(北师大版)北京市八年级数学上册第一单元《勾股定理》测试(答案解析)

一、选择题1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，长为半径作弧，交格线于点D．则的长为（）A． B． C． D．2．如图，已知中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的值为（）A． B． C． D．3．如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，则小正方形的边长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm4．如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们踩伤草坪，仅仅少走了（）A． B． C． D．5．在周长为的直角三角形中，斜边长为，则该三角形的面积为（）A． B． C． D．6．如图，在中，平分．边的垂直平分线分别交于点．以下说法错误的是（）A． B． C． D．7．如图所示的图案是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一直角三角形的斜边和一直角边长分别是13，12，则阴影部分的面积是（）A．25 B．16 C．50 D．418．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计（）A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm9．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，尺，尺，求AC的长．则AC的长为（）A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺10．如图，在中，，垂足为D，M为上任一点，则等于（）A．93 B．30 C．120 D．无法确定11．我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A． B．8 C． D．12．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．514 B．8 C．16 D．64二、填空题13．如图，中，，AB的垂直平分线交BC于点E，若：，，则AC=_________．14．如图，在中，，点在射线上，且，则_______．15．如图，在中，，点在上，且，若，则___________．16．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE，以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），其中结论正确的是________________．17．如图，圆柱形容器中，高为1m，底面周长为4m，在容器内壁离容器底部0.4m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.6m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为______m（容器厚度忽略不计）．18．如图，以的三边为边长分别向外作正方形，若斜边，则图中阴影部分的面积________．19．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米.20．有两根木棒，分别长、，要再在的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，则第三根木棒要取的长度是__________．三、解答题21．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2．求BC边上的高及△ABC的面积．22．先阅读下列一段文字，再回答问题．已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这两点的距离P1P2．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知点A(2，4)，B(﹣3，﹣8)，试求A，B两点间的距离；（2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为﹣1，A，B两点间的距离等于6．试求点A的纵坐标；（3）已知一个三角形各顶点的坐标分别为A(﹣3，﹣2)，B(3，6)，C(7，﹣2)，你能判断三角形ABC的形状吗？说明理由．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝6，D是AB边上任意一点，连接CD，以CD为直角边向右作等腰直角△CDE，其中∠DCE＝90°，CD＝CE，连接BE．（1）求证：AD＝BE；（2）当△CDE的周长最小时，求CD的值；（3）求证：．24．（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接．①__度；（答案直接填写在横线上）②___﹔（答案直接填写在横线上）③求的度数．（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明．25．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米．（1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？26．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．【详解】解：连接AD，如图所示：∵AD=AB=2，∴DE==，∴CD=，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键．2．C解析：C【分析】由折叠可得△AEF≌△DEF，可知AE=DE，由点为边的中点，可求CD=，设DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理解方程即可．【详解】解：∵将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，∴△AEF≌△DEF，∴AE=DE，∵点为边的中点，∴CD=，设DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理，即，解得．故选择：C．【点睛】本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股定理构造方程．3．D解析：D【分析】先设直角三角形的两直角边分别是acm、bcm（a＞b），斜边是ccm，于是有a2+b2=c2，即a2+52=132，易得a=12cm，a-b即可得小正方形的边长．【详解】解：设大直角三角形的两直角边分别是acm、bcm（a＞b），斜边是ccm，那么有a2+b2=c2，∵大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，∴a2+52=132，解得a=12（舍去负值），即a=12cm，∴小正方形的边长为：a-b=12-5=7cm．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是知道小正方形的边长等于直角三角形较长直角边减去较小直角边．4．A解析：A【分析】根据勾股定理求出AB即可．【详解】解：∵，∴AB=（m），6+8-10=4（m）,∴他们踩伤草坪，仅仅少走了4m；故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是熟练运用勾股定理求线段长．5．B解析：B【分析】画出直角三角形，由可得：再由勾股定理可得：从而求解再利用三角形的面积公式可得答案．【详解】解：如图，由题意知：故选：【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，掌握以上知识是解题的关键．6．B解析：B【分析】利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论．【详解】解：如图，连接BD、AD，过点D作DM⊥BC于M，DN⊥CA的延长线于N，A、在中，，，∴．故此选项说法正确；B、∵DM⊥BC，DN⊥CA∴∠DNC＝∠DMC＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCN＝∠DCM＝45°．∴∠DCN＝∠CDN＝45°．∴CN=DN．则△CDN是等腰直角三角形．同理可证：△CDM也是等腰直角三角形，∴CD=．CD=，∴DM=DN=CM=CN，∠MDN＝90°．∵DE垂直平分AB，∴BD=AD，AB=2BE．∴Rt△BDM≌△ADN，∴∠BDM=∠AND．∴∠BDM+∠ADM=∠AND+∠ADM＝∠MDN．∴∠ADB=90°．∴AB=．即2BE=AD．∵在Rt△AND中，AD是斜边，DN是直角边，∴AD＞DN，则＞．∴2BE＞CD．故此选项说法错误．C、∵BD=AD，∠ADB=90°，∴△ABD是等腰直角三角形．∴DE=AB．在中，，，∴AC=AB．∴DE=AC．故此选项说法正确．D、∵Rt△BDM≌△ADN，∴BM=AN．∴CN=AC+AN=AC+BM=CM．∴BC=BM+CM=AC+2BM．∵CD=CN，∴CD=2CN=2AC+2BM=AC+2BM+AC．∵AC=AB，∴CD=AB+BC．故此选项说法正确．故选：B．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．7．C解析：C【分析】由勾股定理解得、，再根据正方形边长相等的性质得到，据此解题即可．【详解】解：由勾股定理得，阴影部分的面积是，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．B解析：B【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，由题意可得：A′D的长度等于圆柱底面周长的一半，即A′D=15cm由对称的性质可得A′M=AM=DE=2，BE=11-5=6∴BD=DE+BE=8连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=（cm）．故选：B．【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．9．A解析：A【分析】设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，利用勾股定理解答．【详解】设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，中，，，∴，解得：x=4.2，故选：A．【点睛】此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键．10．C解析：C【分析】由结合勾股定理可得：，再把已知线段的长度代入计算即可得到答案．【详解】解：故选：【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握利用勾股定理解决问题是解题的关键．11．D解析：D【分析】将CB延长至点D，使，利用勾股定理求出AD的长，即可求出结果．【详解】解：如图，将CB延长至点D，使，∵，，∴，，一共有4个这样的长度，∴这个风车的外围周长是：．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求直角三角形边长．12．D解析：D【分析】设直角三角形的三边长分别为a、b、c，由题意得，代入得到，计算求出答案即可．【详解】如图，设直角三角形的三边长分别为a、b、c，由题意得，∴，∴字母A所代表的正方形的面积，故选：D．．【点睛】此题考查以弦图为背景的证明，熟记勾股定理的计算公式、理解三个正方形的面积关系是解题的关键．二、填空题13．4【分析】连接AE根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到AE=BE再根据勾股定理列式求解即可【详解】解：连接AE∵DE垂直平分AB∴AE=BE∵BE=5CE=3∴AC==4故答案为：解析：4【分析】连接AE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到AE=BE，再根据勾股定理列式求解即可．【详解】解：连接AE，∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵BE=5，CE=3，∴AC==4，故答案为：4．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的运用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．90【分析】设则根据题意可得求得根据勾股定理计算即可；【详解】∵设则又∵∴∴∴∵∴∴∴∴；故答案是90【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用准确计算是解题的关键解析：90【分析】设，则，根据题意可得，求得，根据勾股定理计算即可；【详解】∵，设，则，又∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∴；故答案是90．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．15．【分析】设在中利用勾股定理求出x值即可得到AC和CD的长再求出AB的长再用勾股定理求出BC的长即可得到结果【详解】解：设∵∴即解得或（舍去）∴∵∴∴∴故答案是：【点睛】本题考查勾股定理解题的关键是掌解析：【分析】设，在中，利用勾股定理求出x值，即可得到AC和CD的长，再求出AB的长，再用勾股定理求出BC的长，即可得到结果．【详解】解：设，∵，∴，即，解得或（舍去），∴，∵，∴，∴，∴．故答案是：．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握利用勾股定理解直角三角形的方法．16．①②③【分析】①由条件证明△ABD≌△ACE就可以得到结论；②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE就可以得出∠BDC=90°而得出结论；③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°由∠解析：①②③【分析】①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°而得出结论；③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠DBC+∠ACE=90°，就可以得出结论；④△BDE为直角三角形就可以得出BE2=BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2=2AD2，BC2=2AB2，就有BC2=BD2+CD2≠BD2就可以得出结论．【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE．故①正确；∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE．∵∠CAB=90°，∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，∴∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BDC=180°-90°=90°．∴BD⊥CE；故②正确；③∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°．∴∠ACE+∠DBC=45°，故③正确；④∵BD⊥CE，∴BE2=BD2+DE2．∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，∴DE2=2AD2，BC2=2AB2．∵BC2=BD2+CD2≠BD2，∴2AB2=BD2+CD2≠BD2，∴BE2≠2（AD2+AB2）．故④错误．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键．17．【分析】将容器侧面展开建立A关于EC的对称点A′根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求【详解】如图将容器侧面展开作A关于EC的对称点A′连接A′B交EC于F则A′B即为最短距离∵高为1m底面周解析：【分析】将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【详解】如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．∵高为1m，底面周长为4m，在容器内壁离容器底部0.4m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.6m与蚊子相对的点A处，∴A′D==2(m)，BD=1+0.6-0.4=1.2(m)，∴在直角△A′DB中，A′B=(m)，故答案是：．【点睛】本题考查了平面展开－最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．18．50【分析】根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2然后判断出阴影部分的面积=2S1再利用正方形的面积等于边长的平方计算即可得解【详解】∵△ABC是直角三角形∴AC2+BC2=AB2∵图中阴影部分的面解析：50【分析】根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2，然后判断出阴影部分的面积=2S1，再利用正方形的面积等于边长的平方计算即可得解．【详解】∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∵图中阴影部分的面积2S1=252=50，故答案为：50．【点睛】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用．关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．19．【分析】如图由于倒下部分与地面成30°夹角所以∠BAC=30°由此得到AB=2CB而离地面米处折断倒下即BC=4米所以得到AB=8米然后即可求出这棵大树在折断前的高度【详解】如图∵∠BAC=30°∠解析：【分析】如图，由于倒下部分与地面成30°夹角，所以∠BAC=30°，由此得到AB=2CB，而离地面米处折断倒下，即BC=4米，所以得到AB=8米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度．【详解】如图，∵∠BAC=30°,∠BCA=90°，∴AB=2CB，而BC=4米，∴AB=8米，∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米.故答案为12.【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的边长的性质，牢牢掌握该性质是解答本题的关键.20．【分析】分2种情况：①是直角边；②是斜边；根据勾股定理求出第三根木棒的长即可求解【详解】解：①是直角边第三根木棒要取的长度是（舍去）；②是斜边第三根木棒要取的长度是故答案为：【点睛】考查了勾股定理的解析：【分析】分2种情况：①是直角边；②是斜边；根据勾股定理求出第三根木棒的长即可求解．【详解】解：①是直角边，第三根木棒要取的长度是（舍去）；②是斜边，第三根木棒要取的长度是．故答案为：．【点睛】考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．三、解答题21．2，2+2.【分析】先根据AD⊥BC，∠C=45°得出△ACD是等腰直角三角形，再由AC=2得出AD及CD的长，由∠B=30°求出BD的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】∵AD⊥BC,∠C=45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∵AD=CD.∵AC=2，∴2AD=AC,即2AD=8，解得AD=CD=2.∵∠B=30°，∴AB=2AD=4，∴BD=，∴BC=BD+CD=2+2，∴S=BC⋅AD=(2+2)×2=2+2.【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于求出BD的长.22．（1）13；（2）﹣7或5；（3）△ABC为等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可．（2）根据与y轴平行的线段的特点以及两点间距离公式求解即可．（3）根据两点间距离公式求该三角形的各边长，从而进行判断即可．【详解】（1）∵点，，∴；（2）∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为﹣1，A，B两点间的距离等于6，∴点A的纵坐标为﹣1﹣6=﹣7或﹣1+6=5；（3）∵，，，∴△ABC为等腰三角形．【点睛】本题考查了两点间的距离公式问题，掌握两点间距离公式、等腰三角形的性质是解题的关键．23．（1）见解析；（2）；（3）见解析【分析】（1）先判断出∠ACD=∠BCE，得出△ADC≌△CBE（SAS），即可得出结论；（2）先判断出DE=CD，进而得出△CDE的周长为（2+）CD，进而判断出当CD⊥AB时，CD最短，即可得出结论；（3）先判断出∠A=∠ABC=45°，进而判断出∠DBE=90°，再用勾股定理得出BE2+DB2=DE2，即可得出结论．【详解】证明：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2．∵BC＝AC，CD＝CE，∴△CAD≌△CBE，∴AD＝BE．（2）∵∠DCE=90°，CD=CE．∴由勾股定理可得CE=．∴△CDE周长等于CD+CE+DE==．∴当CD最小时△CDE周长最小．由垂线段最短得，当CD⊥AB时，△CDE的周长最小．∵BC＝AC＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝6．此时AD＝CD＝．∴当CD时，△