高一数学对数与对数的运算

高一数学对数与对数的运算第1页，共43页，2023年，2月20日，星期四1.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？到哪一年我国的人口数将达到18亿？

13×

(1＋1％)x＝18，求x=?知识探究第2页，共43页，2023年，2月20日，星期四3.上面的实际问题归结为一个什么数学问题？

2.假设2006年我国国民生产总值为a亿元，如果每年的平均增长率为8%，那么经过多少年我国的国民生产总值是2006年的2倍？

(1＋8％)x＝2，求x=?已知底数和幂的值，求指数.知识探究第3页，共43页，2023年，2月20日，星期四对数第4页，共43页，2023年，2月20日，星期四知识探究思考1:若24＝M，则M＝？若2－2＝N，则N＝？思考2:若2x＝16，则x＝？

若2x＝,则x＝？若4x＝8，则x＝？若2x＝3，则x＝？（一）：对数的概念

第5页，共43页，2023年，2月20日，星期四思考3:满足2x＝3的x的值，我们用log23表示，即x＝log23，并叫做“以2为底3的对数”.那么满足2x＝16，2x＝，4x＝8的x的值可分别怎样表示？

思考4:一般地，如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫做什么？怎样表示？x＝logaN知识探究第6页，共43页，2023年，2月20日，星期四思考6:满足,，（其中e=2.7182818459045…）的x的值可分别怎样表示？这样的对数有什么特殊名称？思考5:前面问题中，,中的x的值可分别怎样表示？知识探究第7页，共43页，2023年，2月20日，星期四知识探究（二）：对数与指数的关系

思考1:当a>0，且a≠1时，若ax＝N，则x＝logaN，反之成立吗？思考2:在指数式ax＝N和对数式x＝logaN中，a，x，N各自的地位有什么不同？aNx指数式ax＝N指数的底数幂幂指数对数式x＝logaN对数的底数真数对数第8页，共43页，2023年，2月20日，星期四知识探究思考3:当a>0，且a≠1时，loga（-2），loga0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？

思考4:根据对数定义，logal和logaa（a>0，a≠1）的值分别是多少？

思考5:若ax＝N，则x＝logaN，二者组合可得什么等式？第9页，共43页，2023年，2月20日，星期四理论迁移例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)54＝625

;(2)2－6＝

;(3)

()m＝5.73

;(4)＝－４;(5)lg0.01=－２;(6)ln10＝2.303.第10页，共43页，2023年，2月20日，星期四理论迁移例2.求下列各式中ｘ的值：

(1)log64x＝;(2)logx8＝6;

(3)lg100=x;(4)－lne2＝ｘ.第11页，共43页，2023年，2月20日，星期四作业布置课堂作业：P６４练习:1,２,３,４.P７４习题2.２A组：1,２.课后作业：《学海导航》P41第六课时第12页，共43页，2023年，2月20日，星期四第二课时对数的运算2.2.1对数与对数运算

第13页，共43页，2023年，2月20日，星期四问题提出1.对数源于指数，对数与指数是怎样互化的？

2.指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有一系列性质，那么对数运算有那些性质呢？

第14页，共43页，2023年，2月20日，星期四知识探究对数的运算第15页，共43页，2023年，2月20日，星期四知识探究（一）：积与商的对数思考2:将log232＝log24十log28推广到一般情形有什么结论？思考1:求下列三个对数的值：log232，log24，log28．你能发现这三个对数之间有哪些内在联系？思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，你能证明等式loga（M·N）＝logaM十logaN成立吗？第16页，共43页，2023年，2月20日，星期四知识探究思考4:将log232－log24=log28推广到一般情形有什么结论？怎样证明？思考5:若a＞0，且a≠1，M1，M2，…，Mn均大于0，则loga(M1M2M3…Mn）＝？第17页，共43页，2023年，2月20日，星期四知识探究（二）:幂的对数思考1:log23与log281有什么关系？思考2:将log281=4log23推广到一般情形有什么结论？思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，你有什么方法证明等式logaMn＝nlogaM成立．思考4:log2x2=2log2x对任意实数x恒成立吗？第18页，共43页，2023年，2月20日，星期四思考6:上述关于对数运算的三个基本性质如何用文字语言描述？思考5:如果a>0，且a≠1，M>0，则等于什么？①两数积的对数，等于各数的对数的和；②两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；③幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．第19页，共43页，2023年，2月20日，星期四例1用logax，logay，logaz表示下列 各式：;(2).理论迁移第20页，共43页，2023年，2月20日，星期四例2求下列各式的值：

(1)log2（47×25）；

(2)lg；(3)log318-log32；(4).理论迁移第21页，共43页，2023年，2月20日，星期四理论迁移例3计算：

第22页，共43页，2023年，2月20日，星期四小结:性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是—个降级运算.性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算.性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值.第23页，共43页，2023年，2月20日，星期四课堂作业：

P68练习：1,2，3.P74习题2.2A组：3,4,5.课外作业：《同步练习册》第七课时第24页，共43页，2023年，2月20日，星期四2.2.1对数与对数运算第三课时换底公式及对数运算的应用

第25页，共43页，2023年，2月20日，星期四问题提出.（1）（2）（3）（1）;（2）;（3）.1.对数运算有哪三条基本性质？2.对数运算有哪三个常用结论？第26页，共43页，2023年，2月20日，星期四问题提出

3.同底数的两个对数可以进行加、减运算，可以进行乘、除运算吗？4.由得，但这只是一种表示，如何求得x的值？第27页，共43页，2023年，2月20日，星期四换底公式及对数运算的应用第28页，共43页，2023年，2月20日，星期四知识探究（一）：对数的换底公式

思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗？思考1:假设，则，从而有.进一步可得到什么结论？

第29页，共43页，2023年，2月20日，星期四思考4:我们把（a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0）叫做对数换底公式，该公式有什么特征？思考3:一般地，如果a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0，那么与哪个对数相等？如何证明这个结论？第30页，共43页，2023年，2月20日，星期四知识探究思考6:换底公式在对数运算中有什么意义和作用？思考5:通过查表可得任何一个正数的常用对数，利用换底公式如何求的值？第31页，共43页，2023年，2月20日，星期四知识探究（二）：换底公式的变式

思考1:与有什么关系？

思考2:与有什么关系？

思考3:可变形为什么？第32页，共43页，2023年，2月20日，星期四理论迁移例1计算：

(1);(2)（log2125＋log425＋log85)·（log52＋log254＋log1258）第33页，共43页，2023年，2月20日，星期四

例220世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；4.3第34页，共43页，2023年，2月20日，星期四20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.398第35页，共43页，2023年，2月20日，星期四理论迁移例3生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7％，试推算马王堆古墓的年代.2193第36页，共43页，2023年，2月20日，星期四作业布置课堂作业：P68练习：4.P74习题2.2A组：6，11，12.课后作业《学海导航》P44对数与对数运算（三）第37页，共43页，2023年，2月20日，星期四2.2.1对数与对数运算第四课时对数运算习题课第38页，共43页，2023年，2月20日，星期四知识回顾.1.指数与对数的换算:2.对数运算的三个常用结论:第39页，共43页，2023年，2月20日，星期四知识回顾3.对数运算的三条基本性质