(人教版)东莞市九年级数学上册第二单元《二次函数》测试题(含答案解析)

一、选择题1．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）A． B． C． D．2．将二次函数化为的形式时，结果正确的是（）A． B．C． D．3．若飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的关系式为s=60t-1.5t2，则函数图象大致为（）A． B．C． D．4．若整数a使得关于x的分式方程有整数解，且使得二次函数y＝(a﹣2)x2+2(a﹣1)x+a+1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．12 B．15 C．17 D．205．如图为二次函数的图象，此图象与轴的交点坐标分别为(－1，0)、(3，0).下列说法：；方程的根为，；当时，随着的增大而增大；.正确的个数是（）A．1 B．2 C．4 D．36．如图，在中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝6cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则的面积S随出发时间t的函数图象大致是（）A． B． C． D．7．抛物线与轴有交点，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．设，，是抛物线上的三点，，，的大小关系为（）A． B． C． D．9．要在抛物线上找点，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下（）甲：若，则点P的个数为0乙：若，则点P的个数为1丙：若，则点P的个数为1A．甲乙错，丙对 B．甲丙对，乙错 C．甲乙对，丙错 D．乙丙对，甲错10．抛物线的顶点坐标为（）A． B． C． D．11．据省统计局公布的数据，安徽省年第二季度总值约为千亿元人民币，若我省第四季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（）A． B．C． D．12．如果将抛物线先向下平移2个单位，再向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A． B．C． D．二、填空题13．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则bc的值为_____（填正或负）．14．对于抛物线，当时，关于x的一元二次方程有解，则t的取值范围是______．15．二次函数的部分对应值如下表：－3－2－10123451250－3－4－30512利用二次函数的图象可知，当函数值时，的取值范围是______．16．写出一个开口向下的二次函数的表达式______．17．小明从如图所示的二次函数图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为正确信息的有_______________．（请填序号）18．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②abc>0；③；④；⑤，其中结论正确的是__________．（填正确结论的序号）19．如图，在直角坐标系中，点A，C在x轴上，且，，，抛物线经过坐标原点O和点A，若将点B向右平移5个单位后，恰好与抛物线的顶点D重合，则抛物线的解析式为_______．20．已知二次函数，若，则的取值范围为____．三、解答题21．某商店销售一种商品，经市场调研发现，当该商品每件的售价为元时，每天可销售件；如果调整价格，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少件．已知该商品的进价为每件50元．（1）当每件商品的售价为元时，求该商品每天的销售数量；（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．22．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．012330003（1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；（2）观察函数图象，写出2条函数的性质__________________；（3）进一步探究函数图象发现：①方程的实数根为____________；②方程有____________个实数根．③关于的方程有4个实数根时，的取值范围____________．23．已知：二次函数过点（0，－3），（1，－4）（1）求出二次函数的表达式；（2）在给定坐标系中画出这个二次函数的图像；（3）根据图像回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是．24．如图，已知抛物线过点，，过定点的直线与抛物线交于、两点，点在点的右侧，过点作轴的垂线，垂足为．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）求证：．（3）若，在直线下方抛物线上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及的最大面积；若不存在，请说明理由．25．已知二次函数的图象经过点，求此二次函数的解析式，并判断点是否在这个二次函数图象上．26．如图，已知二次函数的图象经过点D（-1，0）和C（4，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）在同一坐标系中画出直线，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0，c＜0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，故C选项错误；当a＜0，c＞0时，二次函数开口向下，一次函数经过一、二、四象限，故A选项错误，D选项正确；故选：D．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．2．A解析：A【分析】加上一次项系数的一半的平方凑成完全平方式，把一般式化为顶点式．【详解】==，故选：A．【点睛】此题考查二次函数的一般式转化为顶点式，掌握方法是解题的关键．3．C解析：C【分析】根据关系式可得图象的开口方向，可求出函数的顶点坐标，根据s从0开始到最大值时停止，可得t的取值范围，即可得答案．【详解】∵滑行的距离与滑行的时间之间的关系式为s=60t-1.5t2，-1.5＜0，∴图象的开口向下，∵s=60t-1.5t2=-1.5（t-20）2+600，∴顶点坐标为（20，600），∵s从0开始到最大值时停止，∴0≤t≤20，∴C选项符合题意，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．4．B解析：B【分析】由抛物线的性质得到，然后通过解分式方程求得a的取值，然后求和．【详解】解：∵二次函数y=（a-2）x2+2（a-1）x+a+1的值恒为非负数，∴，解得解分式方程解得：由x≠2得，a≠5，由于a、x是整数，所以a=3，x=6，a=4，x=3，a=8，x=1，同理符合a≥3的a值共有3，4，8，故所有满足条件的整数a的值之和=3+4+8=15，故选：B．【点睛】本题考查的是抛物线和x轴交点，涉及到解分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数是解题的关键．5．C解析：C【分析】①由抛物线的开口方向、与y轴的交点判定a、c的符号，根据对称轴确定b的符号；②根据二次函数图象与x轴的交点解答；③利用对称轴和二次函数的图象的性质作出判断；④将x=2代入函数关系式，结合图象判定y的符号．【详解】解：①∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y的负半轴上，∴a＞0，-＞0，c＜0，即b＜0，∴abc＞0，正确；②二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点是（-1，0）、（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3故本选项正确；③函数对称轴是直线x=1，根据图象当x＞1时，y随x的增大而增大；④根据图象可知抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），∴当x=2时，y＜0∴当x=1时4a+2b+c＜0，正确．共有四个正确的，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性，还是一道比较容易出错的题目．6．D解析：D【分析】先根据运动速度和AB、BC的长可得的取值范围，再根据运动速度可得，然后利用直角三角形的面积公式可得与之间的函数关系式，最后根据二次函数的图象特点即可得．【详解】设运动时间为，点P到达点B所需时间为，点Q到达点C所需时间为，点P、Q同时停止运动，且的取值范围为，由题意，，，，，则与之间的函数图象是抛物线在的部分，且开口向下，观察四个选项可知，只有选项D符合，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象，正确求出与之间的函数关系式是解题关键．7．C解析：C【分析】根据抛物线与轴的交点情况可得到方程根的情况，进而得到根的判别式大于等于，即可得到关于的不等式，最后解不等式即可得到答案．【详解】解：∵抛物线与轴有交点∴方程有实数根∴∴．故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象性质与一元二次方程根的情况的关系、解一元一次不等式等，体现了数形结合的思想．8．A解析：A【分析】根据二次函数的对称性、增减性即可得．【详解】由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而减小，抛物线的对称轴为，时的函数值与时的函数值相等，即为，点在此抛物线上，又点，在此抛物线上，且，，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的对称性、增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．9．C解析：C【分析】求出抛物线的顶点坐标为（2，4），由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：y=x（4-x）=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若b=3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．10．B解析：B【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：∵y=-5（x-1）2+2，∴此函数的顶点坐标是（1，2）．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．11．C解析：C【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第三季度季度GDP总值约为7.9（1+x）元，第四季度GDP总值为7.9（1+x）2元，则函数解析式即可求得．【详解】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是：y=7.9（1+x）2．故选：C．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．12．B解析：B【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【详解】解：抛物线y=x2+3的顶点坐标为（0，3），向下平移2个单位，再向左平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（-1，1），所以，平移后的抛物线的解析式为y=(x+1)²+1．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．二、填空题13．正【分析】根据抛物线的开口方向判定a<0根据对称轴位于y轴左侧判定ab同号根据抛物线与y轴交点位置判定c的符号【详解】解：由图可知抛物线的开口方向向下则a＜0抛物线的对称轴位于y轴的左侧则ab同号即解析：正【分析】根据抛物线的开口方向判定a<0，根据对称轴位于y轴左侧判定a、b同号，根据抛物线与y轴交点位置判定c的符号．【详解】解：由图可知，抛物线的开口方向向下，则a＜0，抛物线的对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即b＜0，抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，所以bc＞0，即bc的值为正，故答案为：正．【点睛】本题考察抛物线与x轴的交点、二次函数图像上点的坐标特征，解题此题的关键是掌握抛物线中a、b、c所表示的几何意义．14．﹣1≤t＜8【分析】结合直角坐标系将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题确定二次函数在上的取值范围即可求解【详解】解：当时关于x的一元二次方程有解∴即在图象上和在相交∵当x=2时有最小解析：﹣1≤t＜8【分析】结合直角坐标系，将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题，确定二次函数在上的取值范围即可求解．【详解】解：当时，关于x的一元二次方程有解，∴即在图象上和在相交，∵当x=2时，有最小值﹣1当x＝﹣1是，有最大值8即当是，﹣1≤y1＜8∴﹣1≤t＜8故答案为：﹣1≤t＜8【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数交点的问题，解题的关键是正确理解题意，将方程转化为二次函数与一次函数相交的问题．15．或【分析】由表格给出的信息可看出对称轴为直线x＝1a＞0开口向上与x轴交于（−10）（30）两点则y>0时x的取值范围即可求出【详解】根据表格中给出的二次函数图象的信息对称轴为直线x＝1a＞0开口向解析：或【分析】由表格给出的信息可看出，对称轴为直线x＝1，a＞0，开口向上，与x轴交于（−1，0）、（3，0）两点，则y>0时，x的取值范围即可求出．【详解】根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线x＝1，a＞0，开口向上，与x轴交于（−1，0）、（3，0）两点，则当函数值y>0时，x的取值范围是x<-1或x>3．故答案为：x<-1或x>3．【点睛】本题考查了二次函数的图象及其性质，正确掌握才能灵活运用．16．（答案不唯一）【分析】根据二次函数开口向下二次项系数为负可据此写出满足条件的函数解析式【详解】解：二次函数的图象开口向下则二次项系数为负即a＜0满足条件的二次函数的表达式为y=-x2故答案为：y=-解析：（答案不唯一）【分析】根据二次函数开口向下，二次项系数为负，可据此写出满足条件的函数解析式．【详解】解：二次函数的图象开口向下，则二次项系数为负，即a＜0，满足条件的二次函数的表达式为y=-x2．故答案为：y=-x2（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的图象开口向下，二次项系数为负，此题比较简单．17．①③④⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系然后再根据对称轴与抛物线与x轴的交点情况进行判断即可；【详解】∵抛物线开口向下∴a＜0∴对称轴∴故①正确；∵抛物解析：①③④⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后再根据对称轴与抛物线与x轴的交点情况进行判断即可；【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴对称轴，∴，故①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴＞0，故②错误；∵对称轴，a＜0，∴＜0，∴ab＞0，故③正确；当时，y＞0，即，y＜0，∴＜0，故④正确；当时，y＞0，即，＞0，∴＞0，∵，∴＞0，∴＞0，故⑤正确；故答案是①③④⑤．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析判断是解题的关键．18．①②【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理进而对所得结论进行判断即可【详解】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的解析：①②．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．【详解】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＝b2−4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x＝＝1，b＝−2a，故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确；③∵抛物线的对称轴为x＝＝1，b＝−2a，∴2a＋b＝0，故③错误；④根据②可将抛物线的解析式化为：y＝ax2−2ax＋c（a≠0）；由函数的图象知：当x＝−2时，y＞0；即4a−（−4a）＋c＝8a＋c＞0，故④错误；⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（−1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x＝−1时，y＜0，所以当x＝3时，也有y＜0，即9a＋3b＋c＜0；故⑤错误；所以正确的结论有：①②．故答案为：①②．【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，，掌握二次函数系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．19．【分析】利用勾股定理易求BC的长即点D的纵坐标长度再求出OE的长即可出点D的坐标设抛物线的解析式为y=a（x-3）2+6把点A坐标代入求出a的值即可得到抛物线解析式【详解】解：如图所示∵BC⊥x轴即解析：【分析】利用勾股定理易求BC的长，即点D的纵坐标长度，再求出OE的长即可出点D的坐标,设抛物线的解析式为y=a（x-3）2+6，把点A坐标代入求出a的值即可得到抛物线解析式．【详解】解：如图所示，∵BC⊥x轴，即∠BCA=90°，∴．由平移性质得，CE=BD=5．∴AE=OE=3．

∴D的坐标为（3，6）．设抛物线的解析式为y=a（x-3）2+6，将点A（6，0）代入得，a（6-3）2+6=0．∴a=，∴y=-（x-3）2+6=．故答案为：【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、利用待定系数法求抛物线的解析式以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等．20．【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标从而可得到y的最小值然后再求得最大值即可【详解】解：y=x2-4x-6=x2-4x+4-10=（x-2）2-10∴当x=2时y有最小值最小值为-10∵∴当x=解析：【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标，从而可得到y的最小值，然后再求得最大值即可．【详解】解：y=x2-4x-6=x2-4x+4-10=（x-2）2-10．∴当x=2时，y有最小值，最小值为-10．∵，∴当x=6时，y有最大值，最大值为y=（6-2）2-10=6．∴y的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三、解答题21．（1）当每件商品的售价为元时，该商品每天的销售数量为160件；（2）当每件商品的售价为65元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为2250元．【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；（2）根据等量关系“利润=（售价-进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．【详解】解：当每件商品的售价为元时，该商品每天的销售数量为（件）.设每件商品的售价为x元，销售该商品每天获得的利润为，则，∵，∴当时，取得最大值，最大值为.答：当每件商品的售价为元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为元．【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．22．（1）见解析；（2）①函数图象是轴对称图形，关于轴对称；②当时，随的增大而增大；（3）①，，；②2；③【分析】（1）描点、连线即可得到函数的图象；（2）根据函数图象得到函数y=x2-2|x|的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而增大；（3）①根据函数图象与x轴的交点位置，即可得到结论；②如图，根据y=x2-2|x|的图象与直线y=2的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a的取值范围是-1＜a＜0．【详解】解：（1）如图所示；（2）由函数图象知：①函数y=x2-2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；故答案为：①函数y=x2-2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（3）①由函数图象知：函数图象与x轴的交点所对应的数为-2，0，2，所以方程x2-2|x|=0的实数根为，，；②如图，∵y=x2-2|x|的图象与直线y=2有两个交点，∴x2-2|x|=2有2个不相等的实数根；③由函数图象知：∵关于x的方程x2-2|x|=a有4个不相等的实数根，∴a的取值范围是-1＜a＜0，故答案为：，，；2；-1＜a＜0．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了观察函数图象的能力．23．（1）；（2）见解析；（3）－4≤y＜0【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；（2）根据函数的解析式画出抛物线即可；（3）把二次函数解析式化成顶点式，再根据图形分析计算y的取值范围即可．【详解】解：（1）将点（0，－3），（1，－4）代入二次函数得：，解得：，所以，二次函数的表达式为：；（2）二次函数的图象如下：（3）∵∴当x＝1时，有最小值－4，当x＝0时，y＝（0−1）2－4＝−3，当x＝3时，y＝（3−1）2－4＝0，又对称轴为x＝1，∴当0≤x＜3时，y的取值范围是−4＜y≤0．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函