2022-2023学年湖北省武汉市5G联合体高二年级下册学期期中联考数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省武汉市5G联合体高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．抛物线的焦点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将已知抛物线方程整理成标准形式，从而可求出焦点坐标.【详解】由可得，焦点在轴的正半轴上，设坐标为，则，解得，所以焦点坐标为.故选:D.2．已知函数f（x）在处的导数为12，则（

）A．-4 B．4 C．-36 D．36【答案】B【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可.【详解】根据题意，函数在处的导数，则，故选：B3．从1，2，3，0这四个数中取三个组成没有重复数字的三位数，则三位数的个数为（

）A．24 B．48 C．18 D．36【答案】C【分析】利用分步计数原理和排列数即可求解.【详解】先排末位则有种，再从剩下的三个选两个进行排列则，根据分步计数原理可得种，故选：C.4．已知上可导函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论．【详解】由图象知的解集为，的解集为，或，所以或，解集即为．故选：C5．在数列中，已知，则的前10项的和为（

）A．1023 B．1024 C．2046 D．2047【答案】C【分析】利用，表示出的前10项的和，通过等比数列前n项和公式求解即可.【详解】，，，，，则的前10项的和为.故选：C.6．已知函数，下列说法中错误的是（

）A．函数在原点处的切线方程是B．是函数的极大值点C．函数在上有个极值点D．函数在上有个零点【答案】D【分析】通过导数的几何意义判断选项A，通过导数确定的单调性和极值，判断选项B，进一步通过的图象与图象的交点个数，判断选项D，构造函数，通过多次求导，判断的单调区间和极值判断选项C.【详解】∵，∴定义域为，∴，对于A，由导数的几何意义，函数在原点处的切线的斜率，∴函数在原点处的切线方程为，即，故选项A说法正确；对于B，令，解得或，当时，，在区间和单调递增；当时，，在区间单调递减，∴在时取得极大值，在时取得极小值，∴是函数的极大值点，故选项B说法正确；对于C，∵，∴，令，则，令，则当时，，∴在上单调递增，且，，∴，使，当时，，在区间单调递减，当时，，在区间单调递增，∴在上的最小值为，∵，∴，，∴，又∵，∴，使，，使，∴当时，，在区间和上单调递增，当时，，在区间上单调递减，∴函数的极大值点为，极小值点为，∴函数在上有个极值点，故选项C说法正确；对于D，由选项B的判断知，的极大值为，极小值为，又∵，∴与在同一平面直角坐标系内的图象如下图：如图可知，与在同一平面直角坐标系下有个交点，即方程有三个实数解，即函数有个零点，故选项D说法错误.综上所述，说法错误的选项为D.故选：D.7．已知，为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】由题可得，在中，由余弦定理得，结合基本不等式得，即可解决.【详解】由题知，，为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，假设，所以由椭圆，双曲线定义得，解得，所以在中，，由余弦定理得，即，化简得，因为，所以，即，当且仅当时，取等号，故选：A8．已知函数的导函数为，且，，则不正确的是（

）A． B．C．没有极小值 D．当有两个根时，【答案】C【分析】根据条件判断函数的单调性，即可判断AB；求函数，利用导数求函数的极值，判断C；将方程的实数根，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断的取值范围.【详解】因为，所以函数单调递增，，即，故A正确；，即，故B正确；设，即，，得，所以，，得，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以当函数取得极小值，故C错误；有2个根，即函数的图象与有2个交点，由以上可知当函数取得极小值，，并且时，，并且时，，时，，并且时，，所以当直线与的图象有2个交点时，，故D正确.故选：C.二、多选题9．记是数列的前项的和，且，则下列说法正确的有（

）A．数列是等差数列 B．数列是递减数列C．数列是递减数列 D．当时，取得最大值【答案】ACD【分析】由等差数列的定义可判断A；由等差数列的单调性可判断C；根据的表达式结合二次函数的性质可判断BD.【详解】∵，∴数列是等差数列，故A正确；，，∵当时，递增，∴数列不是递减数列，故B错误；由得，所以数列是递减数列，故C正确；∵，，∴当时，取得最大值，故D正确.故选：ACD.10．现有带有编号1、2、3、4、5的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（

）A．全部投入4个不同的盒子里，共有种放法B．全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法D．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法【答案】ACD【分析】对于A，利用分步乘法计数原理计算可判断A正确；对于B，先将5个球分为2组，再全排，计算可判断B不正确；对于C，利用分步乘法计数原理计算可判断C正确；对于D，先将5个球分为4组，再全排，计算可判断D正确；【详解】对于A，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，共有种放法，故A正确；对于B，带有编号1、2、3、4、5的五个球全部投入2个不同的盒子里，第一步选2个盒子有种选法，第二步将5个球分为两组，若两组球个数之比为1：4有种分法；若两组球个数之比为2：3有种分法，第三步将两组排给两个盒子有种排法，因此共有，故B不正确；对于C，带有编号1、2、3、4、5的五个球，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），第一步选4个球有种选法，第二步选一个盒子有种选法，共有种放法，故C正确；对于D，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，第一步将5球分成2：1：1：1的四组共有种分法，第二步分给四个盒子有种排法，故共有种放法，故D正确；故选：ACD.11．已知函数，下列说法正确的有（

）A．曲线在处的切线方程为B．的单调递减区间为C．的极大值为D．方程有两个不同的解【答案】AB【分析】利用导数，结合切线、单调区间、极值、方程的解等知识确定正确答案.【详解】的定义域为，.A选项，，所以曲线在处的切线方程为，A选项正确.B选项，令解得，所以在区间，单调递减，B选项正确.C选项，在区间，单调递增，所以有极小值，无极大值，C选项错误.D选项，的极小值为，当时，；当时，，方程有一个解，D选项错误.故选：AB12．阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形的顶点C在抛物线上，且在过弦的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的.现已知直线与抛物线交于A，B两点，且A为第一象限的点，E在A处的切线为l，线段的中点为D，直线轴所在的直线交E于点C，下列说法正确的是（

）A．若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6B．切线l的方程为C．若，则弦对应的抛物线弓形面积大于D．若分别取的中点，，过，且垂直y轴的直线分别交E于，，则【答案】ABD【分析】A选项直接通过题目中给出的条件进行判断；B选项联立直线抛物线求出A点坐标，求导确定斜率，写出切线方程进行判断；C选项令，进行判断；D选项根据条件依次求出各点坐标，分别计算三角形的面积进行判断.【详解】A选项：内接三角形的面积，正确；B选项：，解得，又A为第一象限的点，，，，故切线方程为，即，正确；C选项：由，得，令，，弓形面积为，所以不等式不成立，错误；D选项：由知，轴，，又的中点，，易求，，，，因此成立，正确.故选：ABD.【点睛】本题需要依次判断四个选项，A选项直接利用定义判断，B选项关键在于按照切线方程的通用求法进行求解，C选项通过特殊值进行排除即可，D选项关键在于求出各点坐标，再求三角形面积进行判断.三、填空题13．已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围为______.【答案】【分析】联立方程得到，讨论，两种情况，计算得到答案.【详解】直线方程与双曲线方程联立：得：,当时，即时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去；当时，<0，即或，无公共点.综上所述：或.故答案为：14．七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种.【答案】【分析】画图分析其中四板块必涂上不同颜色，再根据分类分步计数原理计算剩下的部分即可.【详解】由题意，一共4种颜色，板块需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色.又板块两两有公共边不能同色，故板块必定涂不同颜色.①当板块与板块同色时，则板块与板块或板块分别同色，共2种情况；②当板块与板块同色时，则板块只能与同色，板块只能与同色，共1种情况.又板块颜色可排列，故共种.故答案为：15．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______.【答案】【分析】利用导数分析函数的单调性和函数值的变化规律，根据零点定义可得函数的零点为方程和方程的解，结合函数的图象即可得出答案.【详解】当时，，所以，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，且，，，当时，，当时，，当时，与一次函数相比，函数呈爆炸性增长，从而，，当时，，所以，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，且，，当时，，当时，，当时，与对数函数相比，一次函数呈爆炸性增长，从而，，当，且时，，根据以上信息，可作出函数的大致图象如下：函数的零点个数与方程的解的个数一致，方程，可化为，所以或，由图象可得没有解，所以方程的解的个数与方程解的个数相等，而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点.故答案为：.16．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”，若“黄金椭圆”两个焦点分别为、，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则______.【答案】/【分析】根据三角形面积公式、三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义、离心率公式进行求解即可.【详解】如图，连接，，设到轴距离为，到轴距离为，则设△内切圆的半径为，则，∴不妨设，则，∴，∴，故答案为：.【点睛】关键点睛：运用三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义是解题的关键.四、解答题17．某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课(1)如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？(2)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？【答案】(1)种(2)种【分析】（1）根据数学必须比语文先上，属于定序问题，采用除法处理即倍缩法，即可求解.（2）根据九科中六科的顺序一定，属于定序问题，采用除法处理即倍缩法，即可求解.【详解】（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有种.（2）若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有种.18．已知数列的前项和为，从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，解答下列问题.(1)求数列的通项公式；(2)设，记的前项和为，若对任意正整数，都有恒成立，求实数的取值范围.条件①，且；条件②为等比数列，且满足.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）选①：由与的关系求；选②：求得后得到公比，写出通项公式即可.（2）由裂项求和法求得，并求得的取值范围，由不等式恒成立求的取值范围.【详解】（1）选①：且，则，两式相减，得，所以为公比的等比数列，又，，解得，所以；选②：因为为等比数列，且满足，所以，，所以，所以.（2）因为，所以，显然数列是关于的增函数，∵，∴，∴由恒成立得，，解得或故的取值范围为.19．已知是函数的极值点，则：(1)求实数的值．(2)讨论方程的解的个数【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）求导，由题意可得，即可得解，要注意检验；（2）利用导数求出函数的单调区间及极值，由此作出函数的大致图象，结合函数图象即可得解.【详解】（1）,因为是函数的极值点，所以，即，解得或，当时，，令，则或，令，则，所以函数在上递增，在上递增，所以的极小值点为，极大值点为，符合题意，当时，，所以在上递增，所以无极值点，综上所述；（2）由（1）可得，函数在上递增，在上递增，则，又当时，，当时，，作出函数的大致图象，如图所示，当或时，方程有个解，当或时，方程有个解，当时，方程有个解.20．某地地方政府为了促进农业生态发展，鼓励农民建设生态采摘园.2022年该地生态采摘园的沃柑产量为6500公斤，计划不超过24天内完成销售.采摘园种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道.根据往年数据统计，游客从开园第1天到闭园，游客采摘量（公斤）和开园的第天满足以下关系：.批发销售每天的销售量为200公斤，每公斤5元，采摘零售的价格是批发销售价格的4倍.(1)取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入？(2)采摘零售的总采摘量是多少？农户能否24天内完成销售计划？【答案】(1)(2)1327公斤，不能完成销售计划【分析】（1）分段讨论计算采摘零售当天的收入:，批发销售当天的收入，列不等式求解即可；（2）当时，采摘零售量为数列的和，当时，采摘零售量为数列的和，两者之和为采摘零售的总采摘量，再加上批发销售的销售总量后判断是否超过6500公斤.【详解】（1）由条件，当时，，解得当时，，解得，所以，采摘零售当天的收入不低于批发销售的收入.（2）不能.当时，为等差数列，记这些项的和为，.当时，记数列这些项的和为，，即采摘零售的总采摘量是1327公斤.批发销售的销售总量为公斤，24天一共销售公斤，故不能完成销售计划.21．以椭圆的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；（2）过点作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记为坐标原点）的面积为，将表示为m的函数，并求的最大值．【答案】（1）,；（2），，的最大值为1．【分析】（1）由椭圆C的离心率，结合的关系，得到，设出椭圆方程，代入点，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程；（2）设切线的方程为，联立椭圆方程，消去y得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到AB的长，由l与圆相切，得到的关系式，求出的面积，运用基本不等式，即可得到最大值．【详解】（1）椭圆的离心率为，可得，即又由，可得，设椭圆C的方程为，因为椭圆C过点，代入可得，解得，所以椭圆C的标准方程为，又由，即“伴随圆”是以原点为圆心，半径为1的圆，所以椭圆C的“伴随”方程为．（2）由题意知，，易知切线的斜率存在，设切线的方程为，由得，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，．又由l与圆x2+y2=1相切，所