优化设计总结与工程实例

第4章

优化设计

总结与工程实例4.6优化设计中应注意的几个问题

通常在选择优化方法时，首先应明确数学模型的特点。例如优化问题的规模(即维数、目标函数及约束函数的数目)，目标函数及约束函数的性质(非线性程度、连续性及计算时的复杂程度)以及计算精度等。这些特点是选择优化方法的主要依据。选择优化方法时，还要考虑它本身及其计算程序的特点。例如，该方法是否已有现成的程序可用；编制程序所要花费的代价；程序的通用性或普遍性，即能否用它来解多种类型的问题；解题规模；使用该程序的简便性及计算机执行该程序需要花费的时间和费用，程序的机动性，优化方法的收敛速度、计算精度、稳定性及可靠性等。4.6.1优化方法的选择

在实际工程设计问题中，有时会遇到离散型设计变量的情况，这时可采用下述方法求解。1．凑整解法这种方法是将离散变量先假定为连续变量，在取得最优解后，再进行必要的处理，将求得的非离散值调整到离其最近的可行的离散值，并计算该值相邻各点的函数值，找出其中可行的最小点。2．网格法网格法是一种最简单的直接求优法，是一种穷举法。它既可用于连续设计变量的约束优化问题，又可用于具有离散型设计变量问题的求优。3．随机试验法从规定离散数的集合中随机抽样，计算那些可行点的目标函数值并保留函数值最小的点，也可以寻得离散最优解。除上述方法外，处理离散型设计变量的优化设计问题，还可采用离散复合形法和离散罚函数法等。4.6.2离散变量的处理

在实际工程设计问题中，常常同时有几项设计指标都希望达到最优值，即所谓的多目标函数优化问题。

多目标函数优化问题的数学模型为

4.6.3多目标函数优化问题的处理

（4-63）在上述目标函数的最优化问题中，各个目标函数

的优化往往是互相矛盾的，不能同时达到最优解；甚至有时还会产生完全对立的情况，即对一个目标函数是优点，对另一目标函数却是劣点。这就需要在各个目标的最优解之间进行协调，以便取得整体最优方案。由此，多目标函数的最优化问题要比单目标函数的最优化问题复杂得多，求解难度也较大。特别应当指出的是多目标函数的最优化方法虽有不少，但有些方法的效果并不理想，需要进一步研究和完善。下面介绍几种多目标函数的最优化方法。

1．主要目标法主要目标法的思想是抓住主要目标，同时兼顾次要目标。求解时将全部目标函数按其重要程度排列，选择最重要的作为主要目标，而其他目标只需满足一定要求即可。为此，可将这些目标转化成约束条件。也就是用约束条件的形式来保证其他目标不致太差。这样处理后，就成为单目标优化问题。对于式（4-63）的多目标优化问题，求解时可在个目标函数中选择一个作为主要目标，则问题变为

（4-64）式中、为第个目标函数的上、下限。2．统一目标法统一目标法又称综合目标法。它是将原多目标优化问题，通过一定方法转化为统一目标函数或综合目标函数作为该多目标优化问题的评价函数，然后用前述的单目标函数优化方法求解。3．分层序列法及宽容分层序列法

分层序列法及宽容分层序列法是将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题的求解方法。基本思想是将多目标优化问题式（4-63）中的目标函数分清主次，按其重要程度逐一排除，然后依次对各个目标函数求最优解，不过后一个目标函数应在前面各目标函数最优解的集合域内寻优。4．协调曲线法在多目标优化设计问题中，当各个分目标的最优解出现矛盾时，为了使某个较差的分目标也达到较理想的值，需要以增大其他几个目标函数值为代价，这就是说，各分目标函数值之间需要进行协调，以便最终取得一个从工程实用观点上看对各分目标都可以接受的最合理方案，这种方法称为协调曲线法。

对于计算结果给出的设计变量值，需要核查它们的可行性与合理性。4.6.4优化结果的分析

对于大多数实际工程设计问题，最优解往往位于一个或几个不等式约束条件的约束面上，这时，最优解所在的约束面的约束函数值应等于或接近于0。如果所有的约束函数值全不接近于0，则应仔细检查原因，考虑数学模型或最优化过程是否有误。为此，可改变初始点或重选优化方法进行计算。4.7工程优化设计应用

前面几节介绍了工程优化设计的有关理论及方法，本节以实例阐述如何运用这些理论及方法来解决工程优化设计问题。4.7.1

工程优化设计的一般工作步骤

工程优化设计包含两方面的工作：

一是根据具体设计要求，建立工程优化设计数学模型；

二是选择合适的优化方法及程序进行求解。进行工程问题优化设计时，其一般工作步骤如下：1.

建立工程优化设计数学模型

解决工程优化设计问题的关键，是建立正确的优化数学模型。为此，要正确地选择设计变量、目标函数和约束条件，并把它们组合在一起，成为一组能准确地反映工程优化设计问题实质的数学表达式，同时，要使建立的数学模型容易处理和求解。因而，建立优化数学模型的要求是：一要正确，二要易于求解。

2.

选择合适的优化方法和计算程序

为求解工程优化设计的数学模型，应优先选择可靠性好，收敛速度快，算法稳定性好及对参数敏感性小的优化方法和计算程序。为了便于对工程优化问题的求解，目前国内外均已开发出通用的优化程序库，使得优化方法和计算程序的选择不再是困难的问题。

3.

编写主程序和函数子程序，

上机调试和计算，求得最优解

一个完整的优化运行程序应由如下三个部分组成：

优化运行程序＝主程序＋优化模型函数子程序＋优化算法子程序因此，工程优化设计人员是在调用优化程序求解自己的实际问题时，应按要求编写主程序和优化问题数学模型的函数子程序，将它们与优化程序库联成一个完整的应用软件系统。

然后上机调试和计算，求得优化问题的最优结果。

4.

对优化结果进行分析，确定最优解

求得优化结果后，应对其进行分析、比较，看其是否符合实际，是否满足设计要求，以决定是否采用。若发现它不符合实际或不满足设计要求，应考虑修改数学模型或选择不同的算法求解。

为了给工程设计人员提供一个求解优化数学模型的有力工具，目前国内、外许多CAD软件中均开发有优化软件包或优化算法库，如：

我国“六五”期间研制的“常用优化方法程序库OPB-1”和

“七五”期间开发的“优化方法及计算方法软件库OPB-2”

等。

这样，工程技术人员在掌握工程问题优化设计的基础知识和熟悉工程优化软件有关功能的基础上，调用优化工具箱的函数，可简捷方便地处理工程优化设计问题。

Pro/Engineer

MATLAB4.7.2工程优化设计实例

已知单级直齿圆柱齿轮减速器的输入扭矩T1=2674N·m，传动比i=5，现要求确定该减速器的结构参数，在保证承载能力条件下，使减速器的重量最轻。小齿轮拟选用实心轮结构，大齿轮为四孔辐板式结构，其结构尺寸如图2-43所示，图中△1=280mm，△2=320mm。

实例1

单级直齿圆柱齿轮传动减速器的优化设计图2-43单级直齿圆柱齿轮减速器结构图(a)传动图；(b)小齿轮；(C)大齿轮解：1.建立数学模型：(1)齿轮几何计算公式，

，

于是该减速器的齿轮与轴的体积之和则为

从上述计算齿轮减速器体积（简化为齿轮和轴的体积）的基本公式中可知，体积V

取决于：齿轮宽度B、小齿轮齿数z1、模数m、轴的支承跨距、主动轴直径

、从动轴直径

和传动比

等7个参数。其中传动比

为常量，由已知条件给定。(2)

确定设计变量所以，该优化设计问题可取设计变量为

以齿轮减速器的重量最轻为优化目标，而此减速器的重量可以一对齿轮和两根轴的重量之和近似求出。由此，减速器的重量，因钢的密度

为常数，所以可取减速器的体积为目标函数。将设计变量代入减速器的体积公式，经整理后得目标函数为：(3)建立目标函数1）为避免发生根切，小齿轮的齿数不应小于最小齿数，即，于是得约束条件

2）传递动力的齿轮，要求齿轮模数一般应大于2mm，故得

本问题的约束条件，由强度条件、刚度条件、结构工艺条件和参数限制条件等组成。(4)确定约束条件

3）根据设计经验，主、从动轴的直径范围取：则轴直径约束为

4）为了保证齿轮承载能力，且避免载荷沿齿宽分布严重不均，要求，由此得

5）根据工艺装备条件，要求大齿轮直径不得超过1500mm，若i=5，则小齿轮直径不能超过300mm，即，写成约束条件为

6）按齿轮的齿面接触强度条件，有式中，

。将以上各参数代入上式，整理后可得接触应力约束条件7）按齿轮的齿根弯曲疲劳强度条件，有若取若大、小齿轮齿形系数分别按下面二式计算，即

；则得小齿轮和大齿轮的弯曲疲劳强度条件为8）根据轴的刚度计算公式：得主动轴的刚度约束条件为式中：。9）主、从爆动轴的弯泻曲强度条秀件对主动退轴：轴所上受弯矩徒；扭矩校正递系数；得主动轴弯尊曲强度约杠束为对实心轴：若取：。对从动轴：。10）轴的支照承跨距按结构关系和设计经格验取式中，隐为箱津体内壁邀到轴承茫中心线融的距离暂，现取究，则有舱，写邻成约束条件为可得从动轴弯曲强躁度约束：即本优化宴问题是一个具有16个不等式姥约束条件打的6维约束优事化问题。综上所许述，可蚁得该优化瓣问题的数学模混型为2.选择优化裂方法及优索化结果对本优化屑问题，现选尚用内点罚函渗数法求解。可构造惩罚函屿数为(5)写出优聚化数学赞模型参考同类齿纱轮减速娇器的设转计参数妇，现取原设计要方案为初始点，即则该点的目幕标函数值为：备。采用鲍威尔伯法求解惩罚函数的极小孙点，取惩罚很因子递袖减系数C=0班.5，其中未一维搜规索选用二次插凤值法，收敛精引度写；鲍威浩尔法及此罚函数陵法的收敛精控度都取槽；得最优解：该方案比原方案的游体积(按目标函改数简化计活算的部分)下降了59.4位%。上述最优解并不能压直接作糟为减速罢器的设点计方案饿，根据几斗何参数惠的标准向化，要帐进行圆整，最后得厌：可以验厚证，圆整后的长设计方案满足所有约束条视件，其最优方案较原设柿计方案障的减速器体法积下降了53.冤9％。实例2圆柱螺旋带压缩弹簧揭的优化设叔计现设计帐一内燃赔机用的汽门弹址簧，如图2-4贱7所示。具体设计裤要求是：在工作载俗荷P=7赠00N作用下，弹簧生辛产10m副m的变形量果，要求:弹簧的压且并高度≤50m文m，弹簧内廉径D1≥16m亦m，在满足旷强度条亚件的前侦提下，使设计出的弹簧具有最轻的口重量。图2-47圆柱螺柜旋压缩独弹簧的几何参窜数解：1.建立数折学模型1)确定设计携变量由机械零玩件弹簧设弄计可知，落圆柱螺旋自压缩弹簧途的基本参宏数(见图2-47)主要有：弹簧中粥径D，弹簧丝直寄径d，弹簧总圈宴数n，旋绕比c(c=D/d)，许用剪应突力[τ]等。由于在c，D和d中，只有馋两个是独立变且量，另外考苦虑到材轧料供应我的限制想，[τ]也不宜作肆为设计变链量。由此，该优化学问题的设计变量可取为2)建立目剖标函数该问题亡的设计目标是要求弹簧的袍重量最蚂轻，故应将弹簧重量W做为目标函值数，W的计算挖公式为由此，极小化目奸标函数为式中，鲜弹簧材料蹄的比重，步取。弹簧的驼变形量剩要求弹簧结前构要求壮的边界话约束规定设通计变量券的变化否范围：10m度m≤D≤50m宗m1mm类≤d≤20长mm1圈≤n≤20圈3)确定约束偿条件根据设席计要求蝴，该优化问炒题的约束条肆件主要有挨：弹簧的压找并高度要白求弹簧的蔬内径要碌求弹簧的旋乘绕比范围弹簧的强离度要求其中取值：弹簧材粉料的剪切介模量隙；弹簧丝革的许用冒剪切应迷力滴；弹簧支犬承圈数n2=1.7孔5；弹簧终邀端类型庸系数灾。4)该优化辛问题数汤学模型综上所组述，得该优化问申题的数学模