初中数学探究型问题

2023/5/61

探究型问题初中数学探究型问题全文共70页，当前为第1页。2023/5/62命题趋势

探究型问题是近年中考比较常见的题目，解答这类问题的关键是牢固掌握基本知识，加强“一题多解”、“一题多变”等的训练；需要有较强的发散思维能力、创新能力。具体做题时，要仔细分析题目的有关信息、合情推理、联想，并要运用类比、归纳、分类讨论等数学思想全面考虑问题，有时还借助图形、实物或实际操作来打开思路。初中数学探究型问题全文共70页，当前为第2页。2023/5/63整体感知探究型问题规律型问题实验操作题存在型问题动态型问题初中数学探究型问题全文共70页，当前为第3页。2023/5/641.条件的不确定性2.结构的多样性题型特点3.思维的多向性4.解答的层次性5.过程的探究性6.知识的综合性初中数学探究型问题全文共70页，当前为第4页。2023/5/65(一)规律型问题考点突破

规律探索试题是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐，主要原因是这类试题没有固定的形式和方法，要求学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来解决问题．初中数学探究型问题全文共70页，当前为第5页。2023/5/661．数式规律例1：(2009湖北十堰)观察下面两行数：

2，4，8，16，32，64，…①

5，7，11，19，35，67，…②

根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得它们的和是（写出最后的结果）

．分析：第一行的第10个数是,第二行的每个数总比第一行同一位置上的数大3，所以第二行的第10个数是1024+3=1027.

2051归纳与猜想初中数学探究型问题全文共70页，当前为第6页。2023/5/671．数式规律例2：(2009北京)一组按规律排列的式子：

…（ab≠0），其中第7个式子是

，

第n个式子是

（n为正整数）．

本题难点是，变化的部分太多，有三处发生变化：分子、分母、分式的符号。学生很容易发现各部分的变化规律，但是如何用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是难点.

归纳与猜想初中数学探究型问题全文共70页，当前为第7页。2023/5/681．数式规律例3：（09年陕西）观察下列各式：

1×3=12＋2×1；

2×4=22＋2×2；

3×5=32＋2×3；……

请你将猜想到的规律用正整数n

表示出来：___________.方法总结：横向熟悉代数式、算式的结构；纵向观察、对比，研究各式之间的关系，寻求变化规律；按要求写出算式或结果。归纳与猜想初中数学探究型问题全文共70页，当前为第8页。2023/5/692．图形规律例4:(2008黑龙江哈尔滨)观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有

个★．三角形每条边上的星数相同,再减去三个顶点的数方法一:3(n+1)-3=3n3n归纳与猜想初中数学探究型问题全文共70页，当前为第9页。2023/5/6102．图形规律例4:(2008黑龙江哈尔滨)观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有

个★．369123n归纳与猜想初中数学探究型问题全文共70页，当前为第10页。2023/5/6112．图形规律例5（2009海南省）用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子

枚（用含n的代数式表示）.

第1个图第2个图第3个图…方法一:除第一个图形有4枚棋子外,每多一个图形,

多3枚棋子.4＋3（n－1）=3

n+1归纳与猜想初中数学探究型问题全文共70页，当前为第11页。2023/5/6122．图形规律例5（2009海南省）用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子

枚（用含n的代数式表示）.

第1个图第2个图第3个图…3n+1方法二:每个图形,可看成是序列数与3的倍数又多1枚棋子归纳与猜想初中数学探究型问题全文共70页，当前为第12页。2023/5/6132．图形规律例5（2009海南省）用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子

枚（用含n的代数式表示）.

第1个图第2个图第3个图…方法三:2n+(n+1)=3n+1方法总结：认真观察研究图案（形）提取数式信息仿照数式规律得到结论归纳与猜想初中数学探究型问题全文共70页，当前为第13页。2023/5/614复练1：初中数学探究型问题全文共70页，当前为第14页。2023/5/615返表一复练2：初中数学探究型问题全文共70页，当前为第15页。2023/5/616探究规律题的一般步骤为：(1)观察（发现特点）(2)猜想（可能的规律）(3)实验（用具体数值代入猜想）初中数学探究型问题全文共70页，当前为第16页。2023/5/617二、填空题1、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为

．2、把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：

1

2，3，

4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，…………按此规律，可知第n行有

个正整数．2n-150初中数学探究型问题全文共70页，当前为第17页。2023/5/6183、将正数按如图所示的规律排律下去。若用有序实数对（n,m)表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数__________234、试观察下列各式的规律，然后填空：……则_______________

初中数学探究型问题全文共70页，当前为第18页。2023/5/619初中数学探究型问题全文共70页，当前为第19页。2023/5/6200135791113S1S2S3S4图66、如图6，∠AOB=450，过OA到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，----的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1、S2、S3、S4---观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积S10=__________767、一个巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，---中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n(n≥1)个数据是___________________.初中数学探究型问题全文共70页，当前为第20页。2023/5/621109１０、填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，C=

＿＿＿．108１１、古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为

．199初中数学探究型问题全文共70页，当前为第21页。2023/5/622１２、观察下列各式：请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来

．初中数学探究型问题全文共70页，当前为第22页。2023/5/62315、按如下规律摆放三角形：则第（4）堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为_____________１４３n+2初中数学探究型问题全文共70页，当前为第23页。2023/5/62416、柜台上放着一堆罐头，它们摆放在的形状见右图：第一层有２×３听罐头；第二层有３×４听罐头；第三层有４×５听罐头。根据这堆罐头排列规律，第n（n为正整数）层有＿＿＿＿＿＿＿＿＿听罐头（用含n的式子表示）n2+3n+2初中数学探究型问题全文共70页，当前为第24页。2023/5/625（二）实验操作型问题考点突破

实验操作型问题是让学生在实际操作的基础上设计问题，主要有：⑴裁剪、折叠、拼图等动手操作问题，往往与面积、对称性质相联系；⑵与画图、测量、猜想、证明等有关的探究型问题。

初中数学探究型问题全文共70页，当前为第25页。2023/5/626实验操作型问题

主要考查：（1）全等、相似、平移、对称、旋转、翻折等几何操作变换的若干方法和技巧；(2）综合运用相关知识解决应用问题．折纸与剪纸

分割与拼合

展开与叠合初中数学探究型问题全文共70页，当前为第26页。2023/5/627

动手操作型的折纸与剪纸，图形的分割与拼合、几何体的展开与叠合，几乎触及了每份试卷，从单一的选择、填空，到综合性较强的探索猜想、总结规律，判断论证存在与否，以及分类讨论等综合题，几乎无处不在．1.基础题型初中数学探究型问题全文共70页，当前为第27页。2023/5/6281.折纸问题例6（2008泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）

A．正三角形B．正方形

C．正五边形D．正六边形

基础题型

解题策略1：重过程——“折”．温馨提示:看清步骤，仔细操作.操作与探究初中数学探究型问题全文共70页，当前为第28页。2023/5/629ABCD复练（08山东）：将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（）

试一试：温馨提示:带齐工具。C初中数学探究型问题全文共70页，当前为第29页。2023/5/630２.拼图问题

例7（08顺义一模）如图1，△ABC是直角三角形，如果用四张与△ABC全等的三角形纸片恰好拼成一个等腰梯形，如图2，那么在Rt△ABC中，

的值是

．

方法一:观察边长,两条较短的直角边的和等于斜边的长方法二:观察角度,两个较小的锐角的和等于较大的锐角基础题型

操作与探究初中数学探究型问题全文共70页，当前为第30页。2023/5/631２.拼图问题基础题型

例8：（08常州）如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的纸片共有5张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图,并写出它们的周长.2224操作与探究初中数学探究型问题全文共70页，当前为第31页。2023/5/632２.拼图问题基础题型

223420222242初中数学探究型问题全文共70页，当前为第32页。2023/5/6334.网格问题例10（08年石景山一模）如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长___________________.

12基础题型

操作与探究初中数学探究型问题全文共70页，当前为第33页。2023/5/6344.网格问题例10（08年石景山一模）如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长___________________.

12基础题型

评析：这类题型主要以学生熟悉的、感兴趣的图形为背景，提供观察和操作的机会，让学生通过动手操作，亲自发现结果的准确性，在思想和行动上逐步消除理论和实践之间的阻隔．网格试题具有操作性，趣味性，体现了“在玩中学，在学中思，在思中得”的课标理念．操作与探究初中数学探究型问题全文共70页，当前为第34页。2023/5/635

动手操作型试题是指给出操作规则，在操作过程中发现新结论，自主探索知识的发展过程；它为解题者创设了动手实践，操作设计的空间，考察了学生的数学实践能力和创新设计才能．2.综合题型初中数学探究型问题全文共70页，当前为第35页。2023/5/636

现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4,请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线,并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程.例11（2006北京）请阅读下列材料:

问题:现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1,请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是:设新正方形的边长为x（x>0）.依题意，割补前后图形面积相等，有x2=5,解得由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长.于是，画出如图2所示的分割线,拼出如图3所示的新正方形．请你参考小东同学的做法，解决如下问题:图⑤图④题型一：画图与拼图综合题型

操作与探究初中数学探究型问题全文共70页，当前为第36页。2023/5/637

小东同学的做法是：设新正方形的

边长为x(x>0).依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5,解得x=.由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长.于是，画出如图2所示的分割线，如图3所示的新正方形.再现操作情境初中数学探究型问题全文共70页，当前为第37页。2023/5/638

小东同学的做法是：设新正方形的

边长为x(x>0).依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5,解得x=.由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长.于是，画出如图4所示的分割线，如图5所示的新正方形.①②③④⑤10理清操作步骤发现变化，类比迁移初中数学探究型问题全文共70页，当前为第38页。2023/5/639

小东同学的做法是：设新正方形的

边长为x(x>0).依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5,解得x=.由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长.于是，画出如图4所示的分割线，如图5所示的新正方形.①②③④⑤10理清操作步骤发现变化，类比迁移析解：本例是将矩形分割后拼成正方形，而试题又提供了拼接方法，解决这类问题除要有平时的分割和拼接经验外，还要密切关注试题中的阅读材料．初中数学探究型问题全文共70页，当前为第39页。2023/5/640题型二：折叠与变换例12（08北京）已知等边三角形纸片的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G．DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于F点，把三角形纸片ABC分别沿DG,DE,GF按图1所示方式折叠，点A,B,C分别落在点A’，B’，C’处．若点A’，B’，C’在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称△A’B’C’（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．

综合题型

折叠轴对称实质透过现象看本质:初中数学探究型问题全文共70页，当前为第40页。2023/5/641（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点

A,B,C,D恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A’B’C’的面积_____；题型二：折叠与变换观察图形可知:重叠三角形是边长为2的等边三角形综合题型

初中数学探究型问题全文共70页，当前为第41页。2023/5/642（2）实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形A’B’C’存在．试用含m的代数式表示重叠三角形A’B’C’的面积，并写出m的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究用）．题型二：折叠与变换综合题型

评析：本题设计精巧，颇具新意，是以学生喜闻乐见的“折纸”为背景，展示了数学的丰富内涵，材料鲜活、亲切，表述简明直观。本题的另一巧妙之处在于构成网格的图形是正三角形，令人耳目一新。第一问折叠是轴对称性质的应用，应注意折叠中出现的不变量；第二问体现了由特殊到一般的认知规律，在直观操作的基础上，将直觉与简单推理相结合，考察了学生的建模能力．mm8-m8-2m8-2m>0初中数学探究型问题全文共70页，当前为第42页。2023/5/643综合题型

题型二：折叠与变换例13（08浙江）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t

的值；若不存在，请说明理由．评析：这是一道翻折实验题，可以让学生在亲手操作中学习知识，充分考查学生的作图能力、空间想象能力和探索能力。也可利用课件演示几个关键点初中数学探究型问题全文共70页，当前为第43页。2023/5/644解题策略2：重结果——“叠”．心得：先标等量，再构造方程。折叠问题中构造方程的方法：（2）寻找相似三角形，根据相似比得方程。（1）把条件集中到一Rt△中，根据勾股定理得方程。初中数学探究型问题全文共70页，当前为第44页。2023/5/645反思小结重结果折叠问题折叠程过重利用Rt△利用∽方程思想轴对称全等性对称性质本精髓初中数学探究型问题全文共70页，当前为第45页。2023/5/646例14（06顺义二模）把两个全等的等腰直角板ABC和OPQ叠放在一起，如图1，且使三角板OPQ的直角顶点O与三角板ABC的斜边中点重合．现将三角板OPQ绕点O按顺时针方向旋转（旋转角满足条件），四边形CDOE是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图2，图3所示），已知两个三角板的直角边长均为4．探究：（1）在上述旋转过程中，线段OD与OE之间有怎样的数量关系,以图2为例证明你的猜想.题型三：旋转与探索综合题型

实验与推理初中数学探究型问题全文共70页，当前为第46页。2023/5/647实验与推理题型三：旋转与探索初中数学探究型问题全文共70页，当前为第47页。2023/5/648【点评】以上两题都是通过三角板的旋转来构造探索性问题，学生在探索过程中，可以表现出自己在从事观察、实验、数学表达、猜想、证明等数学活动方面的能力．此题关注了学生认识数学对象的过程与方法．为了考查和培养学生的创新思维能力，中考试题中也越来越多地引入了开放性问题，使学生通过对开放性试题的解答，亲自经历做数学的过程，加深学生对数学知识的认识和理解．这也对我们今后的教学的方向性起着导向作用．初中数学探究型问题全文共70页，当前为第48页。2023/5/649例16

（08义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．题型三：旋转与探索综合题型

实验与推理初中数学探究型问题全文共70页，当前为第49页。2023/5/650题型三：旋转与探索综合题型

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(a≠b，k＞0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，

k=，求的值．评析：本题考查学生探索知识、发现知识、应用知识的综合创新能力。学生在探究时的猜想一般来说都是一些可预见的结果，如：大小关系一般是相等或和差相等，平面内两直线关系一般是平行、垂直等。因此，学生的猜想可有一个大方向。同时，此类题型由于条件的变化，其探索过程也由简到难，可运用类比的方法依次求出，从而使学生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量。

实验与推理初中数学探究型问题全文共70页，当前为第50页。2023/5/651综合题型

【点评】这些试题均体现新课标所倡导的“操作——猜想——探究——证明”理念。每题在课本中均能找到落脚点，但改变了过去直接要求学生对命题证明的形式，而是按照：“给出特例——猜想一般——推理论证——再次猜想”要求呈现，这对考查学生的创新意识是十分有益的，对教学也起到了正确的引导作用．题型三：旋转与探索初中数学探究型问题全文共70页，当前为第51页。2023/5/652(三)存在性问题考点突破

存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题．这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。

这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。初中数学探究型问题全文共70页，当前为第52页。2023/5/653“存在性”问题大体可分为两类：1．由数量关系确定的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”数量方面的要求）2．由位置关系确定的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”位置方面的要求）

解决的方法主要是借助于构造基本图形

解决的方法主要是借助于构造方程初中数学探究型问题全文共70页，当前为第53页。2023/5/654考点突破

解决此类问题的关键是将运动的几何元素当作静止来加以解答，即“化动为静”的思路；并能从相对静止的瞬间清晰地发现图形变换前后各种量与量之间的关系，通过归纳得出规律和结论，并加以论证.初中数学探究型问题全文共70页，当前为第54页。2023/5/655

例17：（06顺义一模）已知，如图，△ABC中，AB=6，

AC=8，M为AB上一点（M不与点A、B重合），MN∥BC交

AC于点N.（1）当△AMN的面积是四边形MBCN面积的2倍时，求AM的长；（2）若∠A=90°，在BC上是否存在点P，使得△MNP为等腰直角三角形？若存在请求出MN的长；若不存在，请说明理由.初中数学探究型问题全文共70页，当前为第55页。2023/5/656

例18：（08大兴二模）已知,抛物线过点A(-3,0),B(1,0),，此抛物线的顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC.①求E点的坐标；②试判断四边形AEBC的形状，并说明理由．（3）试探求：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．初中数学探究型问题全文共70页，当前为第56页。2023/5/657（四）动态探究题考点突破

动态探究题能够真实的考查学生的知识水平、理解能力，有较好的区分度，具有较好的选拔功能；同时，依托图形的变化（动点、动线段、动图问题），能很好地考查学生学习数学的探究能力和综合素质，体现开放性。主要以中档题与综合题形式出现，有时也会以选择题形式出现。初中数学探究型问题全文共70页，当前为第57页。2023/5/658题型一：点动型探索综合题型

例19

分析：前两问利用相似三角形或者三角函数等知识可解决，第（3）问是一个点在线上运动问题，需要先探索点P使△PQR为等腰三角形的可能性，这时应分类讨论，抓住PQ为等腰三角形的腰或底分别求解，注意x的取值范围．解题策略1：化动为“静”．初中数学探究型问题全文共70页，当前为第58页。2023/5/659题型一：点动型探索综合题型

例19

略解（1）由BC=10,BD=3,△BHD∽△BAC

得到DH=2.4初中数学探究型问题全文共70页，当前为第59页。2023/5/660综上所述，当x为3.6或6或7.5时，△PQR为等腰三角形．题型一：点动型探索综合题型

解题策略2：分类画出图形．初中数学探究型问题全文共70页，当前为第60页。2023/5/661题型一：点动型探索小结

一要注意在单点运动变化的过程中，哪些图形（如线段、三角形等）随之运动变化，即确定整个单点运动变化过程中图形中的变量和不变量．如本题中线段PQ和∠PQR是两个不变量，线段BQ、QR是两个变量，以及△PQR的形状也在变化．

三要结合具体问题，建立方程或函数等数学模型，达到解决问题的目的．如本题中，假设△PQR为等腰三角形，则分PQ=PR,QP=QR,RP=RQ三种情况建立相等关系，列出方程求解．

二要运用相应的几何知识，用单点运动引起的某一变量x，表示图形中其它的变量．如本题中运用△RQC∽△ABC

，用变量x表示变量y．

初中数学探究型问题全文共70页，当前为第61页。2023/5/662题型二：线动型探索例20：已知：如图，AB是⊙O的一条弦，点C为AB的中点，CD是