倒易点阵模拟题集

例题2．1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵．[证明]选体心立方点阵的初基矢量如图 1．8所示，a???2a???2xyz2a???a3xyz2其中a是立方晶胞边长， x?,y?,z?是平行于立方体边的正交的单位矢量。初基晶胞体积Vca1a2a31a32根据式(2．1)计算倒易点阵矢量b1222a2a3,b2a3a1,b3a1a2VcVcVc???xyzVcb1aaaa2??2a2a3222xy2aaa222???xyzVcb2aaaa2??2a3a1222yz2aaa222???xyzVcb3a1a2aaaa2??22222zxaaa2221/26于是有：2??2?2?b1xy,b2ayz?,b3az?xa显然b1,b2,b3正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是 4 a．同理，对面心立方点阵写出初基矢量a??2a??2yz2a??a3xz2如图1.10所示。初基晶胞体积Vca1a2a31a3。4根据式(2．1)计算倒易点阵矢量2???2???2???b1xyz,b2axyz,b3axyza显然，b1,b2,b3正是体心立方点阵的初基矢量， 故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是 4 a．2．2(a)证明倒易点阵初基晶胞的体积是32/Vc，这里Vc是晶体点阵初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．[证明](a) 倒易点阵初基晶胞体积为 b1 b2 b3，现计算b1 b2 b3．由式(2．1)知，b2a2a,b2a3a,b2aa21Vc32Vc131Vc此处Vc a1 a2 a3而2/2622b2b32a1a1a22a1a2a1a3a1a1a2a3a3VcVc这里引用了公式：ABCDABDCABCD。由于a3 a1 a1 0，故有22b2b3a3a1a2a1Vc而Vca3a1a2故有22b2b3a1Vc2233b1b2b32a1a22a1b1Vc2a3VcVc或写成b1 b2 b3

32a1 a2 a33倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的 2 倍。现要证明晶体点阵初基矢量a1,a2,a3满足关系a12b2b3,a22b3b1,a3b1b2b1b2b32b1b2b3b1b2b3有前面知：22b2b3a1Vcb2b3221令c122a1b1b2b3Vcb1b2b3又知b1b2b3123，代入上式得：Vc3/263Vcc12a1a13Vc2同理c22b3b1a2b1b2b3b1b2a3c32b1b2b3可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身．2．3面间距考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl)，(a)证明倒易点阵矢量Ghklhb1kb2lb3垂直于这组平面(hkl)；(b)证明两个相邻的点阵平面间的距离d(hkl)为：2dhklhkl证明对初基矢量a1,a2,a3互相正交的晶体点阵，有dhkl

12 2 2h k la1 a2 a3证明对简单立方点阵有dhklak2l2h2证明(a)参看图2．3，在平面族(hkl)中，距原点最近的点阵平面ABC在三个晶轴上的截距分别是a1h,a2k,a3l．现要证明G(hkl)垂直于ABC，只需证明G(hkl)垂直于平面ABC上的两个矢量CA和CB即可．4/26CAa1a3，CBa2a3hlkl用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式 (2．2)，立即可得GhklCAhb1kb2lb3a1a3hb1a1lb3a30hlhl同理，GhklCB0故G(hkl)垂直于点阵平面(hkl)．点阵平面(hkl)的面间距d(hkl)为a1Ghkla1hb1kb2lb32dhklOAn?GhklhGhklGhklh如果晶体点阵的初基矢量a1,a2,a3彼此正交，则倒易点阵的初基矢量也必然彼此正交．设 b bx?,b by?,b bz?1 1 2 2 3 3由倒易点阵基矢的定义b12a2a32a3a1,b32a2Vc,b2a1VcVc及Vca1a2a得3b12a1,b22a2,b32a3h2k2l2222Ghklhb12222hklkb2lb32a12a22a322a2a3a15/26于是面间距为d21hkl222Ghklhkla1a2a3(d)对立方晶系中的简单立方点阵，a1a2a3a，用(c)的结果可得dhklak2l2h22．4二维倒易点阵一个二维晶体点阵由边长AB＝4，AC=3，夹角BAC3的平行四边形ABCD重复而成，试求倒易点阵的初基矢量．[解] 解法之一参看图2．4，晶体点阵初基矢量为a1 4x?3?33?22用正交关系式(2．2)求出倒易点阵初基矢量 b1,b2。设bbx?by?bbx?by?11x1y,22x2y由b1a12,b1a20,b2a10,b2a22得到下面四个方程式???(1)4xb1xxb1yy26/263?33???0(2)x2yb1xxb1yy24x?b2xx?b2yy?0(3)3?33???2(4)x2y2x2y2由式(1)得：4b1x2,b1x2由式(2)得：333b1y0，即33232b1x222b1y0解得：b1y23由式(3)得：4b2x0,b2x0代入式(4)得：332,b2y42b2y33于是得出倒易点阵基矢b1??4?2x2233y3解法之二选取a3为z?方向的单位矢量，即令a3 z?于是初基晶胞体积Vc为4?3?33??63Vca1a2a3xxyz22倒易点阵基矢为b12a323?33????26xyzxyVc322223b22a14?a33yVc37/26b32a2?12zVc对二维点阵，仅取 x?,y?两个方向，于是得b1??4?x3y,b23y2232．5 简单六角点阵的倒易点阵 简单六角点阵的初基矢量可以取为3?a?3?a??a1axa2axa322y2ycz2(a)证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为2π／c和43a，并且相对于正点阵转动了30角；(b)当比率c／a取什么值时，正点阵和倒易点阵的这个比率有相同数值?如果正点阵的c／a比率取理想值，倒易点阵的这个比率又是多少?(c)绘出简单六角点阵的第一布里渊区，并计算其体积．[解](a)选取简单六角点阵的初基矢量如图2．5所示．a13?a?3?a??axy,a2axy,a3cz2222初基晶胞体积为8/26Vca3a1a23a2c2倒易点阵初基矢量为???xyzb1223aaa2?2?232223axayVcVc00c2a3a12x?y?z?2x?2y?b200cVcVc3aa3aa022???xyzb32a223aa2?1Vc220zVcc3aa022或写为4?3?4?3?2?b1xx3a223a23cz22同正点阵初基矢量3??3???yay2222比较看出，b1,b2,b3所确定的点阵仍是简单六角点阵，点阵常数为2c和4 3a，并相对于正点阵绕 c转动了30角(见图2．6)。9/26(b)设倒易点阵的点阵常数比为ca，出(a)可知24a3ca3ac2c若caca，则有c2a23,ca30.93122故当正点阵的ca值为3时，倒易点阵的ca和正点阵的ca有相同值。2若正点阵c／a＝8，则倒易点阵的ca为3ca3ac0.532故当正点阵的c／a为理想值时，倒易点阵的这个比值为0.53．(c)简单六角点阵的第一布里渊区即倒易简单六角点阵的 W—S晶胞．显然为一六角正棱柱(如图2．7)，其体积为23316Vc3a2c即倒易简单六角点阵初基晶胞的体积为163b1 b2 b3 3a2c10/262．6 底心正交点阵的倒易点阵 证明底心正交点阵的倒易点阵仍为底心正交点阵．[证明]底心正交点阵的惯用晶胞如图 2．8所示．选取初基矢量为?,1?1?,?a1axa22ax2bya3cz初基晶胞体积为abcVc2倒易点阵基矢为b2aa1x?1y?b2aa4y?b2aa22z?bcVcaVcbVc由图2．9可以看出，这组基矢所确定的仍是一底心正交点阵，点阵常数为4a,4b,2c。2．7三角点阵的倒易点阵 三角点阵初基矢量具有相等长度 a，彼此夹角为θ，试证明三角点阵的倒易点阵仍为三角点阵， 且倒易点阵初基矢量的长度为a。a212a12coscos其中是倒易点阵初基矢量间的夹角，满足11/26*-cosθ＝cosθ／(1+cosθ)[证明]三角点阵三个初基矢量的大小相等，且彼此夹角亦相等．现令初基矢量为a1?axa2acos?asin?(1)xya3acos?acos?acos?xyz参见图2.10，cos,cos,cos是a3在x、y、z三个方向的方向余弦。由a3a1cosa2得coscos(2)由a3a2cosa2得cos1cos(3)cossin于是有cos21212cos[1cos2cos2]12cos(4)1sin212/26由倒易点阵基矢的定义可知 b1,b2,b3分别垂直于正点阵初基晶胞的a2a3,a3a1,a1a2平面，且有相同长度，b1b2b3baa2a2sin(5)Vc将3Vcaaaaaasiancos(6)123312代入上式得a2a2sin21(7)a3sincosacosb1,b2,b3彼此间应有相间夹角．设b1,b2间的夹角为，cosb1b2a2122cosa2a3a3a1a2Vc利用公式ABCBCACABABCCABABC上式化为cosa2a3a3a1a2a3a3a1a22a1a3cos42421cosasinasin(8)同理可以证明b1,b2,b3任意二矢量间的夹角均为此值。为了计算a，利用式(4)得到21cos212212cos1cos2cos12cos12sin212coscos1cos代入式(7)得212coscos12(9)aa13/262.8点阵平面上的阵点密度(a)证明点阵平面上的阵点密度（单位面积上的阵点数） dVc，这里Vc是初基晶胞的体积，d是该点阵平面所属的平面族中相邻两点阵平面之间的距离；证明面心立方点阵阵点密度最大的平面是{111}面，体心立方点阵阵点密度最大的平面是{110}面．[证明]考虑晶体点阵中相邻二平行点阵平面所构成的平行六面体，如图2．11所示．设该平行六面体中包含 n个阵点，它的体积为V nVc或写为V Ad其中A是所考虑的平行六面体底面的面积， d是它的高．由以上二式得Ad nVc于是点阵平面上的密度为dAVc由(a)可知，面间距d较大的点阵平面也有较大的阵点密度．由倒易点阵矢量与面间距d的关系Ghkl

2dhkl可知，倒易点阵矢量 G(hkl)越短，与之垂直的点阵平面 (hkl)两点密度也就越大．面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵，其初基矢量2x?y?z?b1a2??z?b2xya2???b3xyza都是最短的倒易点阵矢量，b1b2b3，并都在立方晶胞的<111>方向，故{111}14/26平面有最大的阵点密度．体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，其初基矢量b12??axyb22??ayzb32??axz也都是最短的倒易点阵矢量，并都沿立方晶胞的＜110＞方向，故{110}平面是体心立方点阵阵点密度最大的平面．2．9 单斜点阵的面间距 已知平面族(hkl)的面间距与倒易点阵矢量 G(hkl)间的关系为dhkl2Ghkl其中Ghklhb1kb2lb3，试证明单斜点阵的面间距d(hkl)由下式决定11h2l22hlcosk2d2hklsin2a12a32a1a3a22其中a1,a2,a3是单斜点阵惯用晶胞的三个边长，为a1,a3间的夹角，90（参看图2.12）证明：单斜点阵惯用晶脑的几何特征是90, 90,a1 a2 a3初基晶胞的体积为Vc a2 a3 a1 a1a2a3sin15/26(hkl)平面族的面间距为dhkl

2Ghkl要计算d(hkl)，除了计算各倒易点阵基矢的长度外，还要求出它们之间的标量积，由倒易点阵基矢的定义2a2a32b1Vca1sin2a3a12b2Vca22a1a22b3Vca3sin此外，有b3b142a1a2a2a342a1a2a2a342cosVc2Vc2a1a3sin2b1b2b2b30代入d(hkl)的表达式中得4242h2l21k2d2hklsin22hlcosa12a32a1a3a2211h2l22hlcosk2d2hklsin2a2a2aaa2131322．10 外斯晶带定律 属于同一晶带的晶面彼此的交线相互平行，这些平行的晶棱的共同方向称为晶带轴的方向，试证明，晶带轴[uvw]与该晶带中的平面(hkl)满足关系uh vk wl 0证明晶面(h1k1l1)，(h2k2l2)，(h3k3l3)属于同一晶带的条件是h1 k1 l1h2 k2 l2 0h3 k3 l316/26证明以晶面指数(hkl)为指数的倒易点阵矢量G(hkl)是与晶面垂直的最短倒易点阵矢量，于是Ghklhb2kb3lb1必定在晶面(hkl)法线方向．而晶带轴[uvw]的方向矢量为Rua1va2wa3.既然晶带轴是以晶带中互相平行的交线为方向， 带轴和属于该晶带的晶面总是相互平行的，于是行R G hkl0用晶体点阵和倒易点阵基矢间的正交关系0,ijaibj2ijj2,i直接可得uh vk wl 0(b)既然h1k1l1,h2k2l2,h3k3l3属于同一晶带，由(a)有uh1vk1wl10uh2vk2wl20uh3vk3wl30由于u,v,w不同时为零，上述方程组的系数行列式必定为零，即h1 k1 l1h2 k2 l2 0h3 k3 l32．11一个单胞的尺寸为a14,a26,a38,a90,120，试求：(a)倒易点阵单胞基矢；(b)倒易点阵单胞体积；(c)(210)平面的面间距；(d)此类平面反射的布喇格角 (己知λ＝1．54?)．[解](a)画出此单胞如图 2．13所示． 写出晶体点阵单胞基矢如下：17/26a1????4x,