高二数学《基本不等式》教案分析

高二数学《基本不等式》教案分析高二数学《基本不等式》教案分析一、教材分析【教材地位与作用】基本不等式又称为均值不等式，选自北京师范高校出版社一般中学课程标准试验教科书数学必修5第3章第3节内容。教学对象为高二学生，本节课为第一课时，重在探讨基本不等式的证明与几何意义。本节课是在系统的学习了不等关系和驾驭了不等式性质的基础上绽开的，作为重要的基本不等式之一,为后续进一步了解不等式的性质与运用，探讨最值问题奠定基础。因此基本不等式在学问体系中起了承上启下的作用，同时在生活与生产实际中有着广泛的应用，它也是对学生进行情感价值观教化的好素材，所以基本不等式应重点探讨。【教学目标】依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际状况，特确定如下目标：学问与技能目标：理解驾驭基本不等式，理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件运用基本不等式；过程与方法目标：通过探究基本不等式，使学生体会学问的形成过程，培育分析、解决问题的实力；情感与看法目标：通过问题情境的设置，使学生相识到数学是从实际中来，培育学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培育学生擅长思索、勤于动手的良好品质。【教学重难点】重点：理解驾驭基本不等式，能借助几何图形说明基本不等式的意义。难点：利用基本不等式推导不等式.关键是对基本不等式的理解驾驭.二、教法分析本节课采纳视察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题动身，放手让学生探究思索。利用多媒体协助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分绽开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率．三、学法指导新课改的精神在于以学生的发展为本，把学习的主动权还给学生，提倡主动主动，勇于探究的学习方法，因此，本课主要实行以自主探究与合作沟通的学习方式，通过让学生想一想，做一做，用一用，建构起自己的学问，使学生成为学习的主子。四、教学过程教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线绽开。这种支配强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对学问的再创建、再发觉的过程，从而培育学生的创新意识。详细过程支配如下：（一）基本不等式的教学设计创设情景，提出问题设计意图：数学教化必需基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学老师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境:上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是依据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热忱好客。[问题1]请视察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形它们在面积上有哪些相等关系和不等关系（让学生分组探讨）(二)探究问题，抽象归纳基本不等式的教学设计1．探究图形中的不等关系形的角度(利用多媒体展示会标图形的改变,引导学生发觉四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积.)数的角度[问题2]若设直角三角形的两直角边分别为a、b,应怎样表示这种不等关系学生探讨结果：。[问题3]大家看，这个图形里还真有点奥妙。我们从图中找到了一个不等式。这里a、b的取值有没有什么限制条件不等式中的等号什么时候成立呢？（师生共同探究）咱们再看一看图形的改变，（老师演示）（学生发觉）当四个直角三角形都变成了等腰直角三角形，他们的面积和恰好等于正方形的面积，即.探究结论：我们得到不等式，当且仅当时等号成立。设计意图：本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式基本不等式的教学设计。在此基础上，引导学生相识基本不等式。2．抽象归纳：一般地，对于随意实数，有，当且仅当a＝b时，等号成立。[问题4]你能给出它的证明吗？学生在黑板上板书。[问题5]特殊地，当时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么？学生归纳得出。设计意图：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.【归纳总结】假如都是非负数，则，当且仅当时，等号成立。我们称此不等式为基本不等式。其中称为的算术平均数，称为的几何平均数。3．探究基本不等式证明方法：[问题6]如何证明基本不等式？设计意图：在于引领学生从感性相识基本不等式到理性证明，实现从感性相识到理性相识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质干脆推导这个不等式。方法一：作差比较或由基本不等式的教学设计绽开证明。方法二：分析法要证只要证2要证,只要证2要证,只要证明显,是成立的。当且仅当时,中的等号成立。4．理解升华1）文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。2）符号语言叙述：若，则有，当且仅当时，。[问题7]怎样理解“当且仅当”？（学生小组探讨，沟通看法，师生总结）“当且仅当时，等号成立”的含义是：当时，取等号，即；仅当时，取等号，即。3）探究基本不等式的几何意义：基本不等式的教学设计借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式的几何说明，通过数形结合，给予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。如图：是圆的直径，点c是上一点，[问题8]你能利用这个图形得出基本不等式的几何说明吗？（老师演示，学生直观感觉）易证ＲＣDＲＣB，则ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.这个圆的半径为，明显，它大于或等于，即，其中当且仅当点c与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式几何意义可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高.4）联想数列的学问理解基本不等式从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与”积”这两种结构间的不等关系.[问题9]回忆一下你所学的学问中，有哪些地方出现过“和”与“积”的结构？归纳得出:均值不等式的代数说明为:两个正数的等差中项不小它们的等比中项.基本不等式的教学设计（四）体会新知，迁移应用例1：（1）设均为正数，证明不等式：基本不等式的教学设计（2）如图：是圆的直径，点c是上一点，设，，过作交于，你能利用这个图形得出这个不等式的一种几何说明吗？设计意图：以上例题是依据基本不等式的运用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何学问，进一步领悟到不等式成立的条件，与当且仅当时，等号成立。这里完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。（五）演练反馈，巩固深化公式应用之一：1．试推断与与2的大小关系？问题：假如将条件“x>0”去掉，上述结论是否仍旧成立？2．试推断与7的大小关系？公式应用之二：设计意图：新奇好玩、简洁易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增加学生的爱好，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的爱好，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中(1)用一个两臂长短有差异的天平称一样物品，有人说只要左右各秤一次，将两次所称重量相加后除以2就可以了.你觉得这种做法比实际重量轻了还是重了？(2)甲、乙两商场对单价相同的同类产品进行促销.甲商场实行的促销方式是在原价p折的基础上再打q折；乙商场的促销方式则是两次都打折.对顾客而言，哪种打折方式更合算？(0≠q)（五）反思总结，整合新知：通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些阅历教训还有哪些问题须要请教？设计意图：通过反思、归纳，培育概括实力；帮助学生总结阅历教训，巩固学问技能，提高认知水平.从各种角度对均值不等式进行总结，目的是为了让学生驾驭本节课的重点，突破难点老师依据状况完善如下：学问要点：（1）重要不等式和基本不等式的条件与结构特征（2）基本不等式在几何、代数与实际应用三方面的意义思想方法技巧：（1）数形结合思想、“整体与局部”（2）归纳与类比思想（3）换元法、比较法、分析法(七)布置作业，更上一层1．阅读作业:预习基本不等式的教学设计2．书面作业:已知a，b为正数，证明不等式基本不等式的教学设计3．思索题:类比基本不等式，当均为正数，猜想会有怎样的不等式？设计意图：作业分为三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则，同时考虑学生的差异性。阅读作业是后续课堂的铺垫，而思索题不做统一要求，供学有余力的学生课后探讨。五、评价分析1．在建立新知的过程中，老师力求引导、启发，让学生逐步应用所学的学问来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的学问结构。每个问题在设计时，充分考虑了学生的详细状况，力争提问精确到位，便于学生思索和回答。使思索和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思索有价值，对学问的理解和驾驭在不断的思索和探讨中完善和加深。2．本节的教学中要求学生对基本不等式在数与形两个方面都有比较充分的相识，特殊强调数与形的统一，教学过程从形得到数，又从数回到形，意图使学生在比较中对基本不等式得以深刻理解。“数形结合”作为一种重要的数学思想方法，不是老师提一提学生就能够驾驭并且会用的，