高中数学解题思维策略2

第四讲数学思维的开拓性一、概述数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。数学思维的开拓性主要体现在：一题的多种解法例如已知复数满足，求的最大值。我们可以考虑用下面几种方法来解决：①运用复数的代数形式；②运用复数的三角形式；③运用复数的几何意义；④运用复数模的性质（三角不等式）；⑤运用复数的模与共轭复数的关系；⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆与有公共点时，的最大值。一题的多种解释例如，函数式可以有以下几种解释：①可以看成自由落体公式夏②次可以看成动抹能公式蓝③闲可以看成热吧量公式狐又如罩“仰1原”他这个数字，芽它可以根据笋具体情况变臂成各种形式罢，使解题变驼得简捷。江“仁1汉”泪可以变换为毒：授，等等。善思维训练实元例历例1违已知中求证：到分析1旁用比较候法。本题只剥要证走为了同时利搞用两个已知默条件，只需水要观察到两羡式相加等于椒2便不难解信决。证法1咬所以乓布分析2攻运用分析法绳，从所需证伟明的不等式算出发，运用算已知的条件酒、定理和性灭质等，得出消正确的结论芳。从而证明校原结论正确邮。分析法其冶本质就是寻阿找命题成立边的充分条件僻。因此，证躺明过程必须睛步步可逆万，并注意书匪写规范。海证法2羊要证粪示扔只需证挨xM·ydxM·yd图4－2－1O委因为瘦跪所以只需证颠轿即议竭群因为最后的需不等式成立赖，且步步可队逆。所以原疮不等式成立暗。浩分析3只运用综合法百（综合运用锣不等式的有砌关性质以及渐重要公式、没定理（主要级是平均值不溪等式）进行受推理、运算晃，从而达到收证明需求证针的不等式成液立的方法）证法3即杀分析4初三角换慈元法：由于匆已知条件为沾两数平方和乌等于1的形心式，符合三摩角函数同角做关系中的平些方关系条件秧，具有进行跳三角代换的斩可能，从而兄可以把原不棵等式中的代滥数运算关系粮转化为三角证函数运算关些系，给证明念带来方便。证法4可设淋分析5仪数形结合法嫌：由于条件宅可看作是以疑原点为圆心场，半径为1仿的单位圆，授而篮联系到点到枯直线距离公膀式，可得下只面证法。报证法5阀（如图运4-2-1药）因为直线瑞经过循圆达的圆心O，艘所以圆上任伪意一点串到直线株的距离都小迫于或等于圆废半径1，辣即袜狡简评碑五种证铃法都是具有施代表性的基懂本方法，也伏都是应该掌先握的重要方悄法。除了证竟法4、证法坛5的方法有规适应条件的粮限制这种局胡限外，前三振种证法都是蔑好方法。可慌在具体应用缴过程中，根知据题目的变枪化的需要适医当进行选择吊。膏例2膏如果充求证：逆成等差数列隔。肆分析1营要证膨，必须有严成立才行。习此条件应从脱已知条件中睛得出。故此除得到直接的掠想法是展开轰已知条件去优寻找转换。证法1简故旗，即群让成等差数列举。跑分析2离由于已双知条件具有油轮换对称特歼点，此特点祥的充分利用虹就是以换元芬去减少原式醉中的字母，缠从而给转换爱运算带来便祸利。蛇证法2尿设居则乌于是，已知绍条件可化为伟：矮所以捞成等差数列继。疑分析3常已知条宝件呈现二次驾方程判别式忍的结构特点栏引人注目，捧提供了构造胜一个适合上论述条件的二逗次方程的求专解的试探的滨机会。描证法3眼当辨时，由已知角条件知滔即白成等差数列舱。鹅当吐时，关于挤的一元二次理方程：订其判别式它故方程有等检根，显然擦＝1为方程绣的一个根，销从而方程的抛两根均为1生，抽由韦达定理唤知填土即垂成等差数列芽。像简评：嚷证法1是常垄用方法，略故嫌呆板，但锯稳妥可靠。锐证法2简单进明了，是最景好的解法，碌其换元的技熔巧有较大的料参考价值。雕证法3引入豪辅助方程的麦方法，技巧践性强，给人偶以新鲜的感绪受和启发。扯已知弹，求玻的最小值。醉分析1诉虽然所求函否数的结构式射具有两个字统母趴，但已知条咐件恰有抵的关系式，造可用代入法映消掉一个字士母，从而转雀换为普通的薄二次函数求信最值问题。解法1设，则盼二次项系数键为藏故均有最小值。当时，的最小值为严分析2累已知的酒一次式筐两边平方后冲与所求的二览次式乞有密切关联些，于是所求回的最小值可伙由等式转换后成不等式而蚀求得。解法2即周即乐当且仅当珠时取等号。蚁的最小值为狡分析3额配方法多是解决求最阻值问题的一要种常用手段汽，利用已知流条件结合所拍求式子，配毫方后得两个晶实数平方和也的形式，从确而达到求最储值的目的。求解法3鲜设蜡当定时，发即咏的最小值为11Oxy图4－2－2男分析4涛因为已展知条件和所跌求函数式都君具有浇解析几何常营见方程的特俯点，故可得叔11Oxy图4－2－2嫌解法4尘如图4－2心－2，兄表示直线着表示原点到叹直线遵上的点练的距离的平存方。勒显然其中以跪原点到直线狮的距离最短讽。此时，即渣所以分的最小值为竞注书如果设皮则问题还可转转化为直线房与圆锦有交点时，读半径俗的最小值。饰简评赔几种解喇法都有特点唉和代表性。蛮解法1是基幼本方法，解投法2、3、找4都紧紧地席抓住题设条缴件的特点，闻与相关知识绍联系起来，皂所以具有灵抵巧简捷的优会点，特别是战解法4，形枕象直观，值律得效仿。设求证：怪分析1夫由已知百条件忌为实数这一钉特点，可提模供设实系数皱二次方程的互可能，在该蒙二次方程有损两个虚根的家条件下，它负们是一对共甲轭虚根，运猎用韦达定理预可以探求证区题途径。释证法1羞设位当读时，可得捞与病条件不合。于是有坚该方程有一迷对共轭虚根谈，设为附，于是装又由韦达定胃理知殊分析2锐由于实向数的共轭复屈数仍然是这誓个实数，利肺用这一关系叫可以建立复瞎数方程，注积意到另这一重要性允质，即可求弱出笨的值。茄证法2猎设钱当喝时，可得材与砖条件不合，则有，即但而即深分析3羊因为实遮数的倒数仍姥为实数，若以对原式取倒侍数，可变换驰化简为易于梁进行运算的宣形式。再运西用共轭复数水的性质，建守立复数方程匙，具有更加阶简捷的特点旦。证法3即从而必有义简评罪设出复形数的代数形左式或三角形题式，代入已扎知条件化简咬求证，一般丸也能够证明脆，它是解决剂复数问题的嫌基本方法。喇但这些方法玉通常运算量待大，较繁。唇现在的三种闭证法都应用谅复数的性质搞去证，技巧炒性较强，思扯路都建立在鬼方程的观点准上，这是需公要体会的关妻键之处。证资法3利用倒普数的变换，埋十分巧妙是忠最好的方法虫。散例5芳由圆睬外一点规引圆的割线疏交圆于舰两点，求弦材的中点输的轨迹方程摄。跨分析1存（直接丝法）根据题惠设条件列出五几何等式，弹运用解析几躁何基本公式碗转化为代数笔等式，从而珠求出曲线方睛程。这里考迎虑在圆中有皱关弦中点的赠一些性质，妈圆心和弦中络点的连线垂屯直于弦，可霞得下面解法丘。烛解法1臭如图4－2杀－3，设弦邪的中点捕的坐标为照，连接说，做则感，在释中，由两点杠间的距离公创式和勾股定厕理有沙整理，得饭其中图4－2－3PMBAOyx胜分析2剩（定义扒图4－2－3PMBAOyx剖曲线类型，好运用待定系理数法求出曲忽线方程。愉解法2巡因为加是携的中点，所团以皂，溜所以点描的轨迹是以耀为直径的圆闯，圆心为象,榆半径为隙该圆的方程疫为：狸化简，得眉演其中传分析3牧（交轨抵法）将问题匀转化为求两该直线的交点宁轨迹问题。氏因为动点唯可看作直线原与割线慈的交点，而袭由于它们的氏垂直关系，仅从而获得解研法。德解法3苏设过暑点的割线的昨斜率为慎则过俩点的割线方乖程为：异.鬼且过原点，石的方程为兴这两条直线贫的交点就是轿点的轨迹。偏两方程相乘排消去令化简，得：饰其中岂分析4悬（参数差法）将动点翁坐标表示成蓬某一中间变桑量（参数）衫的函数，再市设法消去参示数。由于动吐点姨随直线的斜知率变化而发嫩生变化，所刚以动点席的坐标是直膜线斜率的函跳数，从而可体得如下解法芝。弹解法砌4设过靠点的割线方叔程为：壮它与圆也的两个交点瞒为涛，修的中点为闹.拦解方程组嚼选利用韦达定末理和中点坐蝇标公式，可酷求得屯点的轨迹方蒙程为：其中锻分析5阵（代点藏法）根据曲组线和方程的昨对应关系：泉点在曲线上朗则点的坐标宪满足方程。盘设而不求，午代点运算。理从整体的角本度看待问题斥。这里由于释中点诚的坐标蹄与两交点槐通过中点公舟式联系起来烛，又点弊构成4点共洲线的和谐关姨系，根据它折们的斜率相结等，可求得芬轨迹方程。储解法5盈设讲则俗两式相减，古整