2022-2023学年河北省邯郸市魏县高二年级下册学期期中数学试题1【含答案】

2022-2023学年河北省邯郸市魏县高二下学期期中数学试题一、单选题1．高二（1）班4名同学分别报名参加学校的排球队、足球队、羽毛球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是（

）A． B． C．6 D．24【答案】A【分析】先求每一个同学报名的方法数，再由分步计数原理求4个同学不同的报名总数.【详解】每个同学报各都有3种情况，共有4个同学，则有3×3×3×3=种报名方法．故选：A2．下列函数的求导中，错误的是（

）A．函数的导数B．函数的导数C．函数的导数D．函数的导数【答案】D【分析】由已知，根据选项给的函数解析式，分别求到即可做出判断.【详解】选项A，，故该选项正确；选项B，，故该选项正确；选项C，，故该选项正确；对于D，．故该选项错误；故选：D．3．已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意可得，令，则问题等价于，即，再由，即可得到，即可得到参数的取值范围；【详解】解：，，令，显然为增函数，则原命题等价于，又令，则，所以时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以，即恒成立，所以，所以，即得．故选：B4．已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用作商法，结合对数换底公式可得；根据可构造函数，利用导数可求得单调性，得到，由此可得大小关系.【详解】，，，；，，设，则，在上单调递减，，即，；综上所述：.故选：A.5．函数的图象如图所示，则不等式的解集（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由图得出的单调性，然后分、两种情况解出不等式即可.【详解】由图可得，在上单调递增，上单调递减，上单调递增所以当时，，当时，所以当时，由可得，所以当时，由可得，所以所以不等式的解集为故选：A6．的展开式中，常数项为，则被8除的余数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用二项式展开式的通项公式结合常数项，可求得a的值，将利用二项式定理展开，即变为，整理为即可求得答案.【详解】由题意，，的通项公式为，令，不合题意；的通项公式为，令，则，所以的常数项为，解得，所以，则被8除的余数为4，故选：B7．设函数f'（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导数，f（2）＝0，当x＜0时，f'（x）﹣2x+1＜0，则使得函数f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）【答案】C【分析】根据函数的导数得到函数的单调性，再结合奇偶性求解即可．【详解】因为x＜0时，f'（x）﹣2x+1＜0，所以f′（x）＜2x﹣1＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，又f（x）是偶函数，所以f（2）＝0，f（﹣2）＝0，所以使f（x）＞0成立的x的范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：C．8．函数的图象如图，则函数的单调递增区间是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】由题可得d＝0，不妨取a＝1，求导，由题图可得，可求，的值，从而可求单调区间.【详解】解:由题图可知d＝0.不妨取a＝1，∵，∴.由图可知，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，∴，.∴，.当x＞时，，∴的单调递增区间为.故选:D.二、多选题9．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，曲线在点处的切线方程为B．若对任意的，都有，则实数的取值范围是C．当时，既存在极大值又存在极小值D．当时，恰有3个零点，且【答案】BCD【分析】根据导数的几何意义即可判断A；对于B，由题意知在上单调递增，则在上恒成立，构造函数，利用导数求出的最小值，即可判断；对于C，结合B选项，根据极值的定义判断即可；对于D，结合C，再根据零点的存在性定理分析即可判断.【详解】解：对于A，当时，，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即，故A错误；对于B，因为对任意的，都有，所以在上单调递增，即在上恒成立，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，所以，解得，即实数的取值范围是，故B正确；对于C，当时，由B选项知，，令，，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，又在上单调递减，所以存在，使得，又，又在上单调递增，所以存在，使得，所以当时，，为增函数，当时，，为减函数，当时，，为增函数，故既存在极大值又存在极小值，故C正确；对于D，因为，由C选项知，，当时，；当时，，故函数有三个零点，不妨设为，，，（，，），又，故有，则，即当时，恰有3个零点，且，故D正确．故选：BCD．【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性问题及极值问题，考查了利用导数解决函数的零点问题，有一定的难度.10．为了贯彻常态化疫情防控工作，动员广大医护人员抓细抓实各项防疫工作，人民医院组织护理、感染、儿科、疾控、药剂、呼吸六位专家进行“防疫有我，健康同行”知识讲座，每天一人，连续6天.则下列结论正确的是（

）A．从六位专家中选两位的不同选法共有20种B．“呼吸类专家”不排在最后一天的不同排法共有600种C．“护理、感染类专家”排在相邻两天的不同排法共有240种D．“护理、感染、儿科类专家”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种【答案】BC【分析】由组合知识判断A；从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家，从而判断B；由捆绑法判断C；由插空法判断D.【详解】对于A：从六位专家中选两位的不同选法共有种，故A错误；对于B：从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家共有种，故B正确；对于C：将“护理”，“感染类专家”视为一个元素，不同的排法共有种，故B正确；对于D：先排疾控、药剂、呼吸，再用插空法排护理、感染、儿科类专家，共有种，故D错误；故选：BC11．过点的直线与函数的图象相切于点，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据过函数图象上一点处的切线与导数之间的关系求解.【详解】因为，所以，由题意得直线的斜率，即，解得或故选:AD.12．下列函数在定义域上为增函数的有（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】利用特殊值法、函数的单调性与导数之间的关系逐项判断各选项中函数在其定义域上的单调性，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，函数的定义域为，因为，所以，函数在定义域上不是增函数；对于B选项，函数的定义域为，且，当时，，即函数的单调递减区间为，故函数在定义域上不是增函数；对于C选项，函数的定义域为，且不恒为零，所以，函数在上为增函数；对于D选项，函数的定义域为，且不恒为零，所以，函数在上为增函数.故选：CD.三、填空题13．的二项展开式中的倒数第5项是______．【答案】【分析】由题意可得，本题即求展开式的第9项，再利用二项展开式的通项公式，得出结论．【详解】解：的二项展开式中的倒数第5项，即展开式的第9项，为，故答案为：．14．若函数(为常数)在区间上有两个极值点，则实数取值范围是_________．【答案】【分析】问题等价于f(x)的导数在上与x轴有两个不同的交点，利用二次方程根的分布即可求解.【详解】由题意得，.∵函数在内有两个极值点，∴在内与轴有两个不同的交点，如图所示：∴，解得m＞3.故答案为：.15．已知函数，则的单调减区间为______.【答案】【分析】先求定义域，在求导，令解不等式即可.【详解】函数的定义域为，，令，即，解得：，∴函数的单调递减区间为.故答案为：.16．已知是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是___________.【答案】【分析】构造函数，利用导数、函数的奇偶性进行求解即可.【详解】设，因为当时，，所以当时，单调递增，因为是定义在R上的偶函数，所以当时，，所以函数是奇函数，故当时，函数也是增函数，因为，所以，所以，，当时，由，当时，由，故答案为：四、解答题17．设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围.【答案】.【分析】先求导得到f′(x)＝(ax－1)(x－2)ex，然后分a>，a≤，根据f(x)在x＝2处取得极小值求解.【详解】f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex，若a>，则当x∈时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在x＝2处取得极小值.若a≤，则当x∈(0，2)时，x－2<0，ax－1≤x－1<0，所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是【点睛】本题主要考查导数与函数的极值，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题..18．一种质量为的物质，在化学分解中，经过时间（单位：）后，所剩的质量（单位：）与时间的关系可以表示为.(1)求当从变到时，质量关于的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求，并解释它的实际意义．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据平均变化率公式可得出质量关于的平均变化率，根据平均变化率的定义可得出其实际意义；（2）利用复合函数的求导法可求得的值，利用导数的意义可得出的实际意义.【详解】（1）解：平均变化率为，它的实际意义：当从变化到时，质量平均减少.（2）解：，所以，，它的实际意义：在时间时，瞬时质量减少.19．设函数.（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若函数在和处有两个极值点，其中，.（i）求实数的取值范围；（ii）若（e为自然对数的底数），求的最大值.【答案】；（2）（i）；（ii）.【分析】（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）（i）求得，从而可知方程在上有两个不等的实根，可得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围；（ii）由题知、是两个极值点，结合韦达定理，得到关于、的关系式，再用换元，构造关于的函数，求出函数的最大值．【详解】（1）若，，，则，，此时，函数在处的切线方程为，即；（2）（i），，由题意可知，关于的方程在上有两个不等的实根，所以，，解得.因此，实数的取值范围是；（ii）由（i）得，，，令，则，令，其中.，所以，函数在上单调递减，.因此，当时，的最大值为.【点睛】本题考查利用导数求解函数图象的切线方程，同时也考查了利用函数的极值点个数求参数以及利用导数求解函数的最值，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.20．已知函数(，为常数)，且为的一个极值点．(1)求的值；(2)求函数的单调区间．【答案】(1)；(2)的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1，3)．【分析】(1)根据极值点的性质可得，进而求出；(2)结合(1)中结论，分别求出和的解，即可求出的单调区间.【详解】(1)因为，所以，解得；(2)由题意易知，函数的定义域为(0，＋∞)，结合(1)知，所以，由可得或，由可得，所以函数的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1，3)．21．已知函数.(1)证明不等式：，；(2)若，，使得，求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)移项构造新函数,应用导数求函数的单调性,根据最值证明结论成立.(2)根据,得到,结合(1)及函数的单调性求出,换元证明成立即可.【详解】（1）令，，则，故在上单调递增，故，即，所以，，当且仅当时，等号成立；（2）由得，整理得，不妨设，由（1）可知在上单调递增，故有，从而，所以，所以.下面证明，即证，令，即证明，其中，故只需证明.设，则，所以在上单调递增，所以，所以，即，所以.22．已知函数．(1)求函数在的单调区间；(2)求函数在区间上的最大值（其中为正实数）．【答案】(1)的单调递增区间为、，单调递减区间为(2)答案见解析【分析】（1）化简函数在上的解析式，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间；（2）解方程，可得或，然后分、、、四种情况讨论，结合（1）中的结论分析函数在区间上的单调性，由此可得出函数在上的最大值.【详解】（1）解：，①当时，，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减；②当时，恒成立，所以在上单调递增.综上，的单调递增区间为、，单调递减区间为.