第二章稳态热传导(上海交大)

第二章稳态热传导目前一页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-1导热的基本定律（基本概念）温度场：某一时刻导热物体内各点温度分布的总称。稳态温度场非稳态温度场

温度场的表示方式二维：等温线三维：等温面等温线（面）等温线（面）的特点：不可能相交完全封闭或仅在边界中断沿等温线（面）无热量传递疏密代表温度梯度的大小目前二页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-1导热的基本定律（基本概念）温度梯度：沿等温线（面）法线方向温度的增量与法向距离比值的极限。温度梯度是矢量，方向垂直于等温线，且指向温度增加的方向。

目前三页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-1导热的基本定律傅立叶定律：单位时间通过一定截面的导热量，正比于垂直于截面的温度梯度和截面面积。

热流量热流密度[W][W/m2]热流密度是矢量，方向与温度梯度相反，即指向温度减小的方向。直角坐标系各向同性目前四页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-1导热的基本定律

热流线：温度场中热流密度矢量的切线构成的曲线，与等温线垂直。相邻热流线间通过的热流量处处相等，构成热流通道。傅立叶定律几点说明：温度梯度是引发物体内部及物体间热量传递的根本原因。热量传递的方向垂直于等温线，指向温度降低的方向。热量传递的大小（热流量、热流密度）取决于温度分布（温度梯度）。傅立叶导热基本定律普遍适用。传热学研究中通过导热微分方程得到温度分布后，即可由傅立叶定律求解热流量或热流密度。目前五页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-1导热的基本定律

导热系数λ：单位温度梯度下物体内或物体间所产生的热流密度的模。导热系数反映物体导热能力的大小。是物性参数，取决于物质的种类及热力状态。[W/(m·K)]20℃时，纯铜λ＝399[W/(m·K)]碳钢λ＝35～40[W/(m·K)]水λ＝0.599[W/(m·K)]空气λ＝0.0259[W/(m·K)]导热系数由实验确定。金属非金属液体气体导热系数随温度的线性近似目前六页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-2导热问题的数学描述

导热微分方程傅立叶定律导入导出微元体的净热流量＋微元体内热源生成热＝微元体内能的增量导热微分方程的推导：傅立叶定律+能量守恒定律导出热流量导入热流量内热源生成热内能增量温度场热流量热流密度目前七页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer

直角坐标系下三维非稳态导热微分方程：内能的增量（非稳态项）导入导出净热流量（扩散项）内热源（源项）导热微分方程的简化形式：导热系数为常数导热系数为常数、且无内热源导热系数为常数、稳态（定常）导热系数为常数、稳态（定常）、无内热源熟练掌握2-2导热问题的数学描述目前八页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer

热扩散率（导温系数）：也是物性参数，表征物体导热能力与储热能力的比值，即物体被加热或冷却时，物体内部各部分间温度趋于一致的能力。热扩散率a越大，说明物体一旦获得热量后，该热量即在物体中很快扩散。稳态导热的温度分布取决于导热系数λ；非稳态导热的温度分布取决于导热系数λ

和热扩散率a。[m2/s)]2-2导热问题的数学描述目前九页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer

圆柱坐标系下三维非稳态导热微分方程：

2-2导热问题的数学描述目前十页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer

球坐标系下三维非稳态导热微分方程：

2-2导热问题的数学描述目前十一页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer

定解条件：使得导热微分方程获得某一特定问题的解的附加条件。稳态导热：给定边界条件即可。非稳态导热：给定初始条件和边界条件。定解条件初始条件边界条件第一类第二类第三类导热微分方程是描述温度分布的通用表达式，没有涉及具体、特定的导热过程。导热问题的数学描述＝导热微分方程+定解条件2-2导热问题的数学描述目前十二页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer

第一类边界条件（Dirichlet条件）：给定边界上的温度值。稳态导热：非稳态导热：第二类边界条件（Neumann条件）：给定边界上的热流密度值。稳态导热：非稳态导热：特例：绝热边界第三类边界条件（Robin条件）：给定边界上物体与流体间的表面换热系数h和流体温度tf。物体被加热或冷却均适用2-2导热问题的数学描述n为壁面外法线方向目前十三页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer

导热微分方程的适用范围：傅立叶导热过程。不适用的情况：非傅立叶导热过程

极短时间(如10-8～10-10s)产生极大的热流密度的热量传递现象，如激光加工过程。

极低温度(接近于0K)时的导热问题。微纳米尺度的导热问题。求解导热问题的思路：分析物理问题，确定相关的简化假设条件；确定适用物理问题的导热微分方程和定解条件；求解微分方程得到温度场的分布；代入傅立叶定律求解热流量和热流密度。2-2导热问题的数学描述目前十四页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-3典型一维稳态导热分析解

通过平壁的导热一维，稳态，常物性，无内热源直角坐标系温度分布热流密度

应用热阻的概念：导热系数λ如何取？导热系数与温度成线性关系常数线性分布目前十五页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer

通过多层平壁的导热

热阻分析法适用范围：一维、稳态、无内热源t1t2t3t4t1t2t3t4热阻分析法第一层：第二层：第i层：热流密度温度分布n为层数2-3典型一维稳态导热分析解目前十六页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer

Assumption:Surfacesnormaltoxareisothermal,contact

resistancebetweenlayersisnegligible,radiationheattransferisnegligible.Find:EquivalentthermalcircuitQuiz:Figureoutequivalentthermalcircuitforahollowbrick.Upsidesurface:adiabaticDownsidesurface:adiabaticxairLL2LA/4A/4A/2热阻串并联分析目前十七页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer

通过圆筒壁的导热一维，稳态，常物性，无内热源圆柱坐标系温度分布热流密度对数曲线热流量与半径成反比常数，与半径无关直接利用傅立叶定律求热流量：2-3典型一维稳态导热分析解目前十八页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer

通过多层圆筒壁的导热

热阻分析法适用范围：一维、稳态、无内热源热阻分析法热流量温度分布n为层数逐层求解t2t3…tn2-3典型一维稳态导热分析解目前十九页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer

通过球壳的导热一维，稳态，常物性，无内热源球坐标系直接利用傅立叶定律求热流量：

2-3典型一维稳态导热分析解目前二十页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer

二、三类边界条件下的一维导热一维，稳态，常物性，无内热源直角坐标系

2-3典型一维稳态导热分析解左侧为第二类边界条件右侧为第三类边界条件目前二十一页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer

KNOWN:Planewall,initiallyatauniformtemperature,issuddenlyexposedtoconvectiveheating.FIND:Differentialequationandinitialandboundaryconditionswhichmaybeusedtofindthetemperaturedistribution,T(x,t).SCHEMATIC:ASSUMPTIONS:(1)One-dimensionaltransientconduction,(2)Constantproperties,(3)Nointernalheatgeneration.ANALYSIS:

000目前二十二页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer

Problem2.46(page91)ANALYSIS:Differentialequation:InitialCondition:BoundaryCondition:目前二十三页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer

通过变截面及变导热系数物体的导热一维、稳态、无内热源：热流量Φ为常数，适用热阻分析法直接利用傅立叶定律求热流量：导热系数与温度成线性关系：2-3典型一维稳态导热分析解目前二十四页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer一维稳态导热问题解析解小结：

求解导热问题的基本思路：物理问题、数学描述、求解导热微分方程、温度分布、导热量计算。求解导热问题的两种基本方法：基于导热微分方程的数学求解、热阻分析方法。注意热阻分析方法的前提是在热量传递的方向上热流量为常数。导热系数的确定：一般采用平均温度下的导热系数。多层壁导热问题中需要迭代。如何判断是否为一维问题？

温度分布为一维：无限大平壁（仅厚度方向存在温度的变化）无限长圆壁（仅半径方向存在温度的变化）判断物理问题是否为一维，不能仅从几何角度，应该结合边界条件。目前二十五页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-4通过肋片的稳态导热

第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热（传热过程）：强化传热的措施：增加内外侧流体的温差减小壁厚增加导热系数增加表面换热系数增加传热面积肋片（翅片）目前二十六页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-4通过肋片的稳态导热

目前二十七页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-4通过肋片的稳态导热

肋片的类型

肋片导热的特点肋片强化传热的机理在于增加了传热面积，且在肋片的伸展方向上存在表面的对流传热及辐射传热；使得肋片内部沿导热热流方向的热流量不断变化（与前述平板、圆筒壁、球壁等的区别）。目前二十八页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-4通过肋片的稳态导热等截面直肋

已知：长度l，高度H，厚度δ，截面积Ac，截面周长P

肋根温度t0，流体温度t∞，导热系数λ，表面传热系数h（综合计入对流和辐射传热的影响），肋片顶端绝热。

求解：肋片温度分布及通过肋片的热流量。三维、稳态、常物性、无内热源简化成一维：长度l>>高度H，假定肋片长度方向温度均匀分布；厚度方向的导热热阻δ/

λ<<表面传热热阻1/h，厚度方向温度均匀；目前二十九页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-4通过肋片的稳态导热等截面直肋

分析思路导热微分方程能量守恒+傅立叶定律一维的稳态导热问题只需要给定高度方向x＝0，x＝H的边界条件。可以将厚度方向的表面对流换热处理为负的内热源。教材

目前三十页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-4通过肋片的稳态导热等截面直肋

分析思路导热微分方程能量守恒+傅立叶定律能量守恒：傅立叶定律：牛顿冷却公式：目前三十一页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-4通过肋片的稳态导热等截面直肋

第一类边界条件绝热边界条件引入过余温度使控制方程变成齐次方程：温度分布热流量目前三十二页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-4通过肋片的稳态导热等截面直肋

两点说明：推导过程基于肋片末端绝热边界条件，适用于高而薄的肋片；如果必须考虑末端的散热，则可近似为H‘＝H+δ/2代入。不适用短而厚的肋片，此时为二维导热问题，可以采用数值求解。t0t∞0H(t0-t∞)/ch(mH)目前三十三页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-4通过肋片的稳态导热肋片效率

肋片的种类繁多，变截面肋的导热微分方程求解复杂。如何简便有效的评估肋片的散热量？肋效率表征肋片表面温度接近肋根温度的程度t0t∞0H肋效率＝阴影面积/虚线框面积肋片表面温度越接近肋根温度，则肋效率越高。目前三十四页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-4通过肋片的稳态导热肋片效率

等截面直肋mH

增加，ηt减小肋片高度H

增加，效率降低（肋片高度并非越高越好）；肋片导热系数增加，m减小，效率增加；肋片厚度增加，m

减小，效率增加。目前三十五页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-4通过肋片的稳态导热环肋及三角形截面直肋

肋片效率曲线：矩形及三角形直肋效率曲线矩形剖面环肋效率曲线目前三十六页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-4通过肋片的稳态导热

根据已知参数查图计算肋效率；假定肋表面温度＝肋根温度，计算理想散热量Ah(t0-t∞)；实际散热量＝肋效率×理想散热量。肋片散热量的计算步骤：目前三十七页\总数四十三页\编于七点传热学HeatTransfer2-4通过肋片的稳态导热

增加对流传热面积，但是同时增加了导热热阻。等截面直肋：δ/

λ≤0.25(1/h)，加肋片有益。肋片的选用：最小重量肋片：肋片是航天器辐射散热的唯一手段，但是需要综合考虑散热效果与航天器的重量——一定散热量下最小重量的肋片。散热最佳：抛物线截面肋片；综合最佳：三角形截面肋片毕渥数Bi目前三十八页\总数四十三页\