辽宁省盘锦市2017年数学中考真题（解析版）

2017年辽宁省盘锦市中考数学试卷

一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号涂在答题卡

上，每小题3分，共30分)

1.-2的相反数是()

11

A.—2B.2C."D.-----

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据相反数的定义可得结果.

【详解】因为-2+2=0,所以-2的相反数是2,

故选:B.

【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的概念是解题的关键.

【答案】B

【解析】

【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.

【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、是中心对称图形，符合题意；

C、不是中心对称图形，不符合题意；

D、不是中心对称图形，不符合题意；

故选:B.

【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称

中心旋转180度后与原图重合.

3.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.X2+2x-l=(x-1)2B.(a+b)(a-b)=a2-b2

C.x2+4x+4=(x+2)2D.ax2-a=a(x2-1)

【答案】C

【解析】

【详解】解：A.X2-2X+1=(X-1)2,故A不是因式分解；

B.a2-h2=(a+b)(a-b),故B不是因式分解；

C.j?+4x+4=(x+2)2,故C正确；

D.ax2-a-a(x2-1)-a(x+1)(x-1),故D分解不完全.

故选C.

4.如图，下面几何体的俯视图是()

【答案】D

【解析】

【详解】解：从上面看有3歹U，左边一列有2个正方形，中间一列有1个正方形，右边一列有1个正方

形.

故选D.

5.在我市举办的中学生“争做文明盘锦人”演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相

同，小明想知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的()

A.众数B.方差C.平均数D.中位数

【答案】D

【解析】

【详解】解：由题意可得：一名学生想要知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15

名学生成绩的中位数，故选D.

—<1

6.不等式组，2的解集是()

2(x+2)+123

A.-1〈烂3B.l<x<3C.-l<x<3D.1〈烂3

【答案】C

【解析】

【详解】解：解不等式——<1,得：X<3,解不等式2（x+2）+1>3,得：应-1,...不等式组的解集为-

2

l<r<3,故选C.

点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取

小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

7.样本数据3,2,4,a,8的平均数是4,则这组数据的众数是（）

A.2B,3C.4D.8

【答案】B

【解析】

【详解】解：4=4x5-3-27-8=3,则这组数据为3,2,4,3,8：众数为3,故选B.

8.十一期间，几名同学共同包租一辆中巴车去红海滩游玩，中巴车的租价为480元，出发时又有4名学生

参加进来，结果每位同学比原来少分摊4元车费.设原来游玩的同学有x名，则可得方程（）

480480480480

A.=4B.4

x+4XX无一4

480480480480_

C.=4D.4

x—4XXx+4

【答案】D

【解析】

【详解】解：由题意得：当一型_=4,故选D.

xx+4

3

9.如图，双曲线）=——（xVO）经过。A8C0的对角线交点£>,已知边OC在y轴上，且AC_LOC于点

2x

C,则。0A8C的面积是（）

39

A.-B.-C.3D.6

24

【答案】C

【解析】

3

【详解】解：・.•点。为。ABC。的对角线交点，双曲线y=——（xVO）经过点£>,ACJ_y轴，，S平行四边形

2x

3

ABCO=4S^COD=4X；x|-----1=3.故选C.

22

点睛：本题考查了反比例函数系数k的儿何意义以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合反比

例函数系数k的几何意义，找出出S平行四边彩ABCO=4SACOO=2|川是解题的关键.

10.如图，抛物线y=co?+8x+c与x轴交于点A（-1,0）,顶点坐标（1,〃），与y轴的交点在（0,

4

3）,（0,4）之间（包含端点），则下列结论：①abc>0；②3a+b<0；③-----<a<-1；®a+b>am2+bm（m

3

为任意实数）；⑤一元二次方程依2+必+c=〃有两个不相等的实数根，其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【解析】

【详解】：抛物线开口向下，

•顶点坐标（1,〃），

对称轴为直线x=l,

b.,

・・----=1,•・b--2a>0，

2a

・・•与y轴的交点在（o,3）,（0,4）之间（包含端点），

/.3<（?<4,

/.ahc<09故①错误；

3〃+6=3。+（-2a）=a<09故②正确；

'・•与x轴交于点A（-1,0）,.\a-b+c=09

•'.a-（-2〃）+c=0,

c=-3a,

3<-3a",

4

J--<a<-1,故③正确;

3

二顶点坐标为(1,〃)，

.,.当1时，函数有最大值〃，

a+b+c>am2+bm+c,

a+b>am2+bm,故④正确；

一元二次方程⑪2+笈+0=〃有两个相等的实数根莺=及=1,故⑤错误.

综上所述，结论正确的是②③④共3个.

故选B.

【点睛】本题考查了抛物线与无轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴,

最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出服。的关系.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.2016年我国对“一带一路”沿线国家直接投资145亿美元，将145亿用科学记数法表示.

【答案】1.45X1O10.

【解析】

【详解】解：将145亿用科学记数法表示为：1.45X10Q故答案为1.45x109

12.若式子/I'有意义,则x的取值范围是____.

j2x+3

3

【答案】x>---.

2

【解析】

33

【详解】解：依题意得：2x+3>0.解得x>一一.故答案为一一.

22

13.计算：10加+（-5。6）=.

【答案】-2b2.

【解析】

【详解】解：原式=一2^,故答案为一26.

14.对于。ABC。，从以下五个关系式中任取一个作为条件：

①AB=BC；②N8AO=90。；③AC=BZ）；®AC±BD；®ZDAB=ZABC,能判定wWCD是矩形的概率是

3

【答案】

【解析】

【详解】解：①••SBC。是平行四边形，A8=BC,."88是菱形；

②是平行四边形，NBAZ)=90。，."88是矩形;

③♦.'ABC。是平行四边形，AC=BD,，河。。是矩形；

④「ABS是平行四边形，AC，B。，...ABC。是菱形；

⑤•:ABC。是平行四边形，

J.AD//BC,

NOAB+/4BC=180。，ZDAB^ZABC,

：./D4B=90。，：.ABCD是矩形.

3

故P（ABC。是矩形）=一.

5

3

故答案为：—.

5

15.如图，在AABC中，ZB=30°,NC=45。，A。是BC边上的高，AB=4cm,分别以8、C为圆心，以

BD、8为半径画弧，交边A8、AC于点E、F,则图中阴影部分的面积是cm2.

【答案】26+2—之万.

2

【解析】

【详解】解：；AO是8c边上的高，.,./AO2=/AZ)C=90。,

VZB=30°,

AD=yAB=2cm,BD=^42_22=2>/3(cm),

VZC=45°,

/.ZDAC=45°f：.AD=CD=2cm,

BC=(2«+2)cm.

i/厂、30^x12454x4

…吟x(26+2M2-

1Q

=2百+2—乃一一万=2G+2—±乃,

22

故答案为(2百+2—3万).

2

【点睛】此题主要考查了扇形的面积计算，以及勾股定理，关键是正确计算出4。、BD.CD长.

16.在平面直角坐标系中，点尸的坐标为（0,-5）,以P为圆心的圆与x轴相切，。p的弦A8（8点在A

点右侧）垂直于y轴，且AB=8,反比例函数>（^0）经过点8,则依

X

【答案】-8或-32.

【解析】

【详解】解：设线段A8交y轴于点C,当点C在点尸上方时，连接尸丛如图,

：.PB=PO=59

・・・AB=8,

・・・8C=4,

在RtAPBC中，由勾股定理可得PC^PB2—BC?=3,

OC=OP-PC=5-3=2,

・・・8点坐标为(4,-2),

•.•反比例函数>=幺(厚0)经过点3,

x

：.k=4x(-2)=-8；

当点。在点P下方时，同理可求得PO3,则OC=OP+PC=8,

：.B(4,-8),

/.^=4x(-8)=-32；

综上可知我的值为-8或-32,

故答案为-8或-32.

【点睛】本题主要考查切线的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，利用垂径定理和切线的性质求得

PC的长是解题的关键，注意分两种情况.

17.如图，。。的半径OA=3,OA的垂直平分线交。。于8、C两点，连接。8、OC,用扇形OBC围成一

个圆锥的侧面，则这个圆链的高为一

【答案】20.

【解析】

【详解】解：连接48,AC,

•••BC为0A的垂直平分线，

：.OB=AB,OC=AC,

：.OB=AB=OA,OC=OA=AC,

△OAB和△AOC都是等边三角形，

ZBOA=ZAOC=60°,

：.ZBOC=\20°,

12()7rx3

设圆锥的底面半径为r,则27L------解得：r=l,

t180

这个圆锥的高为行平=272，

故答案为2&-

18.如图，点4(1,1)在直线产x上，过点4分别作y轴、x轴的平行线交直线y=于点5,Bi,

2

过点及作y轴的平行线交直线y=x于点4,过点A2作x轴的平行线交直线y=孝》于点心....按照此

规律进行下去，则点A“的横坐标为.

【解析】

【详解】解：；人“比+|〃欠轴，..m11/4&+归,=@.

2

当41时，y=^X=—＞二点3的坐标为（1,也），

222

n4一向

：.AiBi=\-火，4&=J3=&_

2—3

・・[.25/3.上.RAM人4•一斗.72、^2、/J、

V1+AIBn=—,.,•点A2的坐标为（二一，—!—）,

2333

点Bi的坐标为（毡,1）,

3

:.AaBkNL~~r~42x/3

1,4253=J3=—

3—3

2

444正）

•••点4的坐标为（一，一），点&的坐标为（一

333亍

同理，可得：点4的坐标为（

故答案为（毡）"T

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及规律型，通过解直角三角形找出点

①、4、…、A〃的坐标是解题的关键.

三、解答题

a+21—ci其中。二（万一\/^）°+（大）•

19.先化简，再求值：（~?--1--'--?-------7-----，।

a—2Qa~—4。+4a---------------------2

1

【答案】fI.

【解析】

【分析】根据分式加法和除法可以化简题目中的式子，然后将。的值代入化简后的式子即可解答本题.

(a+2)3—2)+a(l—a)ci

【详解】解：原式=

a(a-2)2a-4

a-41

=（a-2）2"a^4

1

=（«-2）21

Va=（7r—yfi）0+（—）1=1+2=3,

2

1

当”=3时，原式=―—57=1.

【点睛】此题考查了分式的化简求值，零指数幕定义，负指数慕定义，正确掌握分式的混合运算法则及运

算顺序是解题的关键.

20.如图，码头A、B分别在海岛。的北偏东45。和北偏东60。方向上，仓库C在海岛。的北偏东75。方向

上，码头A、B均在仓库C的正西方向，码头B和仓库C的距离BC=50hw,若将一批物资从仓库C用汽车

运送到A、B两个码头中的一处，再用货船运送到海岛O,若汽车的行驶速度为50km/h,货船航行的速度

为25km/h,问这批物资在哪个码头装船，最早运抵海岛。？（两个码头物资装船所用的时间相同，参考数

据：夜*146n7）

【答案】这批物资在A码头装船，最早运抵海岛O.

【解析】

【分析】延长。交。M于K.先根据方位角、等腰三角形的定义求出。8的长，再利用直角三角形的性

质、线段的和差求出。4A8的长，然后分别求出时间即可判断.

【详解】解：如图，延长C4交OM于K,

由题意得，4coK=75°,NBOK=60°,ZAOK=45°,ZCKO=90°,

ZC=90°-ZCOK=15°,ZKBO=90°-ZBOK=30°,OK=AK.

ZKBO=NC+ZBOC,即30°=15°+NBOC,

ZBOC=NC=15°,

.-.OB=BC=50(lari).

在RtAOBK中，OKJOB=25(km),BK=#>OK=256伏加)，

2

在RtMOK中，AK=OK=25(km),OA=收OK=250»35(M,

AB=BK-AK=256-25a17.5(。”)，AC=BC+AB«50+17.5=67.5(57).

则若在4码头装船，所需时间为空+丝=室+至=2.75(//),

50255025

CRcncn

若在B码头装船，所需时间为一三+W—=F+W=3(/0，

50255025

因2.75〃<3/Z,

故这批物资在A码头装船，能最早运抵海岛O.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、速度、时间、路程之间的关系等知识点，解题的关

键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

21.如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本

班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：

4自带白开水；B：瓶装矿泉水：C：碳酸饮料：D：非碳酸饮料.

根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：

学生引用各种饮品

人数扇计图

BCD饮品

（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图.

（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限1瓶，价格如下表），则该班同学用于饮品上的人均

花费是多少元?

钦诚名称自带白

开水M饮料

平均价格（元用00234

（3）若我市约有初中生4万人，估计我市初中生每天用于饮品上的花费是多少元？

（4）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取

2名同学做良好习惯监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到2名女生的概率.

3

【答案】（1）50；（2）2.6；（3）104000元；（4）—.

10

【解析】

【详解】试题分析：（1）由8类型的人数及其百分比求得总人数，在用总人数减去其余各组人数得出C类

型人数，即可补全条形图；

（2）由各类的人数可得其总消费，进而可求出该班同学用于饮品上的人均花费是多少元；

（3）用总人数乘以样本中的人均消费数额即可；

（4）用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，从中确定恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，根

据概率公式求解可得.

试题解析：解：（1）:抽查的总人数为：20+40%=50人，，（7类人数=50-20-5-15=10人，补全条形统

计图如下：

（2）该班同学用于饮品上的人均花费=（5x0+20x2+3x10+4x15）+50=2.6元;

（3）我市初中生每天用于饮品上花费=40000x2.6=104000元.

（4）列表得:

女女女男男

女---（女，女）<*>女）（男,女）（男,女）

女（女，女）---（女.女）（男.女）（男，女）

女（女，女）（女，女）■■■（男.女）（男,女）

男（女，男）（女,男）（女,男）___（男,男）

男（女，男）（女,男）（女.男）（男.男）---

或画树状图得:

开始

女

男手女

男男女女男男女女

男女女女男女女女男男女女

_6_

所有等可能的情况数有20种,其中2女的有6种，所以P（恰好抽到一男一女）

20~10

点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图

中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映

部分占总体的百分比大小.

22.如图，在平面直角坐标系中，直线/：v=-^x+4与x轴、y轴分别交于点M，N,高为3的等边

3

三角形ABC,边8c在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△AiBG,当点

⑤与原点重合时，解答下列问题：

（1）求出点4的坐标，并判断点4是否在直线/上；

（2）求出边4。所在直线的解析式；

（3）在坐标平面内找一点尸，使得以P、Ai、CHM为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出尸点坐

【答案】⑴4（石，3）,在直线上；（2）

y=-&+6;⑶P（36,3）,巳（56，-3）,尸3（-6，3）.

【解析】

【详解】试题分析：

（1）根据题意画出示意图，过点4作x轴的垂线AO,在Rt/VhOBi中利用等边三角形的性质和勾股定理可

以求得线段AQ和的长，进而写出点4的坐标.将点4的横坐标代入直线/的解析式，求得相应的纵

坐标，通过对比求得的纵坐标和点4的纵坐标可以判断点A,与直线I的位置关系.

（2）根据等边三角形的边长容易得到点G的坐标.利用点4和点Ci的坐标，结合一次函数的一般形式，可

以获得关于待定系数的方程，求解这些方程进而可以写出边4G所在直线的解析式.

（3）由于利用^4GM的三个内角均可以构造出符合题意的平行四边形，所以本小题应对这三种情况分别

进行讨论.根据题意画出各种情况的示意图.当以/ACM为平行四边形的一个内角构造平行四边形时，可

以过点4作了轴的垂线AE,利用RtZVliBE中的几何关系求得线段4E和BiE的长.利用点M的坐标和

等边三角形的边长可以得到线段CiM的长，进而获得线段4P的长，从而可以写出点尸的坐标.当以

为平行四边形的一个内角构造平行四边形时，利用中的几何关系和线段GM的长，可

以求得线段AF和8F的长，进而写出点P的坐标.当以/G4何为平行四边形的一个内角构造平行四边

形时，可以过点P作x轴的垂线PG,利用平行四边形的性质获得线段的长，利用Rt^PGM中的几何

关系和线段BiM的长，可以求得线段PG和0G的长，进而写出点P的坐标.

如图，过点4作垂足为D

•.,△AiBiCi是等边三角形,AiD±OM,

：.ZBiAiD=30°,

.•.在RtZVhOBi中，g。=

：AiD=3,

.•.在RtzMiOBi中，A。=[AB：-Bp=不（2Bp）2-B1D?=百片。=3，

：.B[D=6,A^BX—2\/3.

，点A|的坐标为（yfj,3）.

由直线/的解析式，得

当X=V^时，y=----X6+4=3，

3

...点4在直线/上.

⑵•••AAiB.Ci是等边三角形，44=2百，

B£-2\/3.

.•.点G的坐标为（26，0）.

设直线AiCi的解析式为y=kx+b（原0）.

将点4（6,3），点G（2g,0）的坐标分别代入直线4G的解析式，得

k-^/3+b=3

k-2y/3+b=0'

解之，得

：k=-&

b=6

，直线4G的解析式为y=一GX+6.

（3）点P的坐标为（3粗，3）,（-6,3）或（56，-3）.求解过程如下.

根据题意，分别对下面三种情况进行讨论.

①若以N4GM为平行四边形的一个内角，则所求平行四边形为平行四边形4GMp.

如图①，过点4作4EL0N,垂足为E.

由直线/的解析式，得

当），=0时，一口尤+4=0,

3

8.

.,.点M的坐标为（4括，0）.

；.OM=4百.

4cll=A4=2-^,

QM=OM-Biq=4A/3-2>/3=2V3,

AP=C[M=25

•••△48G是等边三角形，

,ZA|BiCi=60°,

ZAiBiE=90°-N4BiG=90°-60°=30°.

.,.在RlZvliEBi中，A,E=—A.B.=—x2>/3=>/3,B：E=3.

22

"：AiP//CiM,A\E±ON,

.•.点E,4,P在同一条直线上，

；・。£=4七+"=百+2百=3后

...点P的坐标为（3百，3）.

②若以/A1MG为平行四边形的一个内角，则所求平行四边形为平行四边形PCyMA\.

'：A\P//C\M,

：.A\F^ON,

...在RtZ\4F8i中，=gx2G=G,B、F=3.

AP=C[M=2。

：.PF=AP-AF=2S6=6

•••点尸的坐标为（一JJ,3）.

③若以NG4M为平行四边形的一个内角，则所求平行四边形为平行四边形4GpM

如图③，过点P作PG_LOM,垂足为G

,/△43G是等边三角形，

ZAiGBi=60°,

ZAiCiM=l80°-ZAICIBI=180°-60°=120°,

'：A\C\//PM,

：./PMON41clM=120°,

NPMG=1800-ZPMCi=180°-l20°=60°,

在RtAPMG中，ZMPG=90°-ZPMG=90°-60°=30°.

==44=26,

.•.在中，MG=-PM=-x2>/3=73,

22

PG=y/PM2-MG2==3.

,：0M=A6,

OG=OM+MG=46+G=5后

.•.点P的坐标为（5人，-3）.

综上所述，点P的坐标为（36，3）,（-百，3）或（5百，-3）.

23.端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为80元粽子礼盒的销售情况，请根据小梅提供的信

息，解答小慧和小杰提出的问题.（价格取正整数）

每盒定价100元，每天能卖出410盒，而且,

这种粽子礼盒的售价每上涨1元，其销售量溢

^J\梅少1陵

照你所说，如果要实现每天858阮的

销售利润，并且铜」多销,那该如何

定价？

8580元的销售利润是不是最多呢？如果

木易,又该怎样定价才会使每天的销售

利润最大?最大销售利润是多少?

【答案】小慧：定价为102元；小杰：8580元的销售利润不是最多，当定价为110元或111元时，销售利润

最多，最多利润为9300元.

【解析】

【详解】试题分析：小慧：设定价为x元，利润为y元，根据利润=(定价-进价)x销售量，列出函数关系

式，结合x的取值范围，求出当y取800时，定价x的值即可；

小杰：根据小慧中求出的函数解析式，运用配方法求最大值，并求此时x的值即可.

试题解析：解：小慧：设定价为x元，利润为y元，则销售量为：410-10(x-100)=1410-10x,由题意

得，y=(x-80)(1410-10x)

=-10x2+2210x712800,当y=8580时，-10/+2210X-112800=8580,整理，得：x2-221x+12138-0,解

得：x=102或E19,..•当x=102时，销量为1410-1020=390,当户119时,销量为1410-1190=220,

若要达到8580元的利润，且薄利多销，.•.此时的定价应为102元；

小杰：y=-10x2+2210x-112800=-10(x-—:价格取整数，即x为整数，...当％=110或

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4111时，y取得最大值，最大值为9300.

答：8580元的销售利润不是最多，当定价为110元或111元时，销售利润最多，最多利润为9300元.

点睛：本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是根据题意找出等量关系列出函数关系

式，要求同学们掌握运用配方法求二次函数的最大值.

24.如图，在等腰AABC中，AB=BC,以8c为直径的。。与AC相交于点。，过点。作。ELAB交C8延

长线于点E,垂足为点尸.

(1)判断DE与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若。。的半径R=5,口〃C=g,求的长.

,A

D

30BE

o

【答案】（1）证明见解析（2）-

3

【解析】

【分析】（1）连接圆心和切点，利用平行，DELAB可证得NQD尸=90。；

（2）过。作。H_LBC于H,设B£>=k,CD=2k,求得B。、CZ）的长，根据三角形的面积公式得到力H的

长，由勾股定理得到。”的长，根据射影定理得到。£>2=04。£,求得0E的长，从而得到BE的长，根据

相似三角形的性质得到BF=2,根据勾股定理即可得到结论.

【详解】解：（1）证明：如图，连接0。，BD,

是。。的直径，

ZADB=Z90°,

：.BD±AC.

'：AB=BC,

：.AD=DC.

'：OA=OB,

：.0D//BA,

'：DE±BA,

：.DE±0D,

直线OE是。。的切线.

（2）过。作于，

0的半径R=5,S"C=g,

：.BC=10,BD=k,CD=2k,

，BC=石仁10,

.'.k=2y/5,

：.BD=2非,CDM亚，

CDBD

：.DH=

BC

：-OH=^ODr-DH2=3>

"：DELOD,DHA.OE,

：.OD^=OH>OE,

：.0E=—

3

10

：.BE=—

3

DELAB,

C.BF//OD,

：./\BFE^/\ODE,

.BFBE

8

。

130

-

5-

25

3-

：.BF=2,

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质以及解直角三角形.当题中已有垂直

时，证直线为圆的切线，通常选用平行来进行证明；而求相关角的余弦值，应根据所给条件进行适当转

移，注意利用直角三角形面积的不同方式求解.

25.如图，在RdABC中，ZACB=90°,/A=30。，点。为AB中点，点尸为直线8c上的动点（不与点

8、点C重合），连接OC、OP,将线段。尸绕点P顺时针旋转60。，得到线段P。，连接

(1)如图1,当点尸在线段8c上时，请直接写出线段8。与CP的数量关系.

(2)如图2,当点尸在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明

理由；

(3)如图3,当点尸在BC延长线上时，若NBP815。,BP=4,请求出8。的长.

【答案】(1)BQ=CP；

(2)成立：PC=BQ,理由见解析;

（3）473-4.

【解析】

【分析】(1)结论：BQ=CP.如图1中，作交C。于H,可得△PC"是等边三角形，只要证明

△POH四△QP8即可；

(2)成立：PC=BQ.作交CO的延长线于H.证明方法类似(1)；

(3)如图3中，作CE1.OP于E,在PE上取一点F,使得尸P=FC,连接CF.设CE=CO=a,贝I」

FC=FP=2a,EF=6a,在RoPCE中，表示出PC,根据PC+CB=4,可得方程(#+夜)a+=4,

求出。即可解决问题；

【小问1详解】

结论：BQ=CP.

理由：如图1中，作尸〃〃4B交CO于H.

在ABC中，VZACB=90°,NA=30。，点。为A8中点,

CO=AO=BO,ZCBO=60°,

：./\CBO是等边三角形，

ZCHP=ZCOB=60°,ZCPH=ZCBO=60°,

NCHP=NCPH=60。,

...△CPH是等边三角形，

：.PC=PH=CH,：.OH=PB,

•?ZOPB=ZOPQ+ZQPB=ZOCB+ZCOP,

・・•NOPQ=NOCP=60。,

・•・/POH=/QPB,

•:PO=PQ,

:./XPOH”丛QPB,

：.PH=QB,

：.PC=BQ.

【小问2详解】

成立：PC=BQ,理由：作P”〃A8交。。的延长线于H.

在放aABC中，VZACB=90°f乙4=30。，点。为A8中点，

:・CO=AO=BO,NCBO=60。，

:•△CBO是等边三角形，

ZCHP=ZCOB=60°,ZCPH=ZCBO=60°,

ZCHP=ZCPH=60°,

•••△CP”是等边三角形，

：.PC=PH=CHf

：.OH=PB,

VZPOH=60°+ZCPO,NQPO=60°+NCPQ,

J/POH=/QPB,

,:PO=PQ,

:・PH=QB,

:・PC=BQ.

【小问3详解】

如图3中，作CELOP于E,在尸£上取一点尸，使得尸P二尸C,连接C?

VZOPC=15°,ZOCB=ZOCP+ZPOC,

：.ZPOC=45°,

：.CE=EO,

设CE=CO=a,IJIlJFC=FP=2a,EF=®i,

在R3PCE中，PC=SJPE2+CE2=yJ(2a+>/3a)2+a2=(遥+6)a，

PC+CB=4,

'•(s[6+>/2)«+\fla=4,

解得”=4&—2#，

：.PC=46-4>

由⑵可知BQ=尸C,

•••BQ=4百—4.

图1图2图3

【点睛】此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知

识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中

考压轴题.

26.如图，直线尸-2x+4交y轴于点A,交抛物线y=；£+反+，于点（3,-2）,抛物线经过点

C（-L0）,交y轴于点D,点尸是抛物线上的动点，作交OB所在直线于点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△PDE为等腰直角三角形时，求出PE的长及P点坐标；

（3）在（2）的条件下，连接PB,将△沿直线AB翻折，直接写出翻折点后E的对称点坐标.

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【答案】(1)V=-x-9一一X-2；(2)PE=5或1,尸(1,-