二项式定理版块一二项展开式1求展开式中的指定项学生版

PAGE求展开式中的指定项

知识内容1．二项式定理求展开式中的指定项知识内容⑴二项式定理

这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数．②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．⑷几点注意①通项是的展开式的第项，这里．②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设，则得公式：．⑥通项是中含有五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．

2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”⑵二项式系数的性质：展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．当时，的图象为下图：

这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是，，．．．，，，．．．，．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．③二项式系数的和为，即．④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．

典例分析

的展开式中的第四项是．

典例分析的展开式中，的系数等于____．

的展开式中的系数是A． B． C．2 D．4

若的展开式中的系数是，则．

展开式中的系数为10，则实数等于A． B． C．1 D．2

若，则的值是（）A．B．C．D．

的展开式中项的系数是（）A．B．C．D．

若，则的值为（）A．270B．270C．90D．90

的展开式中的系数是_______（用数字作答）．

在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．

在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．

在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．

求展开式中含项系数．

在的展开式中，项的系数是．（用数字作答）

的展开式中的系数等于________．（用数字作答）

展开式中的系数是_______（用数字作答）．

在的展开式中的系数是（）A．−14B．14C．−28D．28

在的展开式中，含的项的系数是（）A．B．85C．D．274

在的展开式中，含项的系数是（用数字作答）

求展开式中的系数．

的展开式中的系数是_______（用数字作答）．

在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．

在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．

在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．

求展开式中含项系数．

在的展开式中，项的系数是．（用数字作答）

的展开式中的系数等于________．（用数字作答）

展开式中的系数是_______（用数字作答）．

在的展开式中的系数是（）A．−14B．14C．−28D．28

在的展开式中，含的项的系数是（）（A）（B）85（C）（D）274

在的展开式中，含项的系数是（用数字作答）

求展开式中的系数．

在二项式的展开式中，含的项的系数是（）A．B．C．D．

的展开式中的系数是______，的系数为______．

的展开中含的项的系数为（）A． B． C． D．

的展开式中的系数是（）A．B．C．3D．4

求展开式中的系数；

在二项式的展开式中，含的项的系数是（）A．B．C．D．

的展开式中的系数是（）A． B． C． D．

在的展开式中，的系数为（用数字作答）

在的展开式中，的系数为_____（用数字作答）

的二项展开式中含的项的系数为（）A． B． C． D．

若的二项展开式中的系数为则．（用数字作答）

设常数，展开式中的系数为，则＝_____．

已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则．

已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等．

的二项展开式的第项的系数为（）A． B． C． D．

若的二项展开式中的系数为则．（用数字作答）

若与的展开式中含的系数相等，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．

已知，则二项式展开式中含项的系数是．

在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，那么．

已知（是正整数）的展开式中，的系数小于，则______．

的展开式中的系数为．

若的展开式中，的系数是的系数的倍，求；

的展开式中，的系数与的系数之和等于__________．

已知为实数，展开式中的系数是，则_______．

二项式的展开式中第三项系数比第二项系数大，求第项的系数．

求的二项展开式中含的项的二项式系数与系数．

若的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中项的系数为_______．

令为的展开式中含项的系数，则数列的前项和为．

在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，求的值．

已知，则．

在展开式中，与的系数分别为，如果，那么的值为（）A． B． C． D．

若的展开式中的系数是，则实数的值是_______．

设常数，展开式中的系数为，则．

若展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则等于（）A． B． C． D．

设为的展开式中含项的系数，则数列的前项和为_____

已知展开式的第二项与第三项的系数比