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文档简介

一、一元函数唯一驻点处的极值就是最值09年、10年、05年知识点：一元函数求极值10、要做一个容积为V的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时，用料最省？解：设容器的高与底面半径分别为,其表面积为S，则，又因为把带入，得令，得唯一驻点，根据实际意义可知即为表面积的极小值点，此时故当容器的高与底面半径之比为2时用料最省。09、靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为64平方米的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小。解：设与已知墙面平行的墙的长度为，则另二面墙的长为故三面墙的总长为令得唯一驻点根据实际意义可知，当时取得最小值此时三面墙的长度分别为二、二元函数唯一驻点处的极值就是最值03年、07年、08年知识点：二元函数求极值08、一块铁皮宽24厘米，把它的两边折上去，做成一个正截面为等腰梯形的槽，要使等腰梯形的面积A最大，求腰长和底边的倾角解：根据题意知梯形的上底和下底分别为等腰梯形的面积令显然不合题意，在定义域内得唯一驻点所以，当时，面积A最大07、某工厂欲建造一个无盖的长方体污水处理池，设计该池容积为V，底面造价每平方米a元，侧面造价每平方米b元，问长、宽、高各为多少时，才能使污水处理池的造价最低？解：设长方体的长、宽分别为x,y，则高为，又造价为z令得唯一驻点根据题意可知造价一定有最小值，故就是造价最小的取值，此时高为所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为此时，造价最低03、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元和9元。生产甲产品件与乙产品件的总费用是问两种产品的产量各多少件时，利润最大？解：根据题意，总利润为即所以（120,80）为驻点所以因此，又所以（120，80）为极大值点，根据实际意义，此极大值为最大值，即x=120,y=80时，利润L最大三、条件极值与拉格朗日乘数法06年、01年06、某公司的甲乙两厂生产同一种产品月产量分别为x,y（千件），甲厂的月生产成本是，乙厂的月生产成本是，若要求该产品每月总产量为8（千件），并使总成本最小，求甲乙两工厂的最优产量和相应的最小成本。解：用拉格朗日乘数法总成本约束条件作辅助函数令解得由于驻点（5,3）唯一，根据实际情况有最小值，所以当x=5千件，y=3千件时，总成本最小，最小成本千件11、求点（0，1）到抛物线上的点的距离的平方的最小值。解：令（0,1）到抛物线上的距离为d因为，所以的最小值是例：某公司通过电视和报纸两种形式做广告，已知销售收入R和电视广告费x和报纸广告费y有如下关系：（1）在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略（2）如果总广告费1.5，求相应的广告策略解（1）利润最大的广告策略，利润函数为解得因为驻点唯一，又因该问题最在最大利润，所以最大利润只能在驻点处取得，所以最大利润为：（2）此问题为条件极值，即求利润函数L在条件下的最大值，构造拉格朗日函数

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