高考数学导数题型归纳

导数题型归纳请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.解:由函数得（1）在区间上为“凸函数”，则在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于解法二：分离变量法：∵当时,恒成立,当时,恒成立等价于的最大值（）恒成立，而（）是增函数，则(2)∵当时在区间上都为“凸函数”则等价于当时恒成立解法三：变更主元法再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）-22-22例2：设函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.（二次函数区间最值的例子）解：（Ⅰ）3aa3aaa3aa3a令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+） ∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极大值=b. （Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。上是增函数. （9分）∴于是，对任意，不等式①恒成立，等价于又∴点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域；（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。解：（Ⅰ）∴，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增又∴的值域是（Ⅲ）令思路1：要使恒成立，只需，即分离变量思路2：二次函数区间最值二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例4：已知，函数．（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；（Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．解：.（Ⅰ）∵是偶函数，∴.此时，，令，解得：.列表如下：(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,+∞)+0－0+递增极大值递减极小值递增可知：的极大值为，的极小值为.（Ⅱ）∵函数是上的单调函数，∴，在给定区间R上恒成立判别式法则解得：.综上，的取值范围是.例5、已知函数（I）求的单调区间；（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想（I）1、当且仅当时取“=”号，单调递增。2、a-1-1单调增区间：a-1-1单调减区间：（II）当则是上述增区间的子集：1、时，单调递增符合题意2、，综上，a的取值范围是[0，1]。三、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；例6、已知函数，，且在区间上为增函数．求实数的取值范围；若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．解：（1）由题意∵在区间上为增函数，∴在区间上恒成立（分离变量法）即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为（2）设，令得或由（1）知，①当时，，在R上递增，显然不合题意…②当时，，随的变化情况如下表：—↗极大值↘极小值↗由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得综上，所求的取值范围为根的个数知道，部分根可求或已知。例7、已知函数（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。解：（1）∵的图像过原点，则，又∵是的极值点，则-1-1（2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，等价于有含的三个根，即：整理得：即：恒有含的三个不等实根（计算难点来了：）有含的根，则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，十字相乘法分解：恒有含的三个不等实根等价于有两个不等于-1的不等实根。题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数例7、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．（1）由题意得：∴在上；在上；在上因此在处取得极小值∴①，②，③由①②③联立得：，∴ （2）设切点Q，过令，求得：，方程有三个根。需：故：；因此所求实数的范围为：题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例8、解：函数的定义域为（Ⅰ）当m＝4时，f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(7,2)x2＋10x，＝x2－7x＋10，令，解得或.令，解得可知函数f(x)的单调递增区间为和（5，＋∞），单调递减区间为．（Ⅱ）＝x2－(m＋3)x＋m＋6,要使函数y＝f(x)在（1，＋∞）有两个极值点,＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞）1根分布问题：1则，解得m＞3例9、已知函数，（1）求的单调区间；（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．解：（1）当时，令解得，令解得，所以的递增区间为，递减区间为.当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.（2）有且仅有3个极值点=0有3个根，则或，方程有两个非零实根，所以或而当或时可证函数有且仅有3个极值点其它例题：1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是－11.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.解：（Ⅰ）令=0,得因为，所以可得下表：0+0-↗极大↘因此必为最大值,∴因此，，即，∴，∴（Ⅱ）∵，∴等价于，令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，为此只需，即，解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].2、（根分布与线性规划例子）（1）已知函数(Ⅰ)若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式；(Ⅱ)当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.解：(Ⅰ).由,函数在时有极值,∴∵∴又∵在处的切线与直线平行,∴故∴…….7分(Ⅱ)解法一:由及在取得极大值且在取得极小值,∴即令,则∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,易得,,,,,同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G,则,由得点F的横坐标为:由得点G的横坐标为:∴即解得:或(舍去)故这时直线方程为:综上,所求直线方程为:或.…………….………….12分(Ⅱ)解法二:由及在取得极大值且在取得极小值,∴即令,则∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,易得,,,,,同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:另一种情况由于直线BO方程为:,设直线BO与AC交于H,由得直线L与AC交点为:∵,,∴所求直线方程为:或3、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。 （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f(x)的解析式；（Ⅲ）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。解：由题知：（Ⅰ）由图可知 函数f(x)的图像过点(0,3)，且=0 得（Ⅱ）依题意 =–3且f(2)=5 解得a=1,b=–6 所以f(x)=x3–6x2+9x+3 （Ⅲ）依题意 f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a＞0) =3ax2+2bx–3a–2b 由=0b=–9a ① 若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当 满足f(5)＜8a＜f(1)② 由①② 得–25a+3＜8a＜7a+3＜a＜3 所以当＜a＜3时，方程f(x)=8a有三个不同的根。…………12分4、（根的个数问题）已知函数（1）若函数在处取得极值，且，求的值及的单调