第四组合数学

第四组合数学第1页，共23页，2023年，2月20日，星期三4.1群的概念(1)群定义给定集合G和G上的二元运算·，满足下列条件称为群。(a)封闭性：若a,b∈G,则存在c∈G,使得a·b=c.(b)结合律成立：任意a,b,c∈G,有(a·b)·c=a·(b·c).(c)有单位元：存在e∈G,任意a∈G.a·e=e·a=a.(d)有逆元：任意a∈G,存在b∈G,a·b=b·a=e.b=a.由于结合律成立，(a·b)·c=a·(b·c)可记做a·b·c.

例证明对于a1,a2,…,an的乘积，结合律成立. a·a·…·a=a(共n个a相乘).-1n第2页，共23页，2023年，2月20日，星期三4.1群的概念(2)简单例子例

G={1,-1}在普通乘法下是群。例

G={0,1,2,…,n-1}在modn的加法下是群.例二维欧氏空间所有刚体旋转T={Ta}构成群。其中Ta

=cosasina-sinacosaTbTa=cosbsinbcosasina-sinbcosb-sinacosa第3页，共23页，2023年，2月20日，星期三4.1群的概念=cosacosb-sinasinbsinacosb+cosasinb-sinacosb-cosasinbcosacosb-sinasinb=cos(a+b)sin(a+b)=Ta+b-sin(a+b)cos(a+b)从而有(a)封闭性;

(b)结合律成立：(TαTβ)Tγ=Tα(TβTγ)=TαTβTγ;(c)有单位元：

T0=;(d)有逆元：Ta=T-a

=

cosa-sinasinacosa1001第4页，共23页，2023年，2月20日，星期三4.1群的概念前两例群元素的个数是有限的，所以是有限群；后一例群元素的个数是无限的，所以是无限群。有限群G的元素个数叫做群的阶,记做|G|。若群G的任意二元素a,b恒满足ab=ba。称G为交换群，或Abel群。设G是群,H是G的子集,若H在G原有的运算之下也是一个群,则称为G的一个子群。第5页，共23页，2023年，2月20日，星期三4.1群的概念基本性质单位元唯一e1e2=e2=e1消去律成立ab=ac→b=c,ba=ca→b=c每个元的逆元唯一aa=aa=e,

ab=ba=e,aa=ab,a=b(d)(ab….c)=c…ba.c…baab…c=e-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1第6页，共23页，2023年，2月20日，星期三4.1群的概念(e)G有限，a∈G，则存在最小正整数r，使得a=e.且a=a.r-1r-1第7页，共23页，2023年，2月20日，星期三第8页，共23页，2023年，2月20日，星期三4.2置换群置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以用之表示。置换：[1,n]到自身的1-1变换。n阶置换。[1,n]目标集。(),a1a2…an是[1,n]中元的一个排列。n阶置换共有n!个，同一置换用这样的表示可有n!个表示法。例如p1=()=()，n阶置换又可看作[1,n]上的一元运算，一元函数。12…na1a2…an1234312431422341第9页，共23页，2023年，2月20日，星期三4.2置换群置换乘法P1=(),P2=() P1P2=()()=() 注意：既然先做P1的置换，再做P2的置换就规定了若作为运算符或函数符应是后置的。这与一般习惯的前置不一样。一般而言，对[1,n]上的n阶置换，i[1,n]要写成(i)P1P2，而不是P1P2(i).(i)P有时写成i在上面例中，1→3→2,2→1→4,3→2→3,4→4→1.也可写(1)P1P2=2,(2)P1P2=4,(3)P1P2=3,(4)P1P2=1.P2P1=()()=()≠P1P2.1234312412343124123443213124243112342431P1P1P2P1P1P2P2P2123443214321421312344231第10页，共23页，2023年，2月20日，星期三4.2置换群置换群具有的性质

(a)封闭性()()=()(b)可结合性(()())()=()=()(()())(c)有单位元e=() (d)()=()12…na1a2…ana1a2…anb1b2…bn12…nb1b2…bn12…na1a2…ana1a2…anb1b2…bn12…na1a2…ana1a2…anb1b2…bn12…nc1c2…cnb1b2…bnc1c2…cnb1b2…bnc1c2…cn12…n12…n12…na1a2…ana1a2…an12…n-1定义：置换群[1,n]上的所有n阶置换集合及在其上定义的置换乘法构成的代数系统是一个群，该群成为置换群。

第11页，共23页，2023年，2月20日，星期三4.2置换群(2)例等边三角形的运动群。 绕中心转动120，不动， 绕对称轴翻转。P1=(),P2=(),P3=(),P4=(),P5=(),P6=()。 [1,n]上的所有置换(共n!个)构成一个群，称为对称群，记做Sn. 注意：一般说[1,n]上的一个置换群，不一定是指Sn.但一定是Sn的某一个子群。123123123231123312123132123321123213123第12页，共23页，2023年，2月20日，星期三第13页，共23页，2023年，2月20日，星期三4.3循环、奇循环与偶循环(a1a2…am)=(

)

称为置换的循环表示。于是(

)=(14523),(

)=(132)(45),(

)=(154)(2)(3).(a1a2…am)=(a2a3…ama1)=…=(ama1…am-1)有m种表示方法。a1a2…am-1ama2a3…ama1123454315212345312541234552314第14页，共23页，2023年，2月20日，星期三4.3循环、奇循环与偶循环若两个循环无共同文字，称为不相交的，不相交的循环相乘可交换。如(132)(45)=(45)(132).若p=(a1a2…am),则p=(1)(2)…(n)=e.定理任一置换可表成若干不相交循环的乘积。n第15页，共23页，2023年，2月20日，星期三第16页，共23页，2023年，2月20日，星期三第17页，共23页，2023年，2月20日，星期三4.3循环、奇循环与偶循环例一副扑克牌，一分为二，交错互相插入(洗牌)，这样操作一次相当于一个置换p。i=p(i+1)/2,i=1,3,5,…,51.i/2+26,i=2,4,6,…,52.p=(),第i个位置被i号牌占据.pipp第18页，共23页，2023年，2月20日，星期三4.3循环、奇循环与偶循环26...5332115252...296284272p=(1)(227143317953)(42840464925137)(62915830412111)(1031163443223719)(1232424724384523)(1835)(2036444850512639)(52)p=e2阶循环叫做对换。8第19页，共23页，2023年，2月20日，