第四节 动态数列因素分析

第四节动态数列因素分析第1页，共71页，2023年，2月20日，星期三一、时间数列的构成要素与模型时间序列的构成要素长期趋势（T）季节变动（S）循环波动（C）不规则波动（I）剩余法按月(季)平均法趋势剔除法线性趋势非线性趋势二次曲线指数曲线修正指数曲线Gompertz曲线Logistic曲线（一）第2页，共71页，2023年，2月20日，星期三（1）长期趋势（T）（2）季节变动（S）（3）循环变动（C）（4）随机变动（I）可解释的变动——不规则的不可解释的变动长期趋势（T）：现象受某种基本因素的作用，在较长一段时期内持续上升或下降的发展趋势。季节变动（S）：现象受自然条件和社会风俗等因素的影响，一年内随季节更替而出现的周期性波动循环变动（C）：现象受多种不同因素的影响，在若干年内发生的周期性梁绮萍起伏的波动。不规则变动（I）：现象受临时的偶然性因素或不明原因引起的非周期性、非趋势性的随机变动。第3页，共71页，2023年，2月20日，星期三（二）时间数列的经典模式：（1）加法模型：Y=T+S+C+I

计量单位相同的总量指标是对长期趋势所产生的偏差，（+）或（-）（2）乘法模型：Y=T·S·C·I

计量单位相同的总量指标是对原数列指标增加或减少的百分比一、时间数列的构成要素与模型（三）变动因素的分解：（1）加法模型用减法。例：T=Y-（S+C+I）（2）乘法模型用除法。例：T=Y/（S·C·I）第4页，共71页，2023年，2月20日，星期三二、长期趋势分析

（概念要点）现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态由影响时间序列的基本因素作用形成时间序列的主要构成要素有线性趋势和非线性趋势第5页，共71页，2023年，2月20日，星期三（一）长期趋势（T）分析——测定方法（一）修匀法： 1、时距扩大法和序时平均法（略）2、移动平均法奇数偶数移动项数新数列项数＝原数列项数－移动项数＋1（二）长期趋势的模型法（最小二乘法）以时间t为自变量构造回归模型，时期数按序随意编制线性趋势模型非线性趋势模型如:如:第6页，共71页，2023年，2月20日，星期三（二）长期趋势的测定——移动平均法

(MovingAverageMethod)第7页，共71页，2023年，2月20日，星期三1、长期趋势的测定——移动平均法

(概念要点)测定长期趋势的一种较简单的常用方法通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，计算出一系列移动平均数由移动平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到修匀作用，从而呈现出现象发展的变动趋势移动步长为K(1<K<n)的移动平均序列为第8页，共71页，2023年，2月20日，星期三2、长期趋势的测定——移动平均法

(举例说明)一般可以是：A、三项移动平均B、五项移动平均C、四项移动平均例1：某企业近10年来商品销售额资料如下（见下页）：第9页，共71页，2023年，2月20日，星期三某企业商品销售额资料单位：亿元年度商品销售额三项移动平均五项移动平均四项移动平均四项移动平均正位19931994199519961997199819992000200120024.805.336.767.386.547.007.529.148.989.35---5.636.496.896.977.027.898.559.16---------6.166.607.047.527.848.40---------6.076.506.927.117.558.168.75------------6.296.717.027.337.868.46------第10页，共71页，2023年，2月20日，星期三

A、三项移动平均：第一个平均数=（4.80+5.33+6.76）/3=5.63对正第二项的原值第二个平均数=(5.33+6.76+7.38)/3=6.49对正第三项的原值依此类推,边移动边平均，求得三项移动平均新数列共8项。

B、五项移动平均：第一个平均数=（4.80+5.33+6.76+7.38+6.54）/5=6.16对正第三项原值第二个平均数=(5.33+6.76+7.38+6.54+7.00)/5=6.60对正第四项的原值依此类推,边移动边平均，求得五项移动平均新数列共6项。

C、四项移动平均：第一个平均数=（4.80+5.33+6.76+7.38）/4=6.07对正第二和第三项原值第二个平均数=(5.33+6.76+7.38+6.54)/4=6.50对正第三和第四项的原值

第11页，共71页，2023年，2月20日，星期三依此类推,边移动边平均，求得四项移动平均新数列共7项。由于每个指标数值都和原动态数列错半期，无法直接进行对比，还必须进行一次正位平均（中心化）。即再进行一次两项移动平均，这样新序时平均数数列的各期数值才能和原动态数列对准，形成新的4项正位平均数列共6项。第12页，共71页，2023年，2月20日，星期三(实例2，应用Excel)表5-61981～1998年我国汽车产量数据年份产量(万辆)年份产量(万辆)19811982198319841985198619871988198917.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3519901991199219931994199519961997199851.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00【例】已知1981～1998年我汽车产量数据如表5-6。分别计算三年和五年移动平均趋势值，以及三项和五项移动中位数，并作图与原序列比较

第13页，共71页，2023年，2月20日，星期三移动平均法——趋势图05010015020019811985198919931997产量五项移动平均趋势值五项移动中位数汽车产量（万辆）

图11-1汽车产量移动平均趋势图（年份）第14页，共71页，2023年，2月20日，星期三3、移动平均法

—应注意的问题移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置对于偶数项移动平均需要进行“中心化”移动间隔的长度应长短适中如果现象的发展具有一定的周期性，应以周期长度作为移动间隔的长度若时间序列是季度资料，应采用4项移动平均若为月份资料，应采用12项移动平均第15页，共71页，2023年，2月20日，星期三（三）长期趋势分析的模型法第16页，共71页，2023年，2月20日，星期三1、线性趋势的确定第17页，共71页，2023年，2月20日，星期三（1）线性模型法（最小二乘法）

—概念要点与基本形式现象的发展按线性趋势变化时，可用线性模型表示线性模型的形式为—时间序列的趋势值

t—时间标号

a—趋势线在Y轴上的截距

b—趋势线的斜率，表示时间t

变动一个单位时观察值的平均变动数量第18页，共71页，2023年，2月20日，星期三（2）线性模型法—计算步骤第一步：选择趋势模型第二步：求解模型参数第三步：对模型进行检验用自相关系数检验误差项的随机性。图形判断、差分法判断、经验判断、自相关系数数列判断等。最小平方法，求参数。第四步：计算估计标准误第五步：求置信区间m为模型中的参数小样本大样本第19页，共71页，2023年，2月20日，星期三（补充）趋势（模型）线的选择观察散点图根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线一次差大体相同，配合直线二次差大体相同，配合二次曲线对数的一次差大体相同，配合指数曲线一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线对数一次差的环比值大体相同，配合Gompertz曲线倒数一次差的环比值大体相同，配合Logistic曲线第20页，共71页，2023年，2月20日，星期三（3）线性模型法

—a和b的最小二乘估计公式1.根据最小二乘法得到求解a

和b

的标准方程为取时间序列的中间时期为原点时有t=0，上式可化简为解得：解得：第21页，共71页，2023年，2月20日，星期三t值设计2.奇数项t1-2t2-1t30t41t523.偶数项t1-5t2-3t3-1t41t53t651.基本方法t11t22t33t44t55第22页，共71页，2023年，2月20日，星期三举例说明：例1：某企业某种产品1996-2002年的产量资料如下：最小平方法计算表年份产量逐期增长量年度顺序tyt2y199619971998199920002001200245.357.569.482.995.7108.3120.4--12.311.913.512.812.612.1123456745.2115.0208.2331.6478.5649.8842.81491625364944.9057.5270.1582.7795.40108.02120.65∑579.4--282671.1140579.41第23页，共71页，2023年，2月20日，星期三简捷法计算参数a、b：

取t＝0，则∑t＝0联立方程组：

579.41=7a+28b2671.1=28a+140b

b=(7*2671.1-28*579.41)/(7*140-282)=2474.5/196=12.625a=579.41/7-12.625*28/7=82.77-50.5=32.272

将参数值代入直线趋势模型:

=32.272+12.265t则第24页，共71页，2023年，2月20日，星期三举例说明：例3：某企业某种产品1996-2002年的产量资料如下：最小平方法简捷法计算表年份产量年度顺序tyt2y199619971998199920002001200245.357.569.482.995.7108.3120.4-3-2-10123-135.6-115.0-69.4095.7216.6361.2941014944.9057.5270.1582.7795.40108.02120.65∑579.402671.1140579.41根据资料,求参数值:

将参数值代入直线趋势模型:

=82.722+12.625t第25页，共71页，2023年，2月20日，星期三（4）线性模型法—(实例及计算过程)表11-8汽车产量直线趋势计算表年份时间标号t产量(万辆)Yit×Ytt2趋势值19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.0017.5639.2671.94126.56218.60221.88330.26515.76525.15514.00785.621280.041688.051913.662179.052360.322690.252934.001491625364964811001211441691962252562893240.009.5019.0028.5038.0047.5057.0066.5076.0085.5095.00104.51114.01123.51133.01142.51152.01161.51合计1711453.5818411.9621091453.58【例11.10】利用表11-6中的数据，根据最小二乘法确定汽车产量的直线趋势方程，计算出1981～1998年各年汽车产量的趋势值，并预测2000年的汽车产量，作图与原序列比较第26页，共71页，2023年，2月20日，星期三线性模型法—计算结果根据上表得a和b结果如下汽车产量的直线趋势方程为$Yt

=-9.4995+9.5004t$Y2000=-9.4995+9.5004

×20=180.51(万辆)2000年汽车产量的预测值为第27页，共71页，2023年，2月20日，星期三线性模型法

—趋势图（Excel制作）05010015020019811985198919931997汽车产量趋势值

图11-2汽车产量直线趋势（年份）汽车产量（万辆）第28页，共71页，2023年，2月20日，星期三2、非线性趋势的确定（略）第29页，共71页，2023年，2月20日，星期三现象的发展趋势为抛物线形态一般形式为二次曲线(SecondDegreeCurve)

概念要点

a、b、c为未知常数根据最小二乘法求得第30页，共71页，2023年，2月20日，星期三二次曲线—计算公式

取时间序列的中间时期为原点时有根据最小二乘法得到求解a、b、c

的标准方程为第31页，共71页，2023年，2月20日，星期三二次曲线

—(实例)

【例11.11】

已知我国1978～1992年针织内衣零售量数据如表11-9。试配合二次曲线，计算出1978～1992年零售量的趋势值，并预测1993年的零售量，作图与原序列比较表11-91978～1992年针织内衣零售量年份零售量(亿件)年份零售量(亿件)197819791980198119821983198419857.09.19.710.811.712.113.114.3198619871988198919901991199214.414.815.012.311.29.48.9第32页，共71页，2023年，2月20日，星期三二次曲线

—计算过程

表11-10针织内衣零售量二次曲线计算表年份时间标号t零售量(亿件)

Ytt×Ytt2t2Ytt4趋势值197819791980198119821983198419851986198719881989199019911992-7-6-5-4-3-2-1012345677.09.19.710.811.712.113.114.314.414.815.012.311.29.48.9-49.0-54.6-48.5-43.2-35.1-24.2-13.1014.429.645.049.256.056.462.349362516941014916253649343.0327.6242.5172.8105.348.413.1014.459.2135.0196.8280.0338.4436.12401129662525681161011681256625129624016.58.410.011.312.313.213.714.014.013.813.312.611.610.38.8合计0173.845.22802712.69352173.8第33页，共71页，2023年，2月20日，星期三二次曲线

—

计算结果根据计算表得a

、

b、c

的结果如下针织内衣零售量的二次曲线方程为$Yt

=13.9924+0.16143t–0.128878t2$Y1993=13.9924+0.16143

×8–0.128878×82

=7.03(亿件)1993年零售量的预测值为第34页，共71页，2023年，2月20日，星期三二次曲线

(趋势图)048121619781980198219841986198819901992零售量趋势值零售量（亿件）图11-3针织内衣零售量二次曲线趋势（年份）第35页，共71页，2023年，2月20日，星期三用于描述以几何级数递增或递减的现象一般形式为指数曲线

(Exponentialcurve)

a、b为未知常数若b>1，增长率随着时间t的增加而增加若b<1，增长率随着时间t的增加而降低若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限第36页，共71页，2023年，2月20日，星期三指数曲线

(a、b的求解方法)取时间序列的中间时期为原点，上式可化简为采取“线性化”手段将其化为对数直线形式根据最小二乘法，得到求解lga、lgb

的标准方程为第37页，共71页，2023年，2月20日，星期三指数曲线

(实例及计算结果)【例11.12】根据表11-6中的资料，确定1981～1998年我国汽车产量的指数曲线方程，求出各年汽车产量的趋势值，并预测2000年的汽车产量，作图与原序列比较汽车产量的指数曲线方程为2000年汽车产量的预测值为第38页，共71页，2023年，2月20日，星期三指数曲线(趋势图)05010015020025019811985198919931997汽车产量趋势值图11-4汽车产量指数曲线趋势（年份）汽车产量（万辆）第39页，共71页，2023年，2月20日，星期三指数曲线与直线的比较比一般的趋势直线有着更广泛的应用可以反应出现象的相对发展变化程度上例中，b=1.14698表示1981～1998年汽车产量趋势值的平均发展速度不同序列的指数曲线可以进行比较比较分析相对增长程度第40页，共71页，2023年，2月20日，星期三在一般指数曲线的基础上增加一个常数K一般形式为修正指数曲线

(Modifiedexponentialcurve)K、a、b为未知常数K>0，a≠0，0<b≠1修正指数曲线用于描述的现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终则以K为增长极限第41页，共71页，2023年，2月20日，星期三修正指数曲线

(求解k、a、b的三和法)令趋势值的三个局部总和分别等于原序列观察值的三个局部总和趋势值K无法事先确定时采用将时间序列观察值等分为三个部分，每部分有m个时期第42页，共71页，2023年，2月20日，星期三修正指数曲线

(求解k、a、b的三和法)根据三和法求得设观察值的三个局部总和分别为S1，S2，S3第43页，共71页，2023年，2月20日，星期三修正指数曲线

(实例)【例11.13】已知1978~1995年我国小麦单位面积产量的数据如表11-12。试确定小麦单位面积产量的修正指数曲线方程，求出各年单位面积产量的趋势值，并预测2000年的小麦单位面积产量，作图与原序列比较表11-121978～1995年小麦单位面积产量数据年份单位面积产量(公斤/公顷)年份单位面积产量(公斤/公顷)197819791980198119821983198419851986184521451890211524452805297029403045198719881989199019911992199319941995298529703045319531053331351934263542第44页，共71页，2023年，2月20日，星期三修正指数曲线

（计算结果）解得K、a

、b如下第45页，共71页，2023年，2月20日，星期三修正指数曲线

（计算结果）小麦单位面积产量的修正指数曲线方程为$Yt

=3659.149–2230.531(0.87836)t2000年小麦单位面积产量的预测值为$Y2000

=3659.149–2230.531(0.87836)23

=

3546.20

(kg)第46页，共71页，2023年，2月20日，星期三修正指数曲线

(趋势图)0100020003000400019781982198619901994单位面积产量趋势值K

图11-5小麦单位面积产量修正指数曲线趋势（年份）产单位面积量（公斤/公顷）K=3659.149第47页，共71页，2023年，2月20日，星期三以英国统计学家和数学家B·Gompertz而命名一般形式为K、a、b为未知常数K>0，0<a≠1，0<b≠1龚铂茨曲线

(Gompertzcurve)所描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线两端都有渐近线，上渐近线为YK,下渐近线为Y=0第48页，共71页，2023年，2月20日，星期三将其改写为对数形式Gompertz曲线

(求解k、a、b的三和法)仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出lga、lgK、b取lga、lgK的反对数求得a和K令：则有：第49页，共71页，2023年，2月20日，星期三Gompertz曲线

(实例)【例11.14】

根据表11-12的数据，试确定小麦单位面积产量的Gompertz曲线方程，求出各年单位面积产量的趋势值，并预测2000年的小麦单位面积产量，作图与原序列比较第50页，共71页，2023年，2月20日，星期三Gompertz曲线

（计算结果）第51页，共71页，2023年，2月20日，星期三Gompertz曲线

（计算结果）小麦单位面积产量的Gompertz曲线方程为2000年小麦单位面积产量的预测值为第52页，共71页，2023年，2月20日，星期三Gompertz曲线

(趋势图)0100020003000400019781982198619901994单位面积产量趋势值KK=3566.04

图11-6小麦单位面积产量Gompertz曲线趋势（年份）（公斤/公顷）第53页，共71页，2023年，2月20日，星期三罗吉斯蒂曲线

(LogisticCurve)K、a、b为未知常数K>0，a>0，0<b≠11838年比利时数学家Verhulst所确定的名称该曲线所描述的现象的特征与Gompertz曲线类似3.其曲线方程为第54页，共71页，2023年，2月20日，星期三Logistic曲线

(求解k、a、b的三和法)取观察值Yt的倒数Yt-1当Yt-1

很小时，可乘以10的适当次方

a、b、K的求解方程为第55页，共71页，2023年，2月20日，星期三（一）季节变动及其测定目的（二）季节变动的分析方法与原理（三）季节变动的调整三、季节变动分析第56页，共71页，2023年，2月20日，星期三（一）季节变动及其测定目的季节变动现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动各年变化强度大体相同、且每年重现指任何一种周期性的变化时间序列的又一个主要构成要素测定目的确定现象过去的季节变化规律消除时间序列中的季节因素第57页，共71页，2023年，2月20日，星期三（二）季节变动的分析原理-1将季节变动规律归纳为一种典型的季节模型季节模型由季节指数所组成季节指数的平均数等于100%根据季节指数与其平均数(100%)的偏差程度测定季节变动的程度如果现象没有季节变动，各期的季节指数等于100%如果某一月份或季度有明显的季节变化，各期的季节指数应大于或小于100%第58页，共71页，2023年，2月20日，星期三季节模型时间序列在各年中所呈现出的典型状态，这种状态年复一年以相同的形态出现由季节指数组成，各指数刻划了现象在一个年度内各月或季的典型数量特征以各个指数的平均数等于100%为条件而构成如果分析的是月份数据，季节模型就由12个指数组成；若为季度数据，则由4个指数组成（二）季节变动的分析原理-2第59页，共71页，2023年，2月20日，星期三季节指数反映季节变动的相对数以全年月或季资料的平均数为基础计算的平均数等于100%月(或季)的指数之和等于1200%(或400%)指数越远离其平均数(100%)季节变动程度越大计算方法有按月(季)平均法和趋势剔出法（二）季节变动的分析原理-3第60页，共71页，2023年，2月20日，星期三1、按月(季)平均法--(原理和步骤)

根据原时间序列通过简单平均计算季节指数假定时间序列没有明显的长期趋势和循环波动计算季节指数的步骤计算同月(或同季)的平均数计算全部数据的总月(总季)平均数计算季节指数(S)

第61页，共71页，2023年，2月20日，星期三2、举例说明：例5:某企业毛线销售情况如下某企业毛线销售季节变动表月份第一年第二年第三年三年平均季节指数(%)12345678910111220021015090706050418085110190200210130808070493890901202102302401701009050605010011010023021022015090806053439095110210178.6187.1127.676.568.051.045.136.676.580.893.6178.6合计平均1336111.331367113.921530127.501411117.581200.0100.0第62页，共71页，2023年，2月20日，星期三计算过程：第一，计算各年同月平均数。如1月份为（200+200+230）/3=210，其余月份类推。第二，计算所有各月的总平均数。把3年36个月的资料全部相加后平均，或用12个月平均数求总平均数，即（111.3+113.92+127.50）/3=117.58.第三,计算各月平均数与总平均数的对比值,得出各月的季节指数.如1月份为210/117.28*100%=178.6%.其余月份类推3、优缺点：优点：计算简便，容易理解缺点：不够精确，没有消除长期趋势的影响第63页，共71页，2023年，2月20日，星期三2、趋势剔除法--原理和步骤

2、计算季节指数的步骤计算移动平均趋势值(T)从序列中剔出趋势值(Y/T)