中考数学高频考点突破-二次函数与相似三角形

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为、，抛物线顶点为点，过点作轴于点．（1）求，，三点的坐标．（2）在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．（3）若点为轴上方的抛物线上一动点（点与顶点不重合），于点，当与相似时，求点的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线（a为常数）与y轴交于点C．请完成下列问题；（1）当抛物线经过点A时如图1，请求出A点坐标及抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，抛物线与直线的另一个交点为E．抛物线的对称轴与直线交于点D，若F为抛物线对称轴上的一个动点，以D、E、F为顶点的三角形能否与△ABC相似？若能，请求出所有F点的坐标，若不能，请说明理由．（3）在函数中若自变量x的取值范为，请直接写出函数最大值与最小值的差（结果用含a的代数式表示）．3．抛物线的顶点坐标为，并且与轴交于点，与轴交于两点，．

（1）求抛物线的解析式；（2）设点是位于直线下方的抛物线上一动点．①如图1，过点作，垂足为，求垂线段的最大值并求出此时点的坐标；②如图2，抛物线的对称轴与直线交于点，过点作轴的平行线，与直线交于点，问是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知二次函数（为常数，且）的顶点为，图象与轴交点为，，且点在点左侧．（1）求，两点的坐标．（2）当时，求的值．（3）在（2）的情况下，将轴下方的图象沿x轴向上翻折，与轴交于点，连接，记上方（含点，）的抛物线为．①设点为上一动点，当取最大值时，求点的坐标．②在上是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=3+4EF，求m的值；（3）是否存在点P，使得△PCE与△DEF相似．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

6．如图，已知抛物线经过三点，点是抛物线的顶点（1）求抛物线解析式；（2）如图1，若为轴上一点，为平面内一点，问：是否存在这样的使得以为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，连接试问：在轴的下方的抛物线上是否存在点，过作上轴于点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，则求出点的坐标，若不存在，请说明理由7．在平面直角坐标系中，点在抛物线上．（1）如图1，若抛物线经过点．①求抛物线的解析式；②设抛物线与轴交于点，连接，，，若点在抛物线上，且与的面积相等，求点的坐标；（2）如图2，若抛物线与轴交于点D过点作轴的平行线交抛物线于另一点．点为抛物线的对称轴与轴的交点，为线段上一动点．若以M，D，E为顶点的三角形与相似．并且符合条件的点恰有个，请直接写出抛物线的解析式及相应的点的坐标．8．如图，顶点为的抛物线与交轴分别于点，（点在点的左侧），与交轴交于点．已知直线的解析式为．(1)求抛物线的解析式：(2)若以点为圆心的圆与相切，求的半径；(3)在轴上是否存在一点，使得以，，三点为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．9．如图，直线交轴于点A，交轴于点B,抛物线经过点A，交轴于点，点P为直线AB下方抛物线上一动点，过点P作于D，连接AP．（1）求抛物线的解析式；（2）若以点为顶点的三角形与相似，求点P的坐标；（3）将绕点A旋转，当点O的对应点落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点B的对应点的坐标．10．如图，在平面直角坐标系，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．

备用图

（1）求抛物线的解析式．（2）点是直线上方的抛物线上一点，连接、、，与轴交于．①点是轴上一动点，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求出线段的长；②点为轴左侧抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，请直接写出点的坐标．11．如图，抛物线经过点A(4，0)、B(1，0)，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是直线AC上方的抛物线上一点，过点P作于点H，求线段PH长度的最大值．（3）Q为抛物线上的一个动点（不与点A、B、C重合），轴于点M，是否存在点Q，使得以点A、Q、M三点为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；（2）求△ABC的内切圆半径；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中抛物线经过原点，且与直线交于则、两点．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）点在抛物线上，解决下列问题：①在直线下方的抛物线上求点，使得的面积等于20；②连接，作轴于点，若和相似，请直接写出点的坐标．

14．如图，已知二次函数的图象过点．，与轴交于另一点，且对称轴是直线．（1）求该二次函数的解析式；（2）若是上的一点，作交于，当面积最大时，求的长；（3）是轴上的点，过作轴与抛物线交于，过作轴于，当以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似时，求点的坐标．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+1相交于点A(0，1)和点B(3，﹣2)，交x轴于点C，顶点为点F，点D是该抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点D在直线AB上方的抛物线上，求△DAB的面积最大时点D的坐标；（3）如图2，若点D在对称轴左侧的抛物线上，且点E（1，t）是射线CF上一点，当以C、B、D为顶点的三角形与△CAE相似时，求所有满足条件的t的值．16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过O、A（4，0）、B（5，5）三点，直线l交抛物线于点B，交y轴于点C（0，﹣4）．点P是抛物线上一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P关于直线OB的对称点恰好落在直线l上，求点P的坐标；（3）M是线段OB上的一个动点，过点M作直线MN⊥x轴，交抛物线于点N．当以M、N、B为顶点的三角形与△OBC相似时，直接写出点N的坐标．17．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AECP的最大面积；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线与轴的另一个交点为A．（1）求出抛物线表达式，并求出点A坐标；（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为3，求出△BCD的面积；（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．（1），，．（2）存在，或．（3）或．【分析】（1）令，解出x的值即可求出点A、B的坐标，再利用顶点式即可求出点C的坐标；（2）假设存在点，分别表示出、、，再根据勾股定理求出d的值，即可求出坐标；（3）分两种情况讨论：①若点在对称轴右侧（如图），只能是，得，延长交轴于，求得直线的解析式，再联立两函数解析式即可得出交点坐标；②若点在对称轴左侧（如图），只能是，得，过作的垂直线交于点，作轴于点，求得直线的解析式，再联立两函数解析式即可得出交点坐标．【解析】（1）令，则，解得，，，又，．（2）假设存在点，由题意得：，，，又是以为斜边的直角三角形，即，解得：，，点坐标为或．（3）①若点在对称轴右侧（如图），只能是，得，延长交轴于，，，设，则，，即，设直线的解析式为，则，解之得，，直线的解析式，联立，解之得或（舍去），．②若点在对称轴左侧（如图），只能是，得，过作的垂直线交于点，作轴于点，由得，，由得，，，点坐标为，设直线的解析式为，则，解之得，，直线的解析式，联立，解之得或（舍去），，满足条件的点坐标为或．【点评】本题考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点，需要熟练掌握．2．（1）A点坐标（-1，0），抛物线的解析式为；（2）F点坐标为（1，）或（1，14）；（3）见解析【分析】（1）先根据题意求出A、B两点坐标，将A（-1，0）代入，得出a的值即可（2）先得出抛物线与直线的另一个交点为E，设F点坐标为（1，m），然后分或两种情况进行讨论即可（3）先求出抛物线的对称轴，然后分①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时进行讨论【解析】解：（1）∵直线与x轴、y轴交于A、B两点∴A点坐标（-1，0），B点坐标（0，1）∵抛物线经过点A（-1，0）∴则∴抛物线的解析式为.（2）∵抛物线与直线的另一个交点为E∴得x=-1或4∴E点坐标为（4，5）∵抛物线∴对称轴为∵抛物线的对称轴与直线交于点D∴则D点坐标为（1，2）∵F点在抛物线的对称轴上∴设F点坐标为（1，m）则A（-1，0），B（0，1），C(0,-3)，D（1，2)，E（4，5），F（1，m）∴∵对称轴与y轴平行∴，又∵以D、E、F为顶点的三角形与相似∴或即①或②①解得②解得∴F点坐标为（1，）或（1，14）.（3）∵抛物线的解析式为∴抛物线的对称轴为①当时，抛物线在处取得最小值，在处取得最大值，则②当时，抛物线在处取得最小值，在处取得最大值，则③当时，抛物线在处取得最小值，在或处取得最大值，则④当时，抛物线在处取最小值，在处取最大值，则⑤当时，抛物线在处取最小值，在处取最大值，则【点评】本题是二次函数的综合题，涉及到直线与坐标轴的交点，待定系数法求抛物线的解析式，函数的最值问题以及相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键，属于中考压轴题．3．（1）；（2）①垂线段的最大值为，；②存在，或．【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为，然后把点C代入解析式求解即可；（2）①过点P作PE∥y轴，交BC于点E，连接PC、PB，由（1）易得点B坐标，进而可求直线BC的解析式，设点，然后点E坐标可求，最后根据铅垂法进行求△PCB的面积最大值，进而问题可求解；②由直线BC的解析式可知∠OBC=∠OCB=45°，又由题意知∠QPM=∠COB=90°，所以只有一种相似情况．【解析】解：（1）抛物线的顶点为，设该函数解析式为：，由抛物线与轴交于点，可得：，解得：，抛物线的解析式为即为；（2）①过点P作PE∥y轴，交BC于点E，连接PC、PB，如图所示：由（1）可得：，令y=0可得：，解得，，，设直线BC的解析式为，则有：，解得，直线BC的解析式为，设，则有，，由铅垂法可得：水平宽为点B与点C的横坐标之差，水平宽为，，当时，△PCB面积为最大，即为，，则PD的最大值为，此时点；②存在，点P坐标为或，理由如下：由①可得：直线BC的解析式为，∠OBC=∠OCB=45°，由抛物线的对称轴与直线交于点，且对称轴为直线x=2，，△ABM为等腰直角三角形，∠AMB=90°，若∠QPM=90°时，过M作MP∥x轴交抛物线于点P，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，则△QPM∽△COB，如图所示：此时点P的纵坐标与M相同，为1，将纵坐标代入抛物线解析式得：，解得：（不符合题意，舍去），；若∠PMQ=90°时，此时点P与点A重合，如图3所示，即点P的坐标为，综上所述：满足条件的点P坐标为或．【点评】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形，关键是根据题意得到函数解析式，然后根据铅垂法及相似三角形的存在性进行求解问题即可．4．（1），；（2）；（3）①；②不存在点，见解析【分析】（1）令y=0，根据可得出，求解即可；（2）由题意可知：点坐标为，根据三角形的面积计算即可；（3）①先求出直线BC的解析式，设点的坐标为，过点向轴作垂线，交于点，根据三角形的面积计算即可；②分两种情况进行判断，当时，，证明也是等腰直角三角形，根据条件计算即可；当，证得，再根据三角形相似的性质与二次函数的性质计算即可；【解析】解：（1），∵，∴，解得，；∴，；（2）由题意可知：点坐标为，，∵，，∴.∴.（3）①如图2，由（2）可知，点坐标为.∴直线的解析式为.由翻折可知，的解析式为，设点的坐标为，过点向轴作垂线，交于点，.∵∴有最大值.当时，取最大值，此时.②不存在.详细解答过程：第一种情况，如图3，当时，，∵，∴.∵是等腰直角三角形，∴也是等腰直角三角形，∴，∴，∴点纵坐标为6，设，则时，代入的解析式得，，∴不存在点；第二种情况，如图4，当，，∴，∵，∴，∴，若，则，∴，设，则，解得，（舍去），∵的对称轴为，，当时，由图易知，∴舍去，∴不存在点；【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，结合三角形相似和等腰三角形的性质是解题的关键．5．（1）；（2）；（3）存在点P，；【分析】（1）把，代入解析式求解即可；（2）由可得，根据m的取值分别计算即可；（3）由OC=OD=4，知∠ODC=∠OCD=45°，又PF⊥x轴，于是∠EFD=90°，又∠PEC=∠DEF=45°．要使△PCE与△DEF相似，只需∠CPE=90°或∠PCE=90°即可．设，则，分类计算即可；【解析】解：（1）由抛物线过，两点可得：∴抛物线的解析式为（2）由可得，设抛物线与y轴交点为Q(0,5)，则QC=5-4=1，OC=4，显然QC＜3+4OC，故点P只能是x轴上方的抛物线位于第一象限上的动点．设则当时，由，得，解得或（舍去）由，，解得（负值舍去），故综上有m的取值为：或．（3）存在点P，使得△PCE与△DEF相似，由OC=OD=4，知∠ODC=∠OCD=45°，又PF⊥x轴，于是∠EFD=90°，又∠PEC=∠DEF=45°．要使△PCE与△DEF相似，只需∠CPE=90°或∠PCE=90°即可．设，则，当∠CPE=90°时，则由，解得：，此时点P的坐标当∠PCE=90°时，过P作PG⊥y轴于点G，则当△PCG为等腰直角三角形时，有∠PCE=90°．于是，即，解得，此时点P的坐标为或，故综上有符合条件的点P存在，且坐标为或或

或．【点评】本题主要考查了二次函数的综合，准确计算是解题的关键．6．（1）；（2）存在，；（3）存在，【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）分AC为矩形的对角线和矩形的边即可求解；（3）利用△AMN∽△CDB，当N在A点左边时，当N在A点右边时，当N在A点右边时，当N在A点左边时分别得出即可．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2＋bx−3与x轴交于两点A（1，0）、B（3，0），∴0＝a＋b−3，0＝9a＋3b−3，解得：a＝−1，b＝4，∴；令y=0，解得x=-3∴C（0，-3）（2）如图，当AC是矩形AQCP的对角线时，P点在原点，CQ=AO=1,AQ=OC=3∴Q（1，-3）当AC是矩形AQCP的边时∵AP’⊥AC，AO⊥P’C∴△AP’O∽△CAO∴∴P’O=AO=∴P’（0，）由A点到P’的平移方式为向左平移1个单位，向上平移个单位，∴Q’由C向左平移1个单位，向上平移个单位，故Q’∴（3）如图2，设N（m，0）则M（m，−m2＋4m−3），MN＝m2−4m＋3若△AMN∽△DCB,，当N在A点左边时AN＝1−m，，m＝0或m＝1（舍），所以M（0，−3），当N在A点右边时AN＝m−1，，m＝6或m＝1（舍），所以M（6，−15），若△MAN∽△DCB，当N在A点左边时AN＝1−m，，m＝（舍）或m＝1（舍），所以此时M不存在，当N在A点右边时AN＝m−1，，m＝或m＝1（舍），所以M，综上．【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用，（2）（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．7．（1）①；②；（2）当抛物线的解析式为时，点的坐标为或；当抛物线的解析式为时，点的坐标为或【分析】（1）①利用待定系数法直接求抛物线的解析式；②先求解的面积为分情况讨论：当在的下方时，过点作轴交于，设点利用的面积为，建立方程求解即可，当在的上方时，过点作的平行线，与抛物线的另一交点即为点，利用函数的交点可得答案；（2）先求解抛物线的解析式为：，得到.设，利用相似三角形的性质建立方程，由方程解的情况讨论得出结论．【解析】解：①抛物线过点和点解得抛物线的解析式为②在中，令得，点的坐标为点到的距离为设直线的解析式为则解得直线的解析式为（I）如图，若点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于设点则点无解此时点不存在（II）若点在直线上方的抛物线上，过点作的平行线，与抛物线的另一交点即为点，则则可设直线的解析式为将代入，得直线的解析式为令解得或(舍去)当抛物线的解析式为时，点的坐标为或当抛物线的解析式为时，点的坐标为或理由如下：由点在拋物线上，得抛物线的解析式为设当时，即当时，即当方程有两个相等实数根时，解得(负值舍去)此时，方程有两个相等实数根方程有一个实数根，符合题意此时抛物线的解析式为点的坐标为或当方程有两个不相等的实数根时，把代入，解得负值舍去)此时，方程有两个不相等的实数根方程有一个实数根，符合题意；此时抛物线的解析式为点的坐标为或综上所述，当抛物线的解析式为点的坐标为或；当抛物线的解析式为时，点的坐标为或【点评】本题考查的是利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与图形面积问题，一元二次方程的解法及根的判别式，同时考查三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．8．(1)；(2)；(3)在轴上存在一点，使得以，，三点为顶点的三角形与相似，点的坐标是或【分析】(1)利用直线的解析式分别求得A、C的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)利用两点之间的距离公式，分别求得AD、AC、CD的长，根据勾股定理的逆定理先判断出△ADC是直角三角形，再利用面积法即可求解；(3)分三种情况讨论，利用相似三角形对应边成比例即可求解．【解析】(1)把代入，得．∴，把代入，得，∴，把，，代入，得，解得，∴抛物线的解析式为：；(2)∵，，，∴在中，，，同理：，，，，∴，∴是直角三角形，过点作，垂足为点，∴，∴，∴，∴的半径为；(3)答：在轴上存在一点，使得以，，三点为顶点的三角形与相似．解：在中，，∴，①当()时，，即，∴．此时点的坐标是．②当()时，．即，∴，，此时点的坐标是；③当()时，点不在轴上；综上所述，在轴上存在一点，使得以，，三点为顶点的三角形与相似，点的坐标是或．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，两点之间的距离公式，勾股定理的逆定理的应用，直线和圆的位置关系，二次函数的图象和坐标轴的交点坐标以及全等三角形的判定和性质，注意数形结合与分类讨论思想的应用．9．（1）；（2）当时三角形相似；（3）点的坐标为或．【分析】（1）先求出A，B的坐标，然后根据抛物线经过点A，C，解出a，c的值，即可求出抛物线解析式；（2）分①当时和②当时两种情况讨论即可；（3）先将抛物线的解析式化为顶点式，得出抛物线的对称轴为：x=-1，根据，得出AO=3，BO=，然后设O（-1，m），解出m值，分①当O（-1，）时和②当O（-1，-）时两种情况讨论即可．【解析】（1）∵直线交轴于A，B，，∵抛物线经过点A，C，∴，解得，∴抛物线解析式为；（2）①当时，点P为抛物线与x轴的交点，令，解得（舍去）∴点P的坐标为；②当时，，，过点B作，且使得，则P点必在直线AE与抛物线的交点上，做轴于点F，，，，，，，设直线AE的解析式为则，解得，∴直线AE的解析式为，解方程组解得，，∴点P的坐标为，∴当或（1，0）时三角形相似；（3）由题抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为：x=-1，∵，∴AO=3，BO=，∴设O（-1，m），则有AO==AO=3，解得：m=或m=，①当O（-1，）时，设AO的解析式为：y=ax+b，将A（-3，0），O（-1，）代入得，解得，∴AO的解析式为：y=x+，∵BO⊥AO，∴可设BO的解析式为：y=x+b1，将O（-1，）代入得=×（-1）+b1，解得b1=，∴BO的解析式为：y=x+，设B的坐标为（x，x+），则BO==BO=，解得x1=-1-，x2=-1-(不符合此时的情况，舍去)，将x1代入x+=1+，∴B的坐标为（-1-，1+）；②当O（-1，-）时，同理可得B的坐标为（-1+，1-）；综上：点的坐标为或．【点评】本题考查了二次函数的综合，相似三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，勾股定理，证明三角形相似是解题关键．10．（1）；（2）①或；②或．【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）①将点E代入抛物线解析式，计算点E，得出AB，AE，BE长度，证得，然后分为与两种情况进行讨论即可；②根据题意信息，求得直线CE的解析式，通过角度转化，结合锐角三角函数，相似成比例，求得点H的坐标．【解析】解：（1）将、、代入得，解得：抛物线的解析式为：；（2）①将代入中，得，解得或（舍去），、，，，，，，，，（I）当时，与点重合，图1（II）当时，，，，故：的长为或；图2②点的坐标为或（I）过点作于点，过点作于点，，又，，，，，，，直线的解析式为，，，，，，，又，点的纵坐标为，代入中，得：或（舍去），，，，设，则，，，解得，，点的横坐标为，代入，得：，点的坐标为．图3（II）过点作，过点作于点，过点作于点，，，由（I）知：，则，，又，，，，由（I）知：则，设，则，，，，，，又，，代中，得，或（舍去），点的横坐标为，代入，得，．点的坐标为图4综合以上可得点的坐标为或．【点评】本题考查了二次函数与几何的综合问题，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等综合知识点，熟练确定以上关系，并熟练计算是解题的关键．11．（1）；（2）；（3）或或【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点E，如图1，设点P的横坐标为t，则PE可用含t的代数式表示，易证△PEH∽△ACO，可得，于是PH可用含t的代数式表示，然后根据二次函数的性质即可求出PH长度的最大值；（3）设Q点的横坐标为m，则Q点的纵坐标可用m的代数式表示，分三种情况：当1＜m＜4时，如图2；当m＞4时，如图3；当m＜1时，如图4，根据相似三角形的性质分与两种情况，建立关于m的方程求解即可．【解析】解：（1）将A（4，0）、B（1，0）代入，得：，解得，∴抛物线的解析式为；（2）将代入，得，∴．设直线AC的解析式为，将A（4，0）代入，解得：，∴直线AC的解析式为．过点P作x轴的垂线，交直线AC于点E，如图1，设，则．∴．∵∠PEH=∠ACO，∠PHE=∠AOC=90°，∴△PEH∽△ACO，∴，∴．∴当时，PH有最大值；（3）存在，点或或．理由如下：设Q点的横坐标为m，则Q点的纵坐标为﹣m2+m﹣2，当1＜m＜4时，如图2，AM＝4﹣m，QM＝﹣m2+m﹣2，又∵∠COA＝∠QMA＝90°，∴①当时，△AQM∽△ACO，即4﹣m＝2（﹣m2+m﹣2），解得：m＝2或m＝4（舍去），此时Q（2，1）；②当时，△AQM∽△CAO，即2（4﹣m）＝﹣m2+m﹣2，解得：m＝4或m＝5（均不合题意，舍去）；当m＞4时，如图3，AM＝m－4，QM＝m2－m+2，又∵∠COA＝∠QMA＝90°，∴①当时，△AQM∽△ACO，即m－4＝2（m2－m+2），解得：m＝2或m＝4（均不合题意，舍去）；②当时，△AQM∽△CAO，即2（m－4）＝m2－m+2，解得：m＝5或m＝4（不合题意，舍去）；∴Q（5，﹣2）；当m＜1时，如图4，AM＝4－m，QM＝m2－m+2，又∵∠COA＝∠QMA＝90°，①当时，△AQM∽△ACO，即4﹣m＝2（m2－m+2），解得：m＝0或m＝4（均不合题意，舍去）；②当时，△AQM∽△CAO，即2（4﹣m）＝m2－m+2，解得：m＝﹣3或m＝4（不合题意，舍去）；∴Q（﹣3，﹣14）；综上所述，符合条件的点Q为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）．【点评】此题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、一元二次方程的解法以及相似三角形的判定与性质，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，全面分类、熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．12．（1）y＝﹣x2+2x，B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）2﹣；（3）存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得B,C点坐标；（2）先求出AB，BC，AC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC是直角三角形，从而即可求出内切圆的半径；（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N点的坐标．【解析】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+1，又∵抛物线过原点，∴0＝a（0﹣1）2+1，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，即y＝﹣x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）由（1）知，B（2，0），C（﹣1，﹣3）；∵A（1，1），∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．设△ABC的内切圆的半径为r，∴r＝＝；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），∴ON＝|x|，MN＝|﹣x2+2x|，由（2）知，AB＝，BC＝3，∵MN⊥x轴于点N，∴∠ABC＝∠MNO＝90°，∴当△ABC和△MNO相似时，有或，①当时，∴，即|x||﹣x+2|＝|x|，∵当x＝0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|＝，∴﹣x+2＝±，解得x＝或x＝，此时N点坐标为（，0）或（，0）；②当时，∴，即|x||﹣x+2|＝3|x|，∴|﹣x+2|＝3，∴﹣x+2＝±3，解得x＝5或x＝﹣1，此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．【点评】本题主要考查二次函数，一次函数与几何综合，掌握待定系数法，勾股定理及其逆定理，相似三角形的性质并分情况讨论是解题的关键．13．（1），；（2）①的坐标为或；②点的坐标为：或或或．【分析】（1）把代入即可求出一次函数解析式，把、代入即可求出二次函数解析式；（2）①如图1，作轴，交于点，设，则，表示出PQ、AB的长，然后根据三角形的面积公式列式求解即可；②先根据勾股定理及其逆定理求出，然后分当时和当时两种情况求解即可．【解析】（1）把代入，得，，直线解析式为，∵抛物线经过原点，∴c=0．把、代入，得由，得抛物线解析式为；（2）①如图1，作轴，交于点，设，则，，AB=6+4=10，，解得，，点的坐标为或；②设，如图2，由题意得：，，，，，，当时，，即，整理得，解方程，得(舍去)，，此时点坐标为；解方程得(舍去)，，此时点坐标为；当时，，即，整理得，解方程，得(舍去)，，此时点坐标；解方程，得(舍去)，，此时点坐标为；综上所述：点的坐标为：或或或．【点评】本题考查了二次函数综合，考查了待定系数法求函数解析式，利用二次函数求最值，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，以及分类讨论的数学思想，难度较大，属中考压轴题．14．（1）；（2）；（3）或或【分析】（1）先根据对称轴求出点B的坐标，然后将抛物线设成交点式，再将点A代入求解即可；（2）设，先用待定系数法求出直线OA和直线AB的解析式，然后根据求出直线MN的解析式，再利用直线OA与直线MN联立求出N的坐标，然后利用求出面积的最大值及此时t的值，进而可求出M,N的坐标，则MN的长度可求；（3）设，分两种情况：当时，，即；当时，，即，分别建立关于m的方程求解即可得出m的值，进而可求P的坐标．【解析】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线，∴点坐标为．设抛物线解析式为，把代入得，解得，∴抛物线解析式为，即；（2）设，设直线的解析式为，把代入得，解得，∴直线的解析式为．设直线的解析式为，把代入得，解得，∴直线的解析式为．∵，∴设直线的解析式为，把代入得，解得，∴直线的解析式为．将直线OA与直线MN方程联立得，解得，∴，∴，当时，有最大值3，此时，∴；（3）设，∵，当时，，即，∴，即，则，得（舍去），，此时点坐标为，或得（舍去），，此时点坐标为；当时，，即，∴，即，则得（舍去），（舍去），或得（舍去），，此时点坐标为；综上所述，点坐标为或或．【点评】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定及性质，一元二次方程的解法，二次函数的图象和性质是解题的关键．15．（1）y＝﹣x2+2x+1；（2）；（3）t＝1或t＝2或或【分析】（1）将点A（0，1）和点B（3，-2）代入抛物物线y=-x2+bx+c中，列出方程组即可解答；（2）过点D作DM∥y轴交AB于点M，D（a，-a2+2a+1），则M（a，-a+1），表达出DM，进而表达出△ABD的面积，利用二次函数的性质得出最大值及D点坐标；（3）由题意可知，∠ACE=∠ACO=45°，则△BCD中必有一个内角为45°，有两种情况：①若∠CBD=45°，得出△BCD是等腰直角三角形，因此△ACE也是等腰直角三角形，再对△ACE进行分类讨i论；②若∠CDB=45，根据圆的性质确定D1的位置，求出D1的坐标，再对△ACE与△CD1B相似分类讨论．【解析】解：（1）将点A（0，1）和点B（3，﹣2）代入抛物物线y＝﹣x2+bx+c中得，解得∴y＝﹣x2+2x+1；（2）如图1所示：过点D作DM∥y轴交AB于点M，设D（a，﹣a2+2a+1），则M（a，﹣a+1）．∴DM＝﹣a2+2a+1﹣（﹣a+1）＝﹣a2+3a∴∵，有最大值，当时，此时

图1（3）∵OA＝OC，如图2，CF∥y轴，∴∠ACE＝∠ACO＝45°，∴△BCD中必有一个内角为45°，由题意可知，∠BCD不可能为45°，①若∠CBD＝45°，则BD∥x轴，∴点D与点B于抛物线的对称轴直线x＝1对称，设BD与直线＝1交于点H，则H（1，﹣2）B（3，﹣2），D（﹣1，﹣2）此时△BCD是等腰直角三角形，因此△ACE也是等腰直角三角形，（i）当∠AEC＝90°时，得到AE＝CE＝1，∴E（1.1），得到t＝1（ii）当∠CAE＝90时，得到：AC＝AE＝，∴CE＝2，∴E（1.2），得到t＝2

图2②若∠CDB＝45°，如图3，①中的情况是其中一种，答案同上以点H为圆心，HB为半径作圆，则点B、C、D都在圆H上，设圆H与对称左侧的物线交于另一点D1，则∠CD1B＝∠CDB＝45°（同弧所对的圆周角相等），即D1也符合题意设由HD1＝DH＝2解得n1＝﹣1（含去），n2＝3（舍去），（舍去），∴，则，（i）若△ACE∽△CD1B，则，即，解得，（舍去）（ii）△ACE∽△BD1C则，即，解得，（舍去）综上所述：所有满足条件的t的值为t＝1或t＝2或或

图3【点评】本题考查二次函数综合题，其中涉及到了待定系数法求函数解析式，二次数图象上点的坐标待征，二次函数的最值的求法以及相似三角形的判定与性质，难度比校大，另外，解答（3）小题时，一定要分类讨论，做到不重不漏．16．（1）抛物线解析式为：y＝x2﹣4x；（2）P（﹣，）；（3）点N坐标为：（，﹣）或（，﹣）．【分析】（1）依题意设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把B（5，5）代入求得解析式；（2）先求出直线BC解析式和OB解析式，可求直线l关于直线OB对称的直线解析式，联立方程组可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质列出等式，即可求解．【解析】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝ax（x﹣4），且过点B（5，5）∴5＝5a∴a＝1，∴抛物线解析式为：y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x；（2）∵点B（5，5），点C（0，﹣4），O（0，0）∴直线BC解析式为：y＝x﹣4，直线OB解析式为：y＝x，∵C点（0，-4），可得C点关于直线OB的对称点为（-4，0）设直线l关于直线OB对称的直线解析式为y=kx+b,把（-4，0），（5，5）代入得解得∴直线l关于直线OB对称的直线解析式为y＝，∴联立方程组可得：∴或∴点P（﹣，）；（3）如图，∵点B（5，5），点C（0，﹣4），O（0，0）∴OC＝4，BO＝=5，∠BOA＝45°．设点M（m，m），则点N（m，m2﹣4m），∴MN＝5m﹣m2，BM＝=（5﹣m），∵MN∥y轴，∴∠BMN＝∠BOC＝∠BOA+∠COA=135°．∵以M、N、B为顶点的三角形与△OBC相似，①当△BMN∽△BOC∴，则＝，∴m1＝5（舍去），m2＝，∴点N的坐标为（，﹣），②当△BMN∽△COB若，则＝，∴m1＝5（舍去），m2＝，∴点N坐标为（，﹣），综上所述：点N坐标为：（，﹣）或（，﹣）．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．17．（1）y=x2－2x+1；（2）四边形AECP的面积最大值为，此时点P(，)；（3）存在，点Q坐标为：(4,1)或(－3,1)．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据抛物线的对称性可得C点坐标，根据待定系数法，可得AB的解析式，根据直线上的点满足函数解析式，可得E点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大