角的平分线的性质

角的平分线的性质课件第1页，共26页，2023年，2月20日，星期四角平分线的定义是什么?如何作出角平分线呢?1.如图,已知:AB=DC,AC=DB,BE=CE.求证:AE=DE证明三角形全等的方法:SAS,SSS,AAS,ASA.复习提问导入新课想一想ABCDE第2页，共26页，2023年，2月20日，星期四不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？AOBC活动1再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？（对折）情境问题第3页，共26页，2023年，2月20日，星期四1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?活动2情境问题ADBCE如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？第4页，共26页，2023年，2月20日，星期四2、证明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共边）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）ADBCE第5页，共26页，2023年，2月20日，星期四根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）OABCE探究新知活动3NOMCENM第6页，共26页，2023年，2月20日，星期四

２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．如何用尺规作角的平分线？AＢＯＭＮＣ作法：

１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求．

第7页，共26页，2023年，2月20日，星期四例题讲解形成技能C例1.尺规作图,做下列角的角平分线.ABOCCAOBBOA第8页，共26页，2023年，2月20日，星期四1〉平分平角∠AOB2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？

3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。活动4ABOCD实践应用(1)第9页，共26页，2023年，2月20日，星期四

将∠AOB对折,在折痕上任取一点P,过P点再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论？

情景2第10页，共26页，2023年，2月20日，星期四PAOBCED结论:PO为∠AOB的角平分线,PD⊥OA,PE⊥OB猜想:PD=PE?验证猜想得出结论第11页，共26页，2023年，2月20日，星期四证明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO（垂直的定义）在△PDO和△PEO中

∠PDO=∠PEO（已证）∠1=∠2（已证）

OP=OP（公共边）

∴

△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE探究角平分线的性质活动5(3)验证猜想第12页，共26页，2023年，2月20日，星期四角平分线上的点到角两边的距离相等。(4)得到角平分线的性质：活动5利用此性质怎样书写推理过程?∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12用数学语言表述：第13页，共26页，2023年，2月20日，星期四OABED思考：如图所示OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?CPPD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等直第14页，共26页，2023年，2月20日，星期四练习判断:ABCD()×第15页，共26页，2023年，2月20日，星期四ABDC()×第16页，共26页，2023年，2月20日，星期四ABDC()√第17页，共26页，2023年，2月20日，星期四1.如图,E是∠AOB的角平分线OC上的一点,EM⊥OB垂足为M,且EM=3cm,求点E到OA的距离.合作交流巩固提高2.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC垂足分别是E,F.求证:EB=FC.ABCDEFOBAME∟(1题图)∟∟(2题图)第18页，共26页，2023年，2月20日，星期四思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺1：20000）ＳＯ公路铁路第19页，共26页，2023年，2月20日，星期四活动6如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EBACDEBF实践应用(2)

分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF≌

Rt△EDB.现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性质)再用HL证明.试试自己写证明。你一定行！第20页，共26页，2023年，2月20日，星期四小结与作业一、过程小结：情境→观察→作图→应用→探究→再应用二、知识小结：本节课学习了那些知识？第21页，共26页，2023年，2月20日，星期四1：画一个已知角的角平分线；(注意作图痕迹和几何语言的表达)及画一条已知直线的垂线；2：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

3：角平分线的性质的应用第22页，共26页，2023年，2月20日，星期四回味无穷定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).用尺规作角的平分线.小结拓展OCB1A2PDE第23页，共26页，2023年，2月20日，星期四随堂练习BOAC·DPE1.如图，OC是∠AOB的平分线，∵∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB第24页，共26页，2023年，2月20日，星期四2.如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长