【家教资料】高中数学必修一 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 复习资料

第二章基本初等函数（Ⅰ）第34页共34页【家教资料】高中数学必修一第二章基本初等函数(Ⅰ)复习资料必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根．②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时，．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①②③【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义0101函数且叫做指数函数0101图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，．奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对 图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：．（2）几个重要的对数恒等式，，．（3）常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．（4）对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象001001定义域值域过定点图象过定点，即当时，．奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对 图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；③将改写成，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数与反函数的图象关于直线对称．②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：②顶点式：③两根式：（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是．②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，．③二次函数当时，图象与轴有两个交点．（4）一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程的两实根为，且．令，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：②对称轴位置：③判别式：④端点函数值符号．①k＜x1≤x2EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,af(k)＞0,－\f(b,2a)＞k))②x1≤x2＜kEQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,af(k)＞0,－\f(b,2a)＜k))③x1＜k＜x2af(k)＜0④k1＜x1≤x2＜k2EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＞0,f(k1)＞0,f(k2)＞0,k1＜－\f(b,2a)＜k2))或\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＜0,f(k1)＜0,f(k2)＜0,k1＜－\f(b,2a)＜k2))⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2EQ\b\lc\{(\a\al(a＞0,f(k1)＞0,f(k2)＜0,f(p1)＜0,f(p2)＞0))或\b\lc\{(\a\al(a＜0,f(k1)＜0,f(k2)＞0,f(p1)＞0,f(p2)＜0))此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数在闭区间上的最值设在区间上的最大值为，最小值为，令．（Ⅰ）当时（开口向上）最小值若，则②若，则xyxy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)③若，则xxy0aOabx2pqf(p)f(q)最大值若，则②，则xyxy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)(Ⅱ)当时(开口向下)最大值①若，则②若，则xyxy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)③若，则xxy0aOabx2pqf(p)f(q)最小值①若，则②，则．xyxy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~·~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第1讲§2.1.1指数与指数幂的运算¤学习目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.¤知识要点：1.若，则x叫做a的n次方根，记为，其中n>1，且.n次方根具有如下性质：（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.（2）n次方根（）有如下恒等式：；；，（a0）.2.规定正数的分数指数幂：（）；.¤例题精讲：【例1】求下列各式的值：（1）（）；（2）.解：（1）当n为奇数时，；当n为偶数时，.（2）.当时，；当时，.【例2】已知，求的值. 解：.【例3】化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）；（3）.解：（1）原式=.（2）原式====.（3）原式=.点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂.正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.【例4】化简与求值：（1）；（2）.解：（1）原式====4.（2）原式===.点评：形如的双重根式，当是一个平方数时，则能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧.而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小题也体现了一种消去法的思想.第（1）小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得.第2讲§2.1.2指数函数及其性质（一）¤学习目标：理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质.¤知识要点：1.定义：一般地，函数叫做指数函数（exponentialfunction），其中x是自变量，函数的定义域为R.2.以函数与的图象为例，观察这一对函数的图象，可总结出如下性质：定义域为R，值域为；当时，，即图象过定点；当时，在R上是减函数，当时，在R上是增函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）.解：（1）要使有意义，其中自变量x需满足，即.∴其定义域为.（2）要使有意义，其中自变量x需满足，即.∴其定义域为.（3）要使有意义，其中自变量x需满足，即.∴其定义域为.【例2】求下列函数的值域：（1）；（2）解：（1）观察易知，则有.∴原函数的值域为.（2）.令，易知.则.结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到在上为增函数，所以.∴原函数的值域为.【例3】（05年福建卷.理5文6）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）.A． B．C． D．解：从曲线的变化趋势，可以得到函数为减函数，从而0<a<1；从曲线位置看，是由函数的图象向左平移|-b|个单位而得，所以-b>0，即b<0.所以选D.点评：观察图象变化趋势，得到函数的单调性，结合指数函数的单调性，得到参数a的范围.根据所给函数式的平移变换规律，得到参数b的范围.也可以取x=1时的特殊点，得到，从而b<0.【例4】已知函数.（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.解：（1）当，即时，.所以，该函数的图象恒过定点.（2）∵是减函数，∴当时，在R上是增函数；当时，在R上是减函数.点评：底数两种情况的辨析，实质就是分类讨论思想的运用.而含参指数型函数的研究，要求正确处理与参数相关的变与不变.第3讲§2.1.2指数函数及其性质（二）¤学习目标：在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.掌握指数函数的性质及应用.¤知识要点：以函数与的图象为例，得出这以下结论：（1）函数的图象与的图象关于y轴对称.（2）指数函数的图象在第一象限内，图象由下至上，底数由下到大.¤例题精讲：【例1】按从小到大的顺序排列下列各数：，，，.解：构造四个指数函数，分别为，，，，它们在第一象限内，图象由下至上，依次是，，，.如右图所示.由于，所以从小到大依次排列是：，，，.点评：利用指数函数图象的分步规律，巧妙地解决了同指数的幂的大小比较问题.当然，我们在后面的学习中，可以直接利用幂函数的单调性来比较此类大小.【例2】已知.（1）讨论的奇偶性；（2）讨论的单调性.解：（1）的定义域为R.∵.∴为奇函数.（2）设任意，且，则.由于，从而，即.∴，即.∴为增函数.点评：在这里，奇偶性与单调性的判别，都是直接利用知识的定义来解决.需要我们理解两个定义，掌握其运用的基本模式，并能熟练的进行代数变形，得到理想中的结果.【例3】求下列函数的单调区间：（1）；（2）.解：（1）设.由知，在上为减函数，在上为增函数.根据的单调性，当时，y关于u为增函数；当时，y关于u为减函数.∴当时，原函数的增区间为，减区间为；当时，原函数的增区间为，减区间为.（2）函数的定义域为.设.易知为减函数.而根据的图象可以得到，在区间与上，y关于u均为减函数.∴在上，原函数为增函数；在上，原函数也为增函数.点评：研究形如的函数的单调性，可以有如下结论：当时，函数的单调性与的单调性相同；当时，函数的单调性与的单调性相反.而对于形如的函数单调性的研究，也需结合的单调性及的单调性进行研究.复合函数的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求出与两个函数的单调性，再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，则复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数.为何有“同增异减”？我们可以抓住“x的变化→的变化→的变化”这样一条思路进行分析.第4讲§2.2.1对数与对数运算（一）¤学习目标：理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.¤知识要点：1.定般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm）.记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（commonlogarithm），并把常用对数简记为lgN在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数简记作lnN3.根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当时，.4.负数与零没有对数；，¤例题精讲：【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）ln100=4.606.解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【例2】计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）.解：（1）设，则，即，解得.所以，.（2）设，则，即，解得.所以，.（3）设，则，即，解得.所以，.【例3】求证：（1）；（2）.证明：（1）设，则，解得.所以.（2）设，，则，.因为，则.所以，.点评：对数运算性质是对数运算的灵魂，其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁，结合指数运算的性质而得到.我们需熟知各种运算性质的推导.【例4】试推导出换底公式：（，且；，且；）.证明：设，，，则，，.从而，即.由于，则.所以，.点评：换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具.其推导也密切联系指数运算性质，牢牢扣住指对互化关系.第5讲§2.2.1对数与对数运算（二）¤学习目标：通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；理解推导这些运算性质的依据和过程；能较熟练地运用运算性质解决问题.¤知识要点：1.对数的运算法则：，，，其中，.三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2.对数的换底公式.如果令b=N，则得到了对数的倒数公式.同样，也可以推导出一些对数恒等式，如，，等.¤例题精讲：【例1】化简与求值：（1）；（2）.解：（1）原式=====.（2）原式====.【例2】若，则=.（教材P83B组2题）解：由，得，.则.【例3】（1）方程的解x=________；（2）设是方程的两个根，则的值是.解：（1）由，得，即，整理为.解得x=－5或x=2.∵x＞0，∴x=2.（2）设，则原方程化为，其两根为.由，得到.点评：同底法是解简单对数方程的法宝，化同底的过程中需要结合对数的运算性质.第2小题巧妙利用了换元思想和一元二次方程根与系数的关系.【例4】（1）化简：；（2）设，求实数m的值.解：（1）原式=.（2）原式左边=,∴，解得.点评：换底时，一般情况下可以换为任意的底数，但习惯于化为常用对数.换底之后，注意结合对数的运算性质完成后阶段的运算.第6讲§2.2.2对数函数及其性质（一）¤学习目标：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.¤知识要点：1.定义：一般地，当a＞0且a≠1时，函数叫做对数函数(logarithmicfunction).自变量是x；函数的定义域是（0，+∞）.2.由与的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为，值域为R；当时，，即图象过定点；当时，在上递减，当时，在上递增.¤例题精讲：【例1】比较大小：（1），，；（2），，.解：（1）∵在上是减函数，且，∴.又，所以.（2）由，得.又，，所以.【例2】求下列函数的定义域：（1）；（2）.解：（1）由，得，解得.所以原函数的定义域为.（2）由，即，所以，解得.所以，原函数的定义域为.【例3】已知函数的区间上总有，求实数a的取值范围.解：∵，∴当时，，即.∵，∴，解得.当时，，即.∵，∴，解得.综上可得，实数a的取值范围是.点评：先对底数a分两种情况讨论，再利用函数的单调性及已知条件，列出关于参数a的不等式组，解不等式（组）而得到参数的范围.解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论，不等式法求参数范围.【例4】求不等式中x的取值范围.解：当时，原不等式化为，解得.当时，原不等式化为，解得.所以，当时，x的取值范围为；当时，x的取值范围为.点评：结合单调性，将对数不等式转化为熟悉的不等式组，注意对数式有意义时真数大于0的要求.当底数a不确定时，需要对底数a分两种情况进行讨论.第7讲§2.2.2对数函数及其性质（二）¤学习目标：掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题.知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数.（a>0,a≠1）¤知识要点：1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量,而把这个函数的自变量新的函数的因变量.我们称这两个函数为反函数（inversefunction）.互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.2.函数与对数函数互为反函数.3.复合函数的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数.研究复合函数单调性的具体步骤是：（i）求定义域；（ii）拆分函数；（iii）分别求的单调性；（iv）按“同增异减”得出复合函数的单调性.¤例题精讲：【例1】讨论函数的单调性.解：先求定义域，由,解得.设，易知为减函数.又∵函数是减函数，故函数在上单调递增.【例2】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（）.A.B.C.D.解：在同一坐标系中分别画出的图象，分别作出当自变量x取3，0.4，0.3时的函数值.观察图象容易得到：.故选C.【例3】指数函数的图象与对数函数的图象有何关系？解：在指数函数的图象上任取一点，则.由指对互化关系，有.所以，点在对数函数的图象上.因为点与点关于直线对称，所以指数函数的图象与对数函数的图象关于直线对称.点评：两个函数的对称性，由任意点的对称而推证出来.这种对称性实质是反函数的图象特征，即函数与互为反函数，而互为反函数的两个函数图象关于直线对称.【例4】2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：.当燃料重量为吨（e为自然对数的底数，）时，该火箭的最大速度为4（km/s）.（1）求火箭的最大速度与燃料重量x吨之间的函数关系式；（2）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？解：（1）依题意把代入函数关系式，解得.所以所求的函数关系式为整理得（2）设应装载x吨燃料方能满足题意，此时，代入函数关系式所以，应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.点评：直接给定参数待定的函数模型时，由待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数.一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其它问题.代入法、方程思想、对数运算，是解答此类问题的方法精髓.第8讲§2.3幂函数¤学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x1/2的图像，了解它们的变化情况.知识要点：1.幂函数的基本形式是，其中是自变量，是常数.要求掌握，，，，这五个常用幂函数的图象.2.观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当时，图象过定点；在上是增函数.（2）当时，图象过定点；在上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3.幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数由小到大.轴和直线之间，图象由上至下，指数由小到大.¤例题精讲：【例1】已知幂函数的图象过点，试讨论其单调性.解：设，代入点，得，解得，所以，在R上单调递增.【例2】已知幂函数与的图象都与、轴都没有公共点，且的图象关于y轴对称，求的值．解：∵幂函数图象与、轴都没有公共点，∴，解得.又∵的图象关于y轴对称，∴为偶数，即得.【例3】幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则（）.A．B．C．D．解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线的右侧，图象由下至上，依次是，，，，，所以有.选B.点评：观察第一象限内直线的右侧，结合所记忆的分布规律.注意比较两个隐含的图象与.【例4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面