角平分线（第1课时）【知识精讲精析+能力拓展提升 】 八年级数学下册 课件（北师大版）

主讲：XXX1.4角平分线（第1课时)北师大版八年级◑下册教学目标素养目标技能目标知识目标掌握角平分线性质定理、判定定理并进行规范证明，能利用它们解决部分线段相等、角相等的证明和计算。在证明过程中，发展学生合情推理和演绎推理能力，体验解决问题方法的多样性。积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲，在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣。教学重难点教学重点教学难点角平分线性质及判定定理的证明及应用，独立进行合情推理，规范书写表达。角平分线性质及判定定理的区分与应用。创设情境引入新课思考1：如图，一目标在A区，到铁路、公路距离相等，离公路、铁路交叉处500米，在图中标出它的位置（比例尺1:20000）创设情境引入新课思考2：什么叫角平分线？如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线.思考3：你还记得角平分线上的点有什么性质吗？我们该如何证明呢？

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。典例探究深化新知

求证：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.分析：要想两条线段相等，只要证明这两条线段所在的两个三角形全等即可。证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∵

∠AOC=∠BOC（已知），OP=OP（公共边）∴△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）.数学符号语言如下：归纳总结认知升华定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。∵OP是∠AOB的平分线，∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.PD⊥OA,PE⊥OB，

作用：证明线段相等.推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.体验新知学以致用判一判：（1）∵如图，AD平分∠BAC（已知），∴

=

，(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)BDCD×(2)∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）.

∴

=

,

(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)BDCD×体验新知学以致用填一填：

1.已知：OE平分∠AOB，P为OE上一点，PC⊥OA于C，且PC=5，则P点到OB的距离为_____.5AOEBPC体验新知学以致用填一填：2.如图,△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB,∠CBE=∠ABE,且AC=6cm,那么线段BE是∠ABC的

AE+DE=

.CABED角平分线6cm典例探究深化新知

如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．思考4：你能写出这个定理的逆命题吗?这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．

角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．这是一个真命题吗?你是怎么证明的呢？

典例探究深化新知

求证：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．已知：如图，点P为∠AOB内一点，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE.求证：OP平分∠AOB.分析：要想证明OP平分∠AOB，只要把问题转化为证明两个角相等即可。证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠ODP=∠OEP=90°.∵PD=PE，OP=OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）.∴∠DOP=∠EOP（全等三角形对应角相等）.∴OP平分∠AOB.数学符号语言如下：归纳总结认知升华定理在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角

的角平分线上．∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上或∠DOP=∠EOP（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．）

作用：判断点是否在角平分线上或两个角相等。推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.体验新知学以致用判一判：（1）∵

DC=DB，∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的

点在这个角的平分线上）.

×（2）∵DC⊥AC，DB⊥AB，

∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的

点在这个角的平分线上）.×典例探究深化新知例1

在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.ABCDEF解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，∴AD平分∠ABC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.∴在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，∴DE=AD=×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.1212归纳总结认知升华定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。作用：证明两个角相等或点在角平分线上。思想方法逆向思维，转化思维，证明角相等、线段相等的新方法。文字语言-符号语言-图形语言的互相转化.推理证明的重要性.定理定理:在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．作用：证明两条线段相等。巩固练习拓展提高1.如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：EB=FC.证明：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)又∵BD=CD（已知），∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.∴EB=FC.（全等三角形的对应边相等）分析：要想证明两条线段相等，可以利用角平分线性质定理、全等三角形性质来解答。巩固练习拓展提高解：把公路、铁路看成两条相交的直线，作出其交叉角的平分线OB（O为顶角），在OB上作OC，使OC=2.5