2012年陕西高考数学理科试卷(带详解)

2012陕西理数高考真题解析选择题1.集合，，则（）A.B.C.D.【测量目标】集合的基本运算（交集）.【考查方式】集合的表示法（描述法）求集合的交集.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】故选C.2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A.B.C.D.【测量目标】函数单调性、奇偶性的判断.【考查方式】根据函数单调性和奇偶性定义采用排除法得到结果.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】A是增函数不是奇函数错误，B和C都不是定义域内的增函数排除，只有D正确，因此选D.3.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的 （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】先判断充分性、再判断必要性得到结果.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】当，或，不一定是纯虚数反之为纯虚数时，，，，因此B正确.4.已知圆，过点的直线，则（）A.与相交B.与相切C.与相离D.以上三个选项均有可能【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】根据与圆的位置关系判断与圆的位置关系.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】因为，所以圆是以为圆心，2为半径的圆，又在圆内，所以与圆相交.5.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为（）第5题图A.B.C.D.【测量目标】空间直角坐标系.【考查方式】根据空间直角坐标系用空间向量求异面直线夹角的余弦值.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】设则，故选A.6.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为，，则 （）第6题图A.，B.，平方，分子全是1，右边分母是左边最后一项的分母的底数，分子式左边后两分母底数的和，于是有：12.展开式中的系数为10，则实数的值为【测量目标】二项式定理.【考查方式】根据二项式定理及其性质求出的值.【难易程度】容易【参考答案】1【试题解析】13.如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽第13题图【测量目标】抛物线的标准方程.【考查方式】先求出抛物线标准方程，然后把坐标代入求出水面宽.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】先以拱顶为原点，建立直角坐标系，设水面和拱桥交点（2，2）则抛物线方程为，（步骤1）代入得，.（步骤2）当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作（)则代入抛物线方程得：=,因此水面宽2米.（步骤3）14.设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为【测量目标】导数的几何意义、二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】根据导函数求出切线方程，再根据限制条件画出可行域，找出满足目标的最优解，进而求出.【难易程度】容易【参考答案】2【试题解析】∴切线因而切线曲线轴围成三角形区域，其中最优解是代入得.A（不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是【测量目标】绝对值不等式的性质及其运用.【考查方式】根据绝对值不等式的性质化简，进而求出实数的取值范围.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】由题意知左边的最小值小于或等于3即可，根据不等式的性质得15.B（几何证明选做题）如图，在圆中，直径与弦垂直，垂足为，，垂足为，若，，则.【测量目标】直线和圆的位置关系相交弦定理.【考查方式】根据相似三角形转化，然后根据相交弦定理求出结果.【难易程度】容易【参考答案】5【试题解析】即又由相交弦定理得第15题图15C（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为.【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】先化为普通方程，然后利用勾股定理求解.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】化极坐标为直角坐标得直线圆由勾股定理可得相交弦长为解答题：16.（本小题满分12分）函数（）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）设，则，求的值【测量目标】三角函数的图象与性质、由图象求解析式.【考查方式】根据三角函数的图象与性质求出解析式，然后根据三角函数求值求出的值.【难易程度】中等【试题解析】（1），,（步骤1）又∵函数图象相邻对称轴的距离为半个周期，（步骤2）（2）（步骤3）（步骤4）17.（本小题满分12分）设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列.（1）求数列的公比；（2）证明：对任意，成等差数列【测量目标】等差与等比数列的通项、性质、前项和.【考查方式】由等差数列的已知项之间的关系推出数列的公比再利用等差中项法或公式法证明结论.【难易程度】中等【试题解析】（1）成等差数列，（步骤1）（舍去）.（步骤2）（2）证法一.（等差中项法）（步骤3）证法二.（公式法）（步骤4）（步骤5）成等差数列.（步骤6）18.（本小题满分12分）（1）如图，证明命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则”为真.（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）第18题图【测量目标】平面向量在平面几何中的应用、两条直线的位置关系、四种命题及其之间的关系.【考查方式】根据共面向量存在定理证明结论；通过对四种命题的理解写出其逆命题.【难易程度】容易【试题解析】（1）证法一.（向量法）如图过直线上任一点作平面的垂线（步骤1）设直线的方向向量分别为，则共面∴存在实数使（步骤2）第18题（1）图证法二（利用垂直关系证明）如图为直线上异于的点，作（步骤3）平面平面（步骤4）平面（步骤5）第18题（1）图逆命题为是平面内的一条直线，是外的和它不垂直的直线，是直线在上的投影，若，则.逆命题为真命题.（步骤6）19.（本小题满分12分）已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，点,分别在椭圆和上，，求直线的方程【测量目标】椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系.【考查方式】根据椭圆间关系求出椭圆方程；联立直线与椭圆的解析式求出直线的方程.【难易程度】中等【试题解析】（1）依题意设椭圆方程为∴∴椭圆方程为（步骤1）（2）设三点共线且不在轴上，（步骤2）∴设直线方程为，并分别代入和得：（步骤3）∴，所求直线为：或.（步骤4）20.（本小题满分13分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需要的时间（分）12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时.（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求的分布列及数学期望【测量目标】离散型随机变量的分布列与期望.【考查方式】根据离散型随机变量的特点求解.【难易程度】中等【试题解析】设顾客办理业务所需时间，，用频率估计概率的分布列如下Y12345P0.10.40.30.10.1(步骤1)事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”记作，则(步骤2)所有可能取值为0,1,2.所以(=0)=(>2)=0.5;(=1)=(=1)(>1)+(=2)=(=2)=(=1)(=1)=（步骤3）因此的分布列为：0120.50.490.01所以的期望（步骤4）21.（本小题满分14分）设函数（1）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；（2）设，若对任意，有，求的取值范围；（3）在（1）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性.【测量目标】函数与方程，导数的综合应用，函数与数列的综合运用.【考查方式】把解析式中未知数代入，结合零点存在定理证明；