只有C是，故选C．5．（1）3mx2+6mxy+3my2=3m（x2+2xy+y2）=3m（x+y）2；（2）x4-18x2y2+81y4=（x2）2-2·x2·9x2+（9y2）2=（x2-9y2）2=[x2-（3y）2]2=[（x+3y）（x-3y）]=（x+3y）2（x-3y）2；（3）a416=（a2）2-42=（a2+4）（a2-4）=（a2+4）（a+2）（a-2）；（4）4m2-3n（4m-3n）=4m2-12mn+9n2=（2m）2-2·2m·3n+（3n）2=（2m-3n）2．点拨：因式分解时，要进行到每一个多项式因式都不能分解为止．（1）先提公因式3m，然后用完全平方公式分解；（2）把x4作（x2）2，81y4作（9y2）2，然后运用完全平方公式．6．（1）（x+y）2-14（x+y）+49=（x+y）2-2·（x+y）·7+72=（x+y-7）2；（2）x（x-y）-y（y-x）=x（x-y）+y（x-y）=（x-y）（x+y）；（3）4m2-3n（4m-3n）=4m2-12mn+9n2=（2m）2-2·2m·3n+（3n）2=（2m-3n）2．7．x（x-y）+y（y-x）=x2-xy+y2-xy=x2-2xy+y2=（x-y）2．8．解：（1）原式=（4a2-b2）+（6a-3b）=（2a+b）（2a-b）+3（2a-b）=（2a-b）（2a+b+3）；（2）原式=x2-（y2+2yz+z2）=x2-（y+z）2=（x+y+z）（x-y-z）．9．∵a-b=3，b+c=-5，∴a+c=-2，∴ac-bc+a2-ab=c（a-b）+a（a-b）=（a-b）（c+a）=3×（-2）=-6．因式分解方法研究系列三、十字相乘法(关于的形式的因式分解)1、因式分解以下各式：1、；2、；3、；4、2、因式分解以下各式：1、；2、；3、；4、2、因式分解以下各式：1、；2、；3、；4、3、挑战自我：1、；2、数学当堂练习(1)姓名计算(1)(-2a)2(3ab2-5ab3)(2)x(x2-1)+2x2(x+1)-3x(2x-5)(3)3(m+n)(m+n)4+3(-m-n)3(m+n)2数学当堂练习(2)姓名计算(1)(x-y)3÷(y-x)2=(2)3a2·(2a2-9a+3)-4a(2a-1)(3)5xy[4xy-6(xy-xy2)](4)(2x-3)(x+4)(5)(3x+y)(x一2y)数学当堂练习(3)姓名计算(1)(3x-5)(2x+3)(2)5x(x-2)-(x-2)(x+4)解不等式1-(2y+1)(y-2)＞y2-(3y-1)(y+3)-11数学当堂练习(4)姓名计算（1）（1-xy）(-1-xy)(2)(a+2)(a-2)(a2+4)(3)(x+y)(x-y)-(x-2y)(x+2y)(4)6×5数学当堂练习(5)姓名计算(1)(2x-1)2-(2x+1)2(2)(2x-1)2(2x+1)2(3)(2x)2-3(2x+1)2(4)(2x+y–3)2(5)(m–2n+3)(m+2n+3)数学当堂练习(6)姓名计算(1)(1+x+y)(1-x–y)(2)(3x-2y+1)2（3）已知(x+y)2=6(x-y)2=8求(1)(x+y)2(2)xy值（4）（x-2）(x2+2x+4)(5)x(x-1)2-(x2–x+1)(x+1)数学当堂练习(7)姓名计算(1)(-2m-1)2(2)(3x-2y+1)2(3)(3s-2t)(9s2+6st+4t2)(4)-21a2b3c÷7a2b2(5)(28a4b2c-a2b3+14a2b2)÷(-7a2b)(6)(x2y-xy2-2xy)÷xy数学当堂练习(8)姓名一．计算(1)(16x3-8x2+4x)÷(-2x)(2)(x2x3)3÷(-x3)4二。因式分解(1)2x+4x(2)5(a-2)–x(2-x)(3)-12m2n+3mn218.1勾股定理1.在△ABC中，∠B=90°，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c，则a、b、c的关系是（）A．c2=a2+b2B．a2=（b+c）（b-c）C．a2=c2-b2D．b=a+c知识点：勾股定理知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，要正确的理解勾股定理的条件和结论，要明确斜边和直角边在定理中的区别。答案：B详细解答：在△ABC中，∠B=90°，∠B的对边b是斜边，所以b2=a2+c2。a2=（b+c）（b-c）可变形为b2=a2+c2，所以选B1.下列说法正确的是（）A.若a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2；D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，，则c2-b2＝a2。答案：D详细解答：A是错的，缺少直角条件；B也是错的，不明确哪一边是斜边，无法判断哪两边的平方和等于哪一边的平方；C也是错的，既然，那么a边才是斜边，应该是a2＝c2＋b2D才是正确的，，那么c2＝a2+b2，即c2-b2＝a2.2.小明量得家里新购置的彩电屏幕的长为58cm,宽为46cm,则这台电视机的尺寸（即电视机屏幕的对角线长）是()A.9英寸(23cm)B.21英寸(54cm)C.29英寸(74cm)D.34英寸(87cm)知识点：勾股定理的应用知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。求某一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，作为三角形的边来求。答案：C详细解答：如答图，四边形ABCD表示彩电屏幕，其长为58cm，即BC=58cm；宽为46cm，即AB=46cm。在直角三角形ABC中，BC=58cm,AB=46cm,那么AC2=BC2+AB2=572+462=5365，所以AC=74cm，选C。2.两只小鼹鼠在地下挖洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距()A.50cmB.80cmC.100cmD.140cm答案：C详细解答：如答图，一只小鼹鼠从B挖到C，BC=8cm×10=80cm，另一只小鼹鼠从B挖到A，BA=6cm×10=60cm，由题意可知两个方向互相垂直，所以AC2=AB2+BC2=602+802=10000，所以AC=100cm3.已知一个三角形三个内角的比是1:2:1,则它的三条边的比是()A.1:1:B.1:1:2C.1::D.1:4:1知识点：等腰直角三角形、含30°角的直角三角形知识点的描述：要求知道等腰直角三角形、含30°角的直角三角形的三边的比的来历，最好能记住三边之比。答案：A详细解答：三角形三个内角的比是1:2:1，可以知道三个角分别为45°、90°、45°，如答图，假设AB=1，那么BC=1，AC2=AB2+BC2=1+1=2，所以AC=，三条边的比是1:1:。3．已知△ABC中，∠A=∠C=∠B，则它的三条边之比为（）．A．1：1：B．1：：2C．1：：D．1：4：1答案：B详细解答：△ABC中，∠A=∠C=∠B，可求出∠A=30°，∠C=60°，∠B=90°，画出答图。假设BC=1，那么AC=2，根据勾股定理得AB2=AC2-BC2=4-1=3，所以AB=，因此三边的比为1：：2。4．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，这个三角形的最小锐角为（）（A）15° （B）30° （C）45° （D）不能确定知识点：勾股定理在数学中的应用知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。答案：C详细解答：由勾股定理得AC2=BC2+AB2，又已知斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，即AC2=2AB×BC，所以BC2+AB2=2AB×BC，得（BC-AB）2=0，所以BC=AB，所以三角形ABC是等腰直角三角形，最小锐角为45°。4.如图所示,Rt△ABC中,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,如果AP=3,那么PP′长为（）（A）4 （B）5 （C）6 （D）答案：D详细解答：由题意“将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合”知，△ABP≌△ACP′，所以∠CAP′=∠BAP，AP′=AP，又因为∠BAC=90°，所以∠PAP′=90°，AP′=AP=3，在直角三角形APP′中，PP′2=AP′2+AP2=32+32=18，所以PP′=5．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（）A．B．-C．2D．-2知识点：认识长度为无理数的线段知识点的描述：在直角三角形中利用勾股定理，可以作出长度为无理数的线段答案：B详细解答：在Rt△BCD中，CB=BD=1，那么CD2=CB2+BD2=2，所以CD=，CA=CD=，因此点A所表示的数为-5.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A.0B.1C.2D.3ABABC答案：C详细解答：在Rt△ABD中，AD=5，BD=1，那么AB2=AD2+BD2=26，AB=在Rt△BCE中，BE=3，CE=2，那么BC2=BE2+CE2=13，BC=在Rt△ACF中，AF=4，CF=3，那么AC2=AF2+CF2=25，AC=5所以边长为无理数的边是：AB和BCB6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）BA．5 B．25 C． D．5或知识点：两解问题知识点的描述：在直角三角形中应用勾股定理要注意哪一边是斜边。答案：D详细解答：如果两直角边长分别为3和4，那么第三边就是斜边，其长度为5；如果4是斜边，3是直角边，那么另一条直角边为。6.△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是()A.42B.32C.42或32D.37或33答案：C详细解答：若高AD在△ABC内部，如图，在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD2=AB2-AD2=81，BD=9在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD2=AC2-AD2=25，CD=5所以BC=BD+CD=9+5=14，这时周长为15+13+14=42若高AD在△ABC外部，如图，在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD2=AB2-AD2=81，BD=9在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD2=AC2-AD2=25，CD=5所以BC=BD-CD=9-5=4，这时周长为15+13+4=32所以选C.7．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（）（A）6m （B）8m （C）10m （D）18m 知识点：构建直角三角形、勾股定理、实际问题知识点的描述：在解决实际问题时，常常要构建直角三角形，构成勾股定理的模型，应用勾股定理解决实际问题答案：C详细解答：把实际问题转化为数学问题，如图,AB表示高8m的树，CD表示高2m的树，小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短路径为AD，过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。在直角三角形AED中，DE=BC=8m，AE=AB-EB=AB-CD=6m，从而AD2=AE2+DE2=62+82=100，所以AB=10m。7.一根高9米的旗杆在离地4米高处折断，折断处仍相连，此时在3.9米远处玩耍的身高为1米的小明是否有危险()A．没有危险B．有危险C．可能有危险D．无法判断答案：B详细解答：把实际问题转化为数学问题，如答图，AB代表原旗杆的位置，AF表示折段的旗杆，CD表示小明，如果AD小于等于AF，就有危险，反之就没有危险。过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。在直角三角形AED中，DE=BC=3.9，AE=AB-EB=AB-CD=3，从而AD2=AE2+DE2=32+3.92=24.21。由题意知AF=5，所以AF2=25，显然AD小于AF，有危险。BACD.8．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10BACD.A．10mB．11mC．12mD．15m知识点：方程的思想、勾股定理的实际应用问题知识点的描述：在解决几何中的有关计算问题时，经常要用到代数中的方程，要形成用方程解决几何问题的思想意识。答案：C详细解答：设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，∴(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，∴10+x=12（米）所以树高12m。8.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐,那么河水的深度为().A.2mB.2.5mC.2.25mD.3m答案：A详细解答：画出如图所示的示意图，AB是竖直的竹竿，CB是拉向岸边的竹竿，CD是水面，由题意知：CD=1.5m，AD=0.5m,假设河水的深度BD为xm，那么竹竿的高就是（x+0.5）m，所以CB=（x+0.5）m，直角三角形BDC中应用勾股定理得（x+0.5）2=x2+1.52，解得x=2，所以河水的深度为2m9.已知：如图，△ABC中，BC=4，∠A=45°，∠B=60°，那么AC=（）（A） （B）4 （C）6 （D）知识点：转化的数学思想、勾股定理知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。答案：A（2也行）分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°，添置AB边上的高这条辅助线，就可以得到直角三角形，在直角三角形中就可以求得一些线段的长度详细解答：作AB边的高CD,如图，在Rt△BDC中，∠B=60°，那么∠BCD=90°-60°=30°，BC=4，那么BD=2,利用勾股定理可求出CD=；在Rt△ADC中，∠A=45°，那么∠ACD=90°-45°=45°，所以AD=CD=，那么利用勾股定理得AC2=AD2+CD2=24,所以AC=；小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。请你思考本题还可以作其它辅助线吗？为什么？(注意利用特殊角)9.已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。四边形ABCD的面积为（）。（A）20 （B） （C） （D）16答案：C(目前初二的学生还没学到二次根式的化简，做到2-就可以了)分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。不妨几种方法都尝试一下，你会有很多收获的。详细解答：延长AD、BC交于E。∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=×4×-×2·=2-=小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。另外作辅助线要充分考虑利用条件，一般情况下是不能把特殊角分割的。10.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A.B.C.D.知识点：“折叠”问题、勾股定理的应用知识点的描述：“折叠”问题是数学中常见问题之一．解决问题的关键就是一定要搞清是怎样折叠的，尤其是原来的线段和角折叠到哪去了，理清已知和未知，找到能联系二者的直角三角形，利用勾股定理问题就迎刃而解。答案：B详细解答：假设CD=xcm，那么DE=CD=xcm，BD=（8-x）cm。因为直角三角形纸片的两直角边AC=6cm,BC=8cm,所以利用勾股定理可得斜边AB=10cm，又AE=AC=6cm,所以EB=AB-AE=4(cm),在Rt△EBD中，EB=4cm，DE=xcm，BD=（8-x）cm，那么（8-x）2=x2+42，解得x=3所以CD=10.如下图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，AD＝10cm，求EC的长()．（A）3cm （B）4cm （C）5cm （D）6cm答案：A详细解答：由折叠的过程可知．△AFE≌△ADE、AD＝AF，DE＝EF，在Rt△ABF中，AB＝8cm，AF＝10cm，BF2＝AF2－AB2＝102－82＝62，BF＝6，FC＝BC－BF＝10－6＝4cm，如果设CE＝xcm，DE＝(8－x)cm，所以EF＝(8－x)cm．在Rt△CEF中，EF2＝CF2＋CE2，用这个关系建立方程:(8－x)2＝42＋x2解得x＝3，即CE的长为3cm．18.2勾股定理的逆定理1.如图所示,△ABC中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,则AC的长等于()A.2B.2C.D.知识点：转化的数学思想、勾股定理知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。答案：C详细解答：作BC边上的高AD,ABC中,∠BAC=75°,∠C=45°，那么∠B=60°，从而∠BAD=30°在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=2,所以BD=1，AD=在Rt△ACD中，∠C=45°，AD=,所以CD=AD=，利用勾股定理可得AC=。1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°，CD=，线段AB长为（）。A.2B.3C.4D.3答案：C分析：欲求AB，可由AB=BD+AD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD和AD。或欲求AB，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC和BC。详细解答：在Rt△ACD中，∠A=60°，那么∠ACD=30°，又已知CD=,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出AD=1。在Rt△ACB中，∠A=60°，那么∠B=30°。在Rt△BCD中，∠B=30°，又已知CD=,所以BC=2，利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出BD=3。因此AB=BD+CD=3+1=4，小结：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。2．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，则它的形状为A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形知识点：综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状知识点的描述：这类问题常常用到代数中的配方、因式分解，再结合几何中的有关定理不难作出判断。答案：D详细解答：∵a2c2－b2c2=a4－b4，∴左右两边因式分解得∴∴或，即或，所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。2．若△ABC的三边a，b，c满足(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0，则△ABC是（）（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等腰三角形或直角三角形答案：C详细解答：∵(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0，∴c-b=0且a2-b2-c2=0即且，所以三角形的形状为等腰直角三角形。3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）知识点：勾股定理的逆定理知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。答案：C详细解答：A图和B图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方，不是直角三角形。D图中两个的三角形三边都不存在某两边的平方和等于第三边的平方，都不是直角三角形。只有C图中的两个三角形都是直角三角形。3．在下列说法中是错误的（）A．在△ABC中，（为正整数，且），则△ABC为直角三角形.B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形.C．在△ABC中，若，则△ABC为直角三角形.D．在△ABC中，若a：b：c＝5：12：13，则△ABC为直角三角形.答案：B详细解答：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么最大角∠C＝不是直角三角形。△ABC三条边的比为a:b:c＝5:12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k，a2＋b2＝25k2＋144k2＝169k2，c2＝(13k)2＝169k2，所以，a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形．4.下列各命题的逆命题不成立的是()A.两直线平行,同旁内角互补；B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等C.对顶角相等D.如果a2=b2,那么a=b知识点：互逆命题知识点的描述：如果一个命题的题设是另一个命题的结论，而结论又是另一个命题的题设，那么这样的两个命题是互逆命题。一个命题和它的逆命题的真假没有什么联系。答案：C详细解答：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然这是一个假命题。4．下列命题的逆命题成立的是（）（A）若a=b，则 （B）全等三角形的周长相等（C）同角（或等角）的余角相等（D）若a=0，则ab=0答案：C详细解答：（A）的逆命题是：若，则a=b。不一定成立，也可能a=-b（B）的逆命题是：周长相等的三角形全等。不一定成立，两个三角形周长相等，形状不一定就相同。（D）的逆命题是：若ab=0，则a=0。不一定成立，也可能是b=0，而a≠0。5．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（）A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里知识点：勾股定理的实际应用题知识点的描述：求距离或某个长度是很常见的实际应用题，这种问题一般转化为几何中的求线段长度问题，通常是在现有的直角三角形或构建的直角三角形中，利用勾股定理求出线段的长度，从而解决实际问题。答案：D详细解答：画出答题图，由题意知，三角形ABC是直角三角形，AC=32海里，AB=24海里，根据勾股定理得BC2=AC2+AB2=322+242=1600，所以BC=40（海里）5．有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计）要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）A．B．C．D．答案：C详细解答：画出如图所示的木箱图，图中AD的长度就是能放入的细木条的最大长度，由题意知CB=5cm、CA=4cm、BD=3cm在Rt△ACB中，AC和BC是直角边，AB是斜边，AB2=AC2+CB2=41,在Rt△ADB中，AB和BD是直角边，AD是斜边，AD2=AB2+BD2=41+9=50,所以AD=6．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对知识点：网格问题，勾股定理和逆定理知识点的描述：网格问题是常见的问题，解决这种问题要充分的利用正方形网格。勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形答案：A详细解答：把△ABC的各边分别放在不同的直角三角形中，给出必须的点的名称，画出图形。在Rt△BCD中，CD=1，DB=8，那么CB2=CD2+BD2=65，在Rt△ACE中，AE=2，CE=3，那么AC2=AE2+CE2=13，在Rt△ABF中，AF=6，BF=4，那么AB2=AF2+BF2=52，所以，在△ABC中，AC2+AB2=13+52=65，又CB2=65，所以，AC2+AB2=CB2，根据勾股定理的逆定理可知三角形ABC是直角三角形6．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形网格，则图中四边形的面积是()A.25B.12.5C.9D.8.5答案：B详细解答：S四边形EFGH=SABCD-S△DEF-S△CFG-S△BGH-S△AEH=5×5-×1×2-×3×3-×2×3-×2×4=12.57.如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求得四边形ABCD的面积.（）A.36B.25C.24D.30知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。答案：A分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形.详细解答：连接AC，在Rt△ABC中，AC2=AB2＋BC2=32＋42=25，∴AC=5.在△ACD中，∵AC2＋CD2=25＋122=169，又∵AD2=132=169，∴AC2＋CD2=AD2，∴∠ACD=90°．故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=AB·BC＋AC·CD=×3×4＋×5×12=6＋30=36.7．在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝，CD＝5，DA＝4，∠B＝90°，那么四边形ABCD的面积是()。A.10B.C.D.答案：B详细解答：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝2，，BC＝所以＝＋＝9所以AC＝3又因为，所以所以∠CAD＝90°所以＝×2×＋×3×4＝8.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。那么四边形ABCD的面积是()。A.24B.36C.18D.20知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。答案：C详细解答：如图，作DE∥AB，连结BD，可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；所以DE=AB=4，BE=AD=3，EC=BC-EB=6-3=3；在△DEC中，EC=3；DE=4，CD=5，3、4、5勾股数，所以△DEC为直角三角形，DE⊥BC；利用梯形面积公式可得：四边形ABCD的面积是（3+6）×4=188．已知，△ABC中，AB中，AB＝17cm，BC＝16cm，BC边上的中线AD＝15cm，求AC得()。A.15B.16C.17D.18答案：C详细解答：如图，∵AD是BC边上的中线，BC＝16cm∴BD＝8cm∴在△ABD中：AB＝17cm，AD＝15cm，BD＝8cm则有：∴∠ADB＝90°∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝15cm，CD＝8cm根据勾股定理得：AC＝＝17（cm）9.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD，△ABC是()。A.直角三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.等边三角形知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。答案：A详细解答：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2又∵CD2=AD·BD∴AC2+BC2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2所以△ABC是直角三角形。9．如图，在△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求得∠BPC的度数（）．AAC东南AAC东南BACCPBC.135°D.120°答案：C详细解答：如答图，将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC≌△BEC,∴△PCE为等腰Rt△，∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8.又∵PB2=1，BE2=9，∴PE2+PB2=BE2,则∠BPE=90°，∴∠BPC=135°.10．已知：如图正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上且DF＝DC，判断△BEF为（）。A.直角三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.等边三角形知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。答案：A详细解答：设DF＝a，则DE＝AE＝2a，CF＝3a，AB＝BC＝4a。在Rt△ABE中，BE2＝AB2＋AE2＝（4a）2＋(2a)2＝20a2在Rt△DEF中，EF2＝DE2＋DF2＝（2a）2＋a2＝5a2在Rt△BCF中，BF2＝BC2＋CF2＝（4a）2＋(3a)2＝25a2所以BE2＋EF2＝BF2所以∠BEF＝90°所以△BEF为直角三角形。10．如图，△ABC中，D是AB的中点，AC＝12，BC＝5，CD＝。△ABC为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案：A详细解答：延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE∵CD＝，DE＝CD∴CE＝13∵在△ADE和△BDC中∴△ADE≌△BDC∴AE＝BC＝5在△AEC中：AE＝5，AC＝12，CE＝13即，∴∠EAC＝90°∵∠EAB＝∠CBA∴∠CAB＋∠CBA＝∠CAB＋∠EAB＝90°∴∠ACB＝90°∴△ACB为直角三角形第十八章勾股定理1.三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．a:b:c=8∶16∶17B．a2-b2=c2C．a2=(b+c)(b-c)D．a=26b=10c=24知识点：勾股定理的逆定理知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。答案:A详细解答:A．a:b:c=8∶16∶17，可设a＝8k，b＝16k，c＝17k，a2＋b2＝64k2＋256k2＝320k2，c2＝(17k)2＝289k2，所以，a2＋b2≠c2，这个三角形不是直角三角形．B．a2-b2=c2即a2=c2+b2，这个三角形是直角三角形．C．a2=(b+c)(b-c)即a2=b2-c2，所以a2+c2=b2，这个三角形是直角三角形．D．a=26，b=10，c=24，那么c2+b2=102+242=676，a2=262=676，所以a2=c2+b2，这个三角形是直角三角形．1．有一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮他找出来，是（）． （A）13、12、12 （B）12、12、8 （C）13、10、12 （D）5、8、4答案:C详细解答:如图，假设等腰三角形ABC中，AB=AC=13，中线AD=12，由于CB=10，那么CD=5，△ACD的三边是一组勾股数，所以AD是高。其他三组数据的△ACD的三边都不是一组勾股数，AD不可能是高。2、△ABC中，AB=AC=10，BC边上的高AD=6，则BC的长为（）A、8B、10C、12D、16知识点：勾股定理在数学上的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在数学中经常用于求线段的长度。求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此一般要添加辅助线，构建直角三角形。答案:D详细解答:在Rt△ACD中，AD=6，AC=10，那么CD2=AC2-AD2=64，CD=8.△ABC中，AB=AC，那么BC边上的高AD平分BC，所以BC=2CD=162、已知平面直角坐标系中有A（1，1）和B（4，4）两点，则连结两点的线段AB的长是（）A、3B、C、4D、5答案:B（3也可）详细解答:画出如图所示的示意图，构建如图所示的直角三角形，由A（1，1）和B（4，4）两点的坐标可以知道AC=3,BC=3,所以AB2=AC2+BC2=9+9=18因此AB=3、王英同学从C地沿北偏东600方向走10米到B地，再从B地向正南方向走20米到D地，此时王英同学离C地的距离为（）A、10米B、12米C、15米D、米知识点：勾股定理在实际问题中的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，把这条线段作为三角形的一边，利用勾股定理来求。答案:D（10也可）详细解答:根据题意画出如图所示的示意图，由题意可知CB=10米,BD=20米,∠BCE=300,在Rt△BCE中，CB=10米,∠BCE=300,那么BE=5米，因为BC2=BE2+CE2，所以CE2=75。在Rt△DCE中，DE=BD-BE=15米，CD2=DE2+CE2=75+225=300，所以CD=米.24cm32cm24cm32cmA.20cmB.50cmC.40cmD.45cm答案:C详细解答:画出答图如下，则桶内能容下的最长的木棒为图中线段AB的长，由题意知在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=32cm，那么AB2=AC2+BC2=242+322=1600，所以AB=40cm4．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）．A．B．3C．D．知识点:特殊三角形——含30°角的直角三角形。知识点的描述:含30°角的直角三角形是一个非常重要的图形，要记住这个三角形的角与角之间的关系，也要记住这个三角形中的边和边之间的关系，这些都是中考的重点。特别要记住三边之比1：：2，应用它来解决问题方便快捷。答案:D详细解答:如图，直角三角形ABC中，一个锐角∠B=60°，斜边长AB为1，那么BC=,根据勾股定理求出AC=,所以周长1++=4．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，CD⊥AB于D，AC边的垂直平分线交AB于E，那么AE∶ED等于()A．1∶1 B．1∶2 C．∶2 D．2∶答案:D详细解答:∵AC边的垂直平分线交AB于E，∴AE=CE,∴∠ACE=∠A=15°，∴∠CED=30°,∵CD⊥AB于D，∠CED=30°,∴AE∶ED=CE∶ED=2∶5.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试判断△ABC的形状()。A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。知识点的描述:勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解是解决这些问题时用得比较多的。答案:A详细解答:∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,∴a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0∴(a-5)2+（b-12）2+（c-13）2=0∴a=5，b=12，c=13，是一组勾股数，利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形。5、△ABC的三边a,b,c满足则△ABC是（）等边三角形B腰底不等的等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案:A详细解答:∵∴∴∴∴∴△ABC是等边三角形6.一个三角形的三边的比为5:12:13，它的周长为60cm，则它的面积是（）Ａ.100B.110C.120D.150知识点:对比值处理的一般方法。知识点的描述:当已知几个比相等的时候，我们经常采用设比值为k的方法，这样往往便于应用条件，也便于计算。答案:C详细解答:∵△ABC三条边的比为a:b:c＝5:12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k，∵它的周长为60cm，∴5k+12k+13k=60，k=2，∴△ABC的三边分别为a＝10cm，b＝24cm，c＝26cm，∴a2＋b2＝102＋242＝676，c2＝262＝676，∴a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形．∴它的面积是×10×24=120（cm2）6.在Rt△ABC中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（）A.5、4、3B.13、12、5C.10、8、6D.26、24、10答案:D详细解答:斜边与一条直角边之比为13∶5，不妨设a＝5k，c＝13k，那么b＝12k，又周长为60，∴5k+12k+13k=60，解得k=2，∴△ABC的三边分别为a＝10，b＝24，c＝26。7．在△ABC中，∠A＝30°，AC＝，BC＝2，则S△ABC等于()A． B．C．或 D．或知识点:多解问题知识点的描述:中考中经常用多解问题来检查学生思考问题的严密性，从而培养学生研究问题的严谨性，是学生得高分的一个难点，各市的中考题中一般都有多解问题，平常在解决问题的时候要思考再三，不要轻易的下结论，形成严谨的学习习惯和学风。答案:C详细解答:本题没给出图形，作△ABC的AB边的高CD，分两种情况讨论：（1）若高CD在△ABC的内部，如图在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝，那么CD=，利用勾股定理得AD=3在Rt△BDC中，BC＝2，CD=，那么利用勾股定理得BD=1∴S△ABC=AB×CD=（3+1）×=（2）若高CD在△ABC的外部，如图在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝，那么CD=，利用勾股定理得AD=3在Rt△BDC中，BC＝2，CD=，那么利用勾股定理得BD=1则S△ABC=AB×CD=（3-1）×=∴S△ABC=或7．若等腰三角形的腰长为4，腰上的高为2，则此三角形的顶角为()A．30° B．150°B．30°或150° D．60°或120°答案:B详细解答:本题没给出图形，作图如下，作△ABC的AC边的高BD，分两种情况讨论：（1）若高BD在△ABC的内部，如图在Rt△ABD中，AB