《钢结构内力分析》

静定结构内力分析建筑力学1整理ppt工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁：火车的轮轴：2整理ppt楼房的横梁：阳台的挑梁：3整理ppt二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直与杆的轴线。变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。四、平面弯曲的概念：4整理ppt受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过弯曲中心）。变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。纵向对称面MP1P2q5整理ppt五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。3、按杆的横截面有无对称轴分——

有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。6整理ppt弯曲梁的简化一、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。二、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。三、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。四、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。XAYAMA7整理ppt2、固定铰支座——有二个约束反力。3、可动铰支座——有一个约束反力。YA8整理ppt五、梁的三种基本形式：M—集中力偶q(x)—分布力1、悬臂梁：2、简支梁：⑶外伸梁：—集中力Pq—均布力LLLL（L称为梁的跨长）9整理ppt六、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。10整理ppt弯曲内力的计算一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，P，a，l。

求：距A端x处截面上内力。YAXAYBPABPalAB解：①求外力XA=0以后可省略不求11整理pptABPYAXAYBmmx②求内力QMMQ∴

弯曲构件内力剪力弯矩1.弯矩：M

构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩（弯矩）。AYACYBPC12整理ppt2.剪力：Q

构件受弯时，横截面上存在平行于截面的内力（剪力）。二、内力的正负规定:①剪力Q:在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之矩为

顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。②弯矩M：使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。Q(+)Q(+)Q(–)Q(–)M(+)M(+)M(–)M(–)13整理ppt三、注意的问题1、在截开面上设正的内力方向。2、在截开前不能将外力平移或简化。四、简易法求内力：Q=∈Pi（一侧），M=∈mi。（一侧）。左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。14整理ppt[例]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。qLQ1AM1图（b）x1（2）截面法求内力。

1--1截面处截取的分离体

如图（b）示。解（1）确定支座反力（可省略）图（a）qqLab112215整理ppt2--2截面处截取的分离体如图（c）图（a）qLab1122qLQ2BM2x2图（c）16整理ppt[例]：求图所示梁1--1、2--2截面处的内力。aaaABCDPa11221.3a0.5aP解：（1）确定支座反力YCYB（2）简易法求内力1--1截面取左侧考虑：2--2截面取右侧考虑：17整理ppt1200N/m800NAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122[例]：求图所示梁1--1、2--2截面处的内力。解：（1）确定支座反力YAYB（2）简易法求内力1--1截面取左侧考虑：18整理ppt1200N/m800NAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122YAYB2--2截面取右侧考虑：19整理ppt§剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图一、剪力方程、弯矩方程：把剪力、弯矩表达为截面位置x的函数式。

Q=Q(x）————剪力方程

M=M(x)————弯矩方程

注意：不能用一个函数表达的要分段，分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。LqABx20整理ppt二、剪力图和弯矩图：剪力、弯矩沿梁轴线变化的图形。三、剪力图、弯矩图绘制的步骤：同轴力图。1、建立直角坐标系，2、取比例尺，3、按坐标的正负规定画出剪力图和弯矩图。XQXM21整理ppt四、利用剪力方程弯矩方程画出剪力图和弯矩图步骤：1、利用静力方程确定支座反力。2、根据荷载分段列出剪力方程、弯矩方程。3、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的形状描点绘出剪力图、弯矩图。4、确定最大的剪力值、弯矩值。22整理pptQ(x)xM(x)xP–PL解：①求支反力②写出内力方程③根据方程画内力图YOMO[例]求下列图示梁的内力方程并画出内力图。PABLX23整理ppt解：1、支反力（省略）LqABx2、写出内力方程3、根据方程画内力图Q(x)xM(x)x–qL24整理pptCPalABbYAYBX1X2解：1、支反力2、写出内力方程AC段：BC段：3、根据方程画内力图M(x)xQ(x)x25整理pptQ(x)xCPalABb讨论——C截面剪力图的突变值。集中力作用点处剪力图有突变，突变值的大小等于集中力的大小。（集中力P实际是作用在△X微段上）。集中力偶作用点处弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。△X26整理pptmABCL/2L/2YAYB解：1、支反力2、写出内力方程3、根据方程画内力图M(x)xQ(x)xm/Lm/2m/2x1x227整理ppt解：1、支反力2、写出内力方程1kN/m2kNABCD1m1m2mx1x3x2YAYB28整理ppt3、根据方程画内力图1kN/m2kNABCDYAYBM(x)xQ(x)x2kN2kN2kN、m2kN、m29整理ppt解：①求支反力②内力方程③根据方程画内力图Q(x)xq0LYAYBM(x)x30整理ppt§剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用一、剪力、弯矩与分布荷载间的关系1、支反力：LqYAYB2、内力方程3、讨论：x31整理ppt对dx

段进行平衡分析，有：dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)Q(x)+dQ(x)Q(x)M(x)dxAy剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。32整理pptq(x)M(x)+dM(x)Q(x)+dQ(x)Q(x)M(x)dxAy弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。33整理ppt二、微分关系的应用2、分布力q(x)=常数时——剪力图为一条斜直线；弯矩图为一条二次曲线。1、分布力q(x)=0时——剪力图为一条水平线；

弯矩图为一条斜直线。Q图：M图：（1）当分布力的方向向上时——剪力图为斜向上的斜直线；弯矩图为上凸的二次曲线。Q图：M图：M(x)34整理ppt4、集中力偶处——剪力图无变化；弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。5、弯矩极值处——剪力为零的截面、集中力作用的截面、

集中力偶作用的截面。3、集中力处——剪力图有突变，突变值等于集中力的大小；弯矩图有折角。（2）当分布力的方向向下时——剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为下凸的二次曲线。Q图：M图：M(x)35整理ppt外力无分布荷载段均布载荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0Q图特征M图特征CPCm水平直线xQQ>0QQ<0x斜直线增函数xQxQ降函数xQCQ1Q2Q1–Q2=P自左向右突变xQC无变化斜直线xM向下斜xM向上斜曲线xM坟状xM盆状自左向右折角

自左向右突变与m反xM折向与P反向MxM1M2三、剪力、弯矩与分布力之间关系的应用图36整理ppt[例]

用简易作图法画下列各图示梁的内力图。控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。四、简易法作内力图法（利用微分规律）:利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。基本步骤：1、确定支座反力；2、利用微分规律判断梁各段内力图的形状；3、确定控制点内力的数值大小及正负；4、描点画内力图。37整理ppt左端点：剪力图有突变，突变值等于集中力的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力的大小。Qxqa2–qa–xMaaqaqA解：1、确定支反力（可省略）左侧段：剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线右侧段：剪力图为斜向上的斜直线；弯矩图为上凸的二次曲线。2、画内力图Rm38整理pptM(x)xQ(x)x2kN2kN2kN、m2kN、m解：1、支反力2、画内力图AC段：剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线BD段：剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为下凸的二次曲线。CD段：剪力图为零；弯矩图为一条水平线。A、C、B截面剪力图有突变；突变值的大小为其集中力的值。1kN/mABCD2kN2m1m1mYAYB39整理ppt1m4m10kN/m20kN40kN、mCBA解：1、支反力YAYB2、画内力图CA段：剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线AB段：剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为下凸的二次曲线。C、A、B截面剪力图有突变；大小为其集中力的值。A截面弯矩图有突变；大小为其集中力偶的值。Q=0处M有极值201525Q(x)x（kN）20M(x)xkNm2.5m31.252040整理ppt解：求支反力左端点A：B点左：B点右：C点左：M的驻点：C点右：右端点D：qa2qaYAYDQxqa/2qa/2qa/2––+ABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8–+qaaa41整理ppt§按叠加原理作弯矩图二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。三、步骤：1、梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用；2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；3、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。42整理ppt[例]按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。qqPP=+AAABBBxM2xM1xM

+++=+43整理ppt定义：由若干根梁用铰连接而成用来跨越几个相连跨度的静定梁称为静定多跨梁。从构造单元来说，静定多跨梁是由简支梁、悬臂梁、伸臂梁组合而成的。此种结构形式多用于桥梁结构。一、两种基本形式简图(组成形式)

(1)单悬臂式AEDCBFG层次图AEDCBFG§多跨静定梁的内力44整理ppt(2)双悬臂式AEDCBFGJIH层次图AEDCBFGJIH(3)构造分析

静定多跨梁从构造上来讲，可分为基本部分和附属部分。

基本部分：能独立维持其几何不变性的部分。如单悬臂式中ABC部分(相对于EFG部分，CDE部分也可视为基本部分)；双悬臂式中AB部分(在竖向荷载下，EF、IJ部分视为基本部分)。45整理ppt

附属部分：依赖其它部分才能维持其几何不变性的部分。如单悬臂式中，EFG、CDE部分和双悬臂式中CD、GH部分。二、计算原则

由几何构造分析，从分层图来看，作用在基本部分上的荷载对附属部分没有影响，而作用在附属部分上的荷载对相应的基本部分有直接影响。所以有以下原则：(1)分析结构组成次序，作出层次图。(2)先计算附属部分，将附属部分上的约束力反向作用于基本部分上作为外荷载；(3)再计算基本部分的各约束力；(4)作出单跨梁(构造单元)的内力图，然后连在一起即得静定多跨梁的内力图；(5)内力图的绘制规定同前。46整理ppt三、力学特性

(1)具有超静定结构、静定结构两者的优点，截面弯矩小，抗弯刚度好；(2)避开了超静定结构的缺点，不受温度变化、支座移动(沉陷)的影响；(3)要保证较好的力学特性，关键是中间铰的设置。四、算例例作下图a所示静定多跨梁的内力图。(a)ABCFEDPa2aa2aa47整理ppt

解：AB是基本部分，然后逐步固定BD和DF。作出层次图。先计算附属部分FD，依次计算DB、BA部分。

D点反力求出后，反向作为DB梁上的荷载；求出DB梁上B点的反力后，反向作为BA梁的荷载，最后计算A端的反力。(b)ABCFEDPD(c)ABCFEDPB3P2P23P4P4P4Pa4(d)ABCFEDPa4Pa2PaM图(e)P2PP4Q图48整理ppt

当荷载作用在附属部分上时，同时对基本部分产生内力；但是当荷载作用在基本部分时，对附属部分没有影响。例

图a所示为一两跨梁，全长承受均布荷载q的作用，试求铰D的位置，使负弯矩峰值与正弯矩峰值相等。解：设铰D离B支座的距离为x。先计算附属部分AD，求出支反力YD。(a)CABDlll-xxq()()()822xlqMxlqYADD-↑-==，中49整理ppt

再计算基本部分DC，将支反力YD反向作用于DC部分的D点。此时支座B处的负弯矩，其峰值为：()222qxxxlq+-()()lxqxxxlqxlq172.0,22822=+-=-可求出：令正负弯矩峰值相等，即有：(b)ADCBDq(l-x)28(c)D0.086ql20.086ql20.086ql2

铰的位置确定后，可作出弯矩图(图c)，其中正负弯矩的峰值为：2086.0ql50整理ppt(d)CBA0.125ql20.125ql2

如果改用两个跨度为l的简支梁，则弯矩图如图d所示。由此可知，静定多跨梁的弯矩峰值比一系列简支梁的要小，两者的比值为0.086/0.125=68.8%。

所以，一般来说，静定多跨梁与一系列简支梁相比，材料的用量可少一些，但是构造要复杂一些。例图示三跨静定梁，全长承受均布荷载q作用，试确定E、F铰的位置，使中间一跨的支座负弯矩与跨中的正弯矩相等。51整理ppt

解：先计算附属部分的支反力YE、YF，将YE、YF反向作用于基本部分EF上，计算MB、MC。据题意MB=MC=MEF中，可求出x的值。llxqlqxxxlqMMCB125.081622)(22==+-==，则有：=可得：中弯矩的一半。。弯矩峰值为简支梁跨==即：中220625.016qlqlMMMEFCB==llxxAEDCBFql822)(22qlMMMMMqxxxlqMMEFCEFCBCB=＋，及，由中中==+-==52整理ppt一、刚架的特点1、由直杆组成的结构(一般梁与柱刚结而成)；2、结点全部或部分为刚结点；3、刚结点承受和传递弯矩，结点处各杆无相对转动；4、弯矩是刚架的主要内力。二、计算程序1、先计算支座反力；2、在支反力和外荷载的作用下，分别求出各杆端的内力(截面法)，作出各杆的内力图，合起来即得到整个刚架的内力图；3、最后校核。§静定平面刚架的内力53整理ppt三、内力图的作法

第一种作法：分别求出各控制截面的内力M、Q、N，按绘图规则作出各内力图。

第二种作法：在计算出各控制截面的弯矩M后，先作出M图；再由M图截取杆件，考虑杆端弯矩M(M按实际方向作用于杆端)和杆件上的外荷载，利用杆件平衡求出剪力Q，作出Q图；再由Q图截取结点，考虑Q(Q按实际方向画出)和结点荷载，利用结点平衡求出轴力N，作出轴力N图。54整理ppt四、内力图的符号规定及有关说明

1、在刚架中Q、N都规定正负号，与梁相同，但是弯矩M不规定正负号，用纵坐标的位置标明弯矩的性质，弯矩图画在受拉侧。2、结点处有不同的杆端截面。用杆件两端标号标明内力。如图所示B点是三个杆件的结点，三个杆端弯矩为MBA、MBC、MBE；三个剪力为QBA、QBC、QBE；三个轴力为NBA、NBC、NBE。EDCBAFIHG

3、正确的选取隔离体，在截面处正确的标出三个未知内力，M的方向可任意画出，Q、N的方向规定同梁。4、控制截面选取同前。55整理ppt五、举例例

悬臂式刚架作内力图(如图a)3m3m4mDCBA10kN/m30kN20kN图aMADCBA10kN/m30kN20kNYAXA图b解：采用第一种作法：1、求支座反力(如图b)XA=20kN(),YA=70kN(),MA=260kN·m()56整理ppt2、计算各杆端内力(图c)

分别考虑各杆件为隔离体CD和CA，可得出各杆端内力。XA=20kNDC10kN/m30kNNCDQCDMCDCBA20kNNCAQCAMCAYA=70kNMA=260kN·m图cNCD=0QCD=70kN，QDC=30kNMCD=-200kN·m()NCA=-70kN(压)QCA=0，QAC=20kN

MCA=200kN·m()57整理ppt3、作内力图(图d、e)4、校核。取结点或取杆件，应满足平衡条件(图f)。DCBA2020020026030M图(kN·m)图d200kN·m200kN·m70kN70kN00CC结点校核图图fDCBA307020Q图(kN)图e58整理ppt例简支式刚架，作内力图(图a)。解：采用第二种方法：1、计算支座反力XA=9kN(),YA=100.5kN(),YB=91.5kN()32kN/m9kN3m3mXAYAYBDCBA6m图a2、计算各杆端弯矩(注意：杆端弯矩的求法，在求出支反力后，利用“悬臂梁”的概念和“结点平衡的条件”，可简单求出)MCA=54kN·m()MCD=MCA

=54kN·m()MDB=27kN·m()MDC=MDB=27kN·m()59整理ppt3、作弯矩图(M图)。DCBA1445427M图(kN·m)

4、从弯矩图截取杆件，考虑杆端弯矩与外荷载求杆端剪力Q(图c)。

截取杆件AC，有：∑MA=0，得QCA=-9kN∑X=0，得QAC=QCA=-9kN截取杆件CD，有：

∑M=0，得QCD=100.5kN∑Y=0，得QDC=-91.5kN截取杆件DB，有：∑MB=0，得QDB=9kN∑X=0，得QBD=9kNQBDDB27kN·mQDB32kN/m54kN·m27kN·mQCDQDCCDQACCA54kN·mQCA图c60整理ppt5、作剪力图(Q图)。DCBAQ图(kN)+-+-100.591.59999

6、从Q图中截取结点，同时考虑结点荷载，因为在求杆端弯矩时，已利用结点弯矩平衡的条件，故此时在结点上不再画出弯矩。截取结点C(图e)有：9kN100.5kNNCDCNCA(图e)

∑X=0，得NCD=-9kN∑Y=0，得NCA=-100.5kN截取结点D(图f)有：NDB9kN91.5kNNDCD(图f)∑X=0，得NDC=-9kN∑Y=0，得NDB=-91.5kN61整理ppt7、作轴力图(N图)。当在杆件上作用有轴向荷载时应考虑在内，且N图有突变。

注意：使用第一种方法，可灵活选用隔离体，去求得各截面上的内力。DCBAN图(kN)--100.591.599-100.591.5例图a所示三铰刚架，作内力图。1kN/m3m3mXAYAYEDCBA3m3mEXE图a解：1、支反力计算此种情况下，有四个支座反力XA、YA、XE、YE。仅用三个平衡条件不能全部求出，需利用顶铰C处弯矩为零的条件计算。62整理ppt当A、E铰在同一水平线上时，可简单求出。而此时，考虑C铰右边部分，求出XE与YE之间的关系。XEDCEYE

∑MC=0，得：3XE-3YE=0。所以有：

XE=YE整体平衡：∑MA=0，得：3XE+6YE-163=0所以有：XE=2kN()，

YE=2kN()∑X=0，得：XA+6-XE=0。所示有：XA=-4kN()

∑Y=0，得：YA+YE=0。所以有：YA=-YE=-2kN()2、计算杆端弯矩MBA=MBC

=6kN·m(内侧受拉)MDE=MDC=6kN·m(外侧受拉)63整理ppt3、作M图。DCBAE6666M图(kN·m)4、由M图作Q图。5、由Q图作N图。6、值得提出的是：当三铰刚架仅受竖向荷载作用时，水平支座反力存在，且两水平支座反力大小相等、方向相反。

DCBAEN图(kN)-+-222DCBAEQ图(kN)+-+-222464整理ppt例图a所示的组合式刚架，作内力图。解：1、该刚架是带有附属部分的组合式刚架。附属部分DFE；基本部分ABCD。计算原则是先计算附属部分，再计算基本部分。10kN2kN/m10kN·mXAYAYCDCBAGFEHYE2m4m2m2m2m图aXD2kN/m10kNFEHYEYD附属部分2、计算支反力先计算附属部分DFEYE=9kN()YD=1kN()XD=8kN()65整理ppt再计算基本部分ABCDYDYAXD10kN·mXAYCDCBAG

将XD、YD反向作用于基本部分上，然后计算基本部分ABCD上的支反力。

YC=-4.5kN()

YA=5.5kN()

XA=8kN()3、计算各杆端弯矩(充分利用“悬臂梁”的概念和结点弯矩平衡)MBA=32kN·m(外拉);MBG=MBA=32kN·m(外拉);MGB=4XA-4YA=21kN·m(外拉);MGD=2YD-2YC=11kN·m(外拉);MDG=MDC=0;MFE=2×4×2=16kN·m(外拉);MFH=MFE

=16kN·m(外拉);MHF=MHD

=2YD=16kN·m(内拉)66整理ppt4、作M图。5、由M图作Q图。6、由Q图作N图(图略)。DCBAGFEH1621121323216M图(kN·m)DCBAGFEHQ图(kN)+－－++885.55.51199867整理ppt例作右图a所示门式刚架左半跨在均布荷载作用下的内力图。(a)CDABEYAYBXBXA6m6m6m4.5m1kN/m解：(1)求支座反力AABkNYYM==-=)(5.4,012960,BABAXXXXX==-=,00,BBAkNYYM==-=)(5.1

,01236

0,整体平衡：(局部平衡，考虑铰右边部分)，)(384.1),(384.1,065.60===-=kNXkNXYXMABBBC68整理ppt(2)作M图先求杆端弯矩，画于受拉一边并连以直线，再叠加简支梁的弯矩图。以DC杆为例1kN/mDCQCDQDC6.23kN·m6.33m(b)0=CDM23.65.4384.1·-=-==DADCmkNMMDC杆中点的弯矩为(c)M图CDABE1.384kN1.38kN·m6.23kN·m1.5kN4.5kN1.384kN6.23kN·mmkN·=+-38.1618123.6212M图如右图所示。69整理ppt(3)作Q图对于AD和BE两杆，可截取一边为隔离体，求出杆端剪力如下：kNQQkNQQEBBEDAAD384.1384.1==-==对于CD和CE两杆，可取杆CD和CE为隔离体，求出杆端剪力如下：1kN/mDCQCDQDC6.23kN·m6.33m(b)CEQCEQEC6.23kN·m6.33m(d)kNQQECCE985.0)23.6(33.61-=-==kNQCD86.1)3623.6(33.61-=-=kNQDC83.3)3623.6(33.61=+=70整理pptQ图如右图所示。(e)1.384kN1.384kN3.83kN1.86kN0.985kNQ图CDABE(4)作N图对于AD和BE两杆，可截取一边为隔离体，求出杆端轴力如下：)(5.1)(5.4压力压力kNNNkNNNEBBEDAAD-==-==对于CD和CE两杆，可取结点为隔离体进行计算。取D为隔离体，沿轴线CD列投影方程得：NDCD3.83kN1.384kN4.5kN(f)3110)(74.2压力kNNDC-=0sin5.4cos384.1NDC=++aa71整理ppt同样，由结点E的隔离体图，以EC为轴线列投影方程：kNNEC789.1sin5.1cos384.1-=--=aa因为杆EC上沿轴线方向没有荷载，所以沿杆长轴力不变，即NECE1.5kN1.384kN0.985kN(g)kNNCE789.1-==NEC为了求得NCD，可利用结点C的隔离体图CNCD1.86kN0.985kN1.789kN(h)NCD0cos789.1sin985.0sin86.1cos=-++-aaaaX0=得：由kNNCD839.0-=即72整理ppt(i)1.789kN0.839kN1.5kN2.74kN4.5kNN图CDABEN图如右图所示。(5)校核可以截取刚架的任何部分校核是否满足平衡条件。CNCD1.86kN0.985kN1.789kN(h)例如对结点C的隔离体(图h)可以验算0=Y。73整理ppt具有水平推力的结构称为“拱结构”。“三铰拱”是典型的静定拱。

ABfHBYBHAYAlPiP2P1C(a)PBAC(b)带拉杆的三铰拱

特点：当仅有竖向荷载作用时，仍具有水平支座反力，且HA=HB。

当支座不能可靠的抵抗水平推力时，加拉杆，将水平支座反力转化为拉杆的内力(轴力)。§8-6-1三铰拱的内力74整理ppt三铰拱的几何组成A、B铰－拱趾；C铰－拱顶铰；l－拱跨；f－拱高；、ACBC－拱杆。

主要参数：高跨比f/l－与拱的受力状态密切相关。轴线形式：抛物线、圆弧线、悬链线。后面将证明，“承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载作用的三铰拱的合理轴线是抛物线”。拱分为“平拱”和“斜拱”；在此主要研究“平拱”(A、B铰在同一水平线上)。75整理ppt

以下的分析是与同跨度的简支梁受相同荷载时的受力情况比较而进行的。

1、支座反力的计算

特点：有四个支座反力VA、VB、HA、HB，求解时需要四个方程。拱的整体有三个方程，此外C铰增加一个静力平衡方程，即：MC＝0。可解。BADCfyP1P2VBVAl1l2lHBHAa1b1d1a2b2(a)

为比较方便，考虑同跨度、同荷载的简支梁，竖向荷载下，简支梁没有水平反力，只有竖向反力VA0和VB0。而VA0和VB0的求解是简单的。二、三铰拱的计算76整理pptBADCfyP1P2VBVAl1l2lHBHAa1b1d1a2b2(a)BAP1P2DCVA0VB0(b)

考虑整体平衡：∑MA=0，∑MB=0有下式成立：)(12211aPaPlVB+=)(12211bPbPlVA+=与简支梁比较有：0BBVV=0AAVV=即：拱的竖向反力与简支梁的竖向反力是相同的。

由∑X=0，得：HA=HB=H即：A、B两点的水平推力方向相反，数量相等。77整理ppt

求：水平推力H。利用∑MC=0，考虑C左边所有的外力，则0111=--HfdPlVA是C点左边所有竖向力对C点的力矩代数和，111-dPlVA0CM等于简支梁相应截面C的弯矩。用表示简支梁截面C的弯矩。则有：00=-HfMC所以有fMHC0=

分析H的表达式可知：①推力H与拱轴的曲线形式无关，而与拱高f成反比，拱愈低推力愈大。②荷载向下时，H为正值，推力是向内的。③当f

0时，H，此时三铰共线，称为几何瞬变体系。78整理ppt2、内力计算公式

若简支梁截面D的弯矩用M0表示，剪力用Q0表示，试求拱上相应截面D的内力。对D点取矩，有M=M0-Hy

AHVADyHMP1Q0(d)AHVADP1MQ(e)NVA0ADP1Q0M0(c)式中：y是拱上D截面到AB直线的垂直距离。弯矩M以使拱的内面受拉时为正。由上式可知，由于H的存在，拱与简支梁受同荷载时相比较，拱相应截面上的弯矩M小于简支梁相应截面上的弯矩M0。剪力Q和轴力N的计算公式jjcossin0HQN--=jjsincos0HQQ-=(f)Q0cosQ0sinHsinHQ079整理ppt式中，Q0是相应简支梁D截面的剪力；是拱上D截面处轴线的切线与水平线所成的锐角，在左半拱，取正号，在右半拱，取负号。

剪力与轴力的符号规定：Q同前；N以拉力为正。3、受力特点

(1)在竖向荷载作用下，梁没有水平反力，而拱则有推力。(三铰拱的基础比简支梁的基础要坚固)(2)由于推力的存在，三铰拱截面上的弯矩比简支梁的弯矩小。(使拱更能充分发挥材料的作用，适用于较大的跨度和较重的荷载)(3)在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的截面内轴力较大，且一般为压力。(利用受压性能好的材料)80整理ppt例三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线：)(42xlxlfy-=。求支座反力，并绘内力图。解：(1)反力计算kNVVBB)(516124480=+==kNVVAA)(716128440=+==kNfMHC6444850=-==(2)内力计算

为了绘制内力图，将拱沿跨度方向分成八等分，算出每个截面的弯矩、剪力和轴力的数值。现以x=12m的截面D为例来说明计算步骤。l=16m4m8m4mBDCAxyP=4kNq=1kN/mf=4m例4-1图81整理ppt①截面D的几何参数根据拱轴线方程可得：3)1216(121644)(422=-=-=mxlxlfy5.0)12216(1644)2(422-=-=-==xllfdxdytgj因此可得出：894.0cos,447.0sin,4´326-=-=-=jjjo②截面D的内力mkNHyMM=-=-=236450

因为在集中荷载处，Q0有突变，所以要算出左右两边的剪力和轴力。kNHQN81.5894.06)447.0()1(cossin0-=----=--=

左左kNHQQ79.1)447.0(6894.01sincos0=---=-=

左左82整理pptkNHQN60.7894.06)447.0()5(cossin0-=----=--=右右kNHQQ79.1)447.0(6894.05sincos0-=---=-=

右右

具体计算时，可列出下面表格。截面几何参数Q0弯矩计算剪力计算轴力计算xytgsincosM0-HyMQ0cos-HsinQ-Q0sin-HcosN00145º0.7070.70770004.95-4.240.71-4.95-4.24-9.1921.750.7536º52´0.6000.800512-10.51.54.00-3.600.40-3.00-4.80-7.8043.000.5026º34´0.4470.894320-18.022.68-2.680-1.34-5.36-6.7063.750.2514º2´0.2340.970124-22.51.50.97-1.46-0.49-0.24-5.82-6.0684.000001-124-24.00-1.000-1.000-6.00-6.00103.75-0.25-14º2´-0.2340.970-122-22.5-0.5-0.971.460.49-0.24-5.82-6.0612-1-0.891.79-0.45-5.813.00-0.50-26º34´-0.4470.894-520-18.02-4.472.68-1.79-2.24-5.36-7.60141.75-0.75-36º52´-0.6000.800-510-10.5-0.5-4.003.60-0.40-3.00-4.80-7.80160-1-45-0.7070.707-5000-3.544.240.70-3.54-4.24-7.7883整理ppt根据上页表格可绘出此三铰拱的内力图。(a)CAB1.52.01.52.0-0.5-0.52m2m2m2m2m2m2m2mM图(kNm)0.70-0.40-1.79-11.790.49-0.4900.400.71CABQ图(kN)(b)-7.78N图(kN)BCA-9.19-7.80-6.70-6.06-6.00-6.06-5.81-7.60-7.80(c)84整理ppt

拱的合理轴线：在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为拱的合理拱轴线。在竖向荷载作用下，三铰拱合理拱轴线的方程可由下列公式推出：

因为M=M0-Hy由定义M=0，可得M0=Hy。所以此时三铰拱的合理拱轴线方程为：

y=M0/H即：在竖向荷载的作用下，三铰拱的合理轴线的纵坐标与相应简支梁弯矩图的纵坐标成正比。三、三铰拱的合理拱轴85整理ppt三个结论：1、三铰拱在沿水平线均匀分布的竖向荷载作用下，其合理拱轴线为抛物线。2、三铰拱在均匀水压力作用下，其合理拱轴线为圆弧线；而轴力等于常数。3、三铰拱在填土重量作用下，其合理拱轴线为悬链线。在实际工作中，三铰拱所受的荷载往往不是一种，此时选择合理的拱轴线应以主要荷载作用下的合理轴线作为拱的轴线。这样，在一般荷载作用下拱仍会产生不大的弯矩。但是只要注意尽可能使拱的受力状态接近无弯矩状态。86整理ppt

桁架是工业与民用建筑中常用的一种结构形式，它常用于屋盖系统中，作承重结构。此外还用于桥梁等结构中，是大跨度结构中常用的且较易制作的结构。一般来说，桁架都是空间桁架，但是当取作平面单元进行分析能代表整个结构的分析时，通常可取为平面桁架看待。按平面桁架进行计算要比按空间桁架计算简单的多，且结果满足工程的需要。需指出的是：有些实际桁架无法简化成平面桁架，需按实际空间桁架计算。§8-7-1静定平面桁架的内力87整理ppt一、桁架的特点

梁和刚架承受荷载后，主要产生弯曲内力，截面上的应力分布是不均匀的，因而材料不能充分利用。三铰拱由于有推力，弯矩小而轴力大，截面上的应力分布比较均匀。与其他结构相比，桁架具有以下特点：1、桁架是由杆件（通常是直杆，有时有曲杆）组成的格构体系；2、当荷载只作用在结点上时，各杆只有轴力；3、截面上的应力分布均匀，可以充分发挥材料的作用。88整理ppt计算时采用的假定：

1、桁架的结点都是光滑的铰结点；2、各杆的轴线都是直线并通过铰的中心；3、荷载和支座反力都作用在结点上。在采用三个计算假定的条件下，桁架杆是二力杆。既然采用假定，即是说计算结果与实际是有差别的，这样便提出了主内力和次内力的概念。

主内力：在上述假定条件下计算的杆件内力。

次内力：假定与实际差别而产生的附加内力。89整理ppt二、桁架的组成和分类1、组成ldh(3)(2)(1)(4)(5)(9)(12)(13)(8)(7)(6)(11)(10)跨度：l；桁高：h；结点：杆件连接点；节间：d－相邻结点间距；

下弦杆：(1)、(2)、(3)、(4)；上弦杆：(5)、(6)、(7)、(8)；腹杆：分为斜杆和竖杆斜杆：(12)、(13)；竖杆：(9)、(10)、(11)。90整理ppt2、分类(1)简单桁架：由基础或一个基本铰结三角形开始，依次增加二元体，所组成的桁架。

二元体：每次用不在一条直线上的两个链杆连接一个新结点，称为增加一个二元体。(2)联合桁架：由几个简单桁架联合组成的几何不变的铰结体系。联合桁架ABCⅠⅡ简单桁架AECDBFGH1234567891011121391整理ppt(3)复杂桁架：凡不属于前两类的桁架，称为复杂桁架。复杂桁架92整理ppt

通常，求桁架杆件内力，是从桁架中截取隔离体进行研究的。截取隔离体时截断的杆件用杆件的轴力代替，那么隔离体在外荷载和杆件的轴力作用下处于平衡状态，可建立平衡方程进行求解。

结点法：截取的隔离体中只包含一个结点。

截面法：截取的隔离体中至少包含两个结点。

建立平衡方程时，通常将杆件(斜杆)的轴力N分解为水平分力X和竖向分力Y，可利用下述的“比例投影关系”求解。yxlYlXlN==§8-7-2桁架内力分析的－结点法93整理ppt

轴力N和分力X、Y，知道其中的一个，便可以求其余的二个。因为杆件的几何尺寸是已知的。

(a)(b)NYXxyBAlxlyl图5-7

利用“比例投影关系”可以避免解三角函数和联立方程组。

一、结点法

以结点为研究对象，每个结点上的内力和外荷载组成一“平面汇交力系”。可有两个平衡方程：X=0，Y=0。每个结点可解出两个未知杆件的轴力。94整理ppt

为避免求解联立方程，一般在选取结点时注意：1、结点上的未知力个数≤2；2、截取隔离体(结点)从只有两杆汇交的结点或不多于两个未知力的支座开始。结点法最适宜于求解简单桁架的杆件内力。例

特殊杆内力的研究。

取结点时注意杆件内力的表示方法，指向结点为负，离开结点为正。95整理ppt(3)(2)(1)(4)(8)(7)(6)(11)(5)(9)(10)PCBGDFEA图解：(1)结点、杆件编号。(2)计算取G点为隔离体(如左图)N1N2X1Y1yxGX=0有：N2+X1=0Y=0有：Y1=0因为，Y1=0，有：X1=0故：N1=0，N2=0引出：“零杆”的概念。

结论1：无荷载作用的两杆结点，若两杆不共线，则两杆的内力为零，或者说两杆为“零杆”。96整理ppt

取E点为隔离体(如右图)N1N5X5Y5yxEX1Y1N3X=0有：X1-

X5=0即：X1=

X5则有：Y1=Y5，N1=N5Y=0有：Y5-

Y1-

N3=0即有：N3=0

结论2：无荷载作用的三杆结点，若其中两杆共线，则另一杆的内力为零(零杆)；共线两杆内力相同(大小相等、性质相同)。

取D点为隔离体(如右图)N6N7N9yxDPX=0有：N6=N9

Y=0有：N7=PN3N1yxPN2N1=N2，N3=-P97整理ppt

结论3：有荷载作用的三杆结点，若其中两杆共线、荷载作用线与第三杆共线，则共线两杆的内力相等(大小相等、性质相同)；第三杆内力等于外荷载，性质取决于荷载指向。根据以上结论可得出推论如下：推论1：有荷载作用的两杆结点，若荷载作用线与其中一杆共线，则另一杆为“零杆”。N1N2yxPN1=0，N2=-PN1N2yxPN1=0，N2=P

推论2：无荷载作用的四杆结点，若杆件两两共线，则共线两杆内力相同(大小相等，性质相同)。N3N1yxN4N2N1=N2，N3=N498整理ppt例求图示桁架各杆的内力。(3)(2)(1)(4)(8)(7)(6)(13)(5)(9)(10)YACBGDFEAH(12)(11)YB60kN40kN80kN图3m4=12m4m解：1、结点、杆件编号。2、计算支座反力XA=0kN，YA=80kN，YB=100kN。3、确定特殊杆件的内力

N3=40kN，N11=80kN，N2=N4，

N6=N7，N8=0，N10=N13。4、取结点为隔离体进行计算从A点开始，取结点A作为隔离体

N1Y1yxAX1YA=80kNN299整理ppt由Y=0有：Y5+Y1+N3=0即有：

Y5=-Y1-N3=80-40=40kN，X5=30kN，N5=50kN由X=0有：N6+X5

-X1=0即有：N6=X1-X5=-60-40=-100kN由Y=0有：Y1=-80kNkNllYNy10045)80(1111-=-==kNllYXyx6043)80(1111-=-==即有：由X=0有：N2=-

X1=60kN

取结点D为隔离体计算需要计算时)(当或，1l21211YXN+=N1Y5yxDN6N3N5X5X1Y1100整理ppt

取结点C，有：N4=N2=60kN

取结点E，有：N7=N6=-100kN取结点F，有：Y9=20kN，X9=15kN

N9=25kN，N10=75kN依次取结点G，有：

N12=-125kN取结点B，有：

N13=75kN5、校核最后取结点B进行校核N13=75kNyxBYB=100kNN12=-125kN因为满足X=0

，Y=0，所以计算结果是正确的。

6、将最终结果标在杆侧。N9Y9yxFX9N4N560kNN8N10X5Y5101整理ppt

结点法的不足之处：1、一次只能解得2个未知力；2、结点法缺乏独立性；3、若要求得某些杆的内力时，计算麻烦。

概念：截面法是用截面切断拟求杆件，从桁架中截出一部分作为隔离体，隔离体在杆件内力与外荷载共同作用下，构成平面一般力系(平衡力系)，利用平面一般力系的三个平衡方程，计算所切各杆中的未知轴力。§8-7-3桁架内力分析的－截面法102整理ppt

一般情况：如果所切各杆中未知轴力只有三个，它们既不相交于同一点，也不彼此平行，则用截面法即可直接求出这三个未知轴力。

即：平面一般力系有四组方程。===000MYX===00021MMX===00021MMY===000321MMM

通常情况：截面一次截断的杆件数≤3值得注意：正确选择方程可使计算变得简单。(1)尽量使用力矩方程，矩心取在其他两未知力杆件的交点，可直接解得第三杆的轴力。(此杆称为截面单杆)(2)在三未知力杆中，若有两杆平行，则可取垂直于两杆平行方向的投影方程，直接解得第三杆轴力。(截面单杆)103整理ppt例求图示桁架中指定杆a、b、c的轴力。2m2m4m34m=12m1m30kNYAYBCEGBcbaFDAⅠⅠ(a)解：(1)支反力计算

YA=10kN()

YB=20kN()

XA=0(2)取截面Ⅰ-Ⅰ，取左部分为隔离体。FDACNaNcNbYbXbYAOx(b)求Na

以C点为矩心，有MC=0，3Na-6YA=0则：Na=20kN104整理pptFDACNaNcNbYbXbYAOx(b)YcXc求Nb

以Nc和Na的延长线交点O为矩心，将Nb在D点分解为Xb、Yb。

求OD，设为x，可简单求得x=6m，则，=10m。OAOD

以O点为矩心，有MO=0，10Yb+6YA=0则：Yb=-6kN，所以kNlYlNbybbb2.7132

313)6(-=-=-==求Nc

将Nc在O点分解Xc和Yc。以D点为矩心，有MD=0，10Yc+4YA=0则：Yc=-4kN故：Nc=-16.5kN。关键：杆件内力可以在其轴线的延长线上任何一点进行分解。105整理ppt例求图示桁架指定杆a、b的内力。4m33m=9m10kNBHFYBCEADYAbaⅠⅠ10kN解：(1)支反力计算

YA=10kN()

YB=10kN()(2)取截面Ⅰ-Ⅰ，取左部分为隔离体。C10kNEADYANaNbNDFY=0，Yb-10+10=0有：Yb=0，即：Nb=0MD=0，4Na+3YA=0所以，Na=-7.5kN106整理ppt例几个特殊情况。

(1)若截断n根杆件，其中n-1根杆件相互平行，则可利用投影方程求出另一杆的内力。(如图a所示)

(2)若截断n根杆件，其中n-1根杆件相交于一点(直接或延长线)，则可利用力矩方程求出另一杆的内力。(如图b所示)PP2PPaⅠⅠ(a)n=4,Y=0,可求出NaaⅠⅠ(b)An=5,MA=0,可求出Na107整理ppt(3)先确定特殊杆件，再取截面。cbaFGEDCBAHP2P1ⅠⅠ(c)

如图c所示，求杆a、b、c的轴力。由图可知：取任何截面，所截断的杆件均有n>3，而又不属于前两种情况。此时，先确定零杆，再取截面。由题可知：NCD=0

NFD=NFG=0取截面Ⅰ-ⅠME=0，可求Na。Y=0，求Yc，再求NcMH=0，可求Nb。108整理ppt