结构力学 位移法

结构力学位移法AllRightsReserved聊城大学建筑工程学院®第1页，共103页，2023年，2月20日，星期四●

本章内容简介:9.1位移法的基本概念9.2等截面直杆的转角位移方程9.3位移法的基本未知量9.4位移法的基本结构及位移法方程9.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力9.6用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力9.7用直接平衡法计算超静定结构的内力*9.8混合法第2页，共103页，2023年，2月20日，星期四9.1位移法基本概念力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建于上世纪初。结构：外因→内力~位移——恒具有一定关系力法——以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立力法方程，求出内力后再计算位移。位移法——以某些结点位移为基本未知量，由平衡条件

建立位移法方程，求出位移后再计算内力。一、解决超静定问题的两种基本方法的对比第3页，共103页，2023年，2月20日，星期四力法适用性广泛，解题灵活性较大（可选用各种各样的基本结构）。位移法在解题上比较规范，具有通用性，因而计算机易于实现。位移法可分为：手算——位移法 电算——矩阵位移法 2.基本未知量不同，这是力法与位移法最基本的区别。力法：以多余未知力为基本未知量位移法：以结点位移为基本未知量1.优缺点第4页，共103页，2023年，2月20日，星期四3.适用范围不同力法：超静定结构位移法：超静定结构，也可用于静定结构。

一般用于结点少而杆件较多的刚架。例：第5页，共103页，2023年，2月20日，星期四二、用位移法计算超静定结构的思路例如：用位移法求解如图所示的刚架。1.为了使问题简化，作如下计算假定：1）在受弯杆件中，略去杆件的轴向变形和剪切变形的影响。2）假定受弯杆两端之间的距离保持不变。由此可知，结点1只有转角Z1，而无线位移。因节点1为刚节点，汇交于结点1的两杆杆端也应有同样的转角Z1。第6页，共103页，2023年，2月20日，星期四忽略轴向变形＝＋这两个结构都可以用力法求解第7页，共103页，2023年，2月20日，星期四（1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时及荷载等因素作用下的内力（2）确定以上结构的哪些位移作为基本未知量（3）如何求出这些位移?第8页，共103页，2023年，2月20日，星期四ABCPθAθA荷载效应包括：内力效应：M、Q、N；位移效应：θAABCPθAθA附加刚臂Step1：附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩。Step2：对结点施加产生相应的角位移，以实现结点位移状态的一致性。产生相应的附加约束反力。ABC实现位移状态可分两步完成第9页，共103页，2023年，2月20日，星期四Step3：叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；由于原结构没有附加刚臂：因此附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出求解结点位移的基本方程。ABCPθAθAStep1：附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生附加力矩。Step2：对结点施加产生相应的角位移，以实现结点位移状态的一致性，产生相应的附加约束反力。ABC第10页，共103页，2023年，2月20日，星期四使结点1正好转动一个转角Z1时，使所加的附加约束不再起作用，其数学表达式为：R1=0

上式意义：外荷载和实际应有的转角Z1共同作用于基本结构时，附加约束反力矩为零（刚臂不起作用）。根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：R1＝R11＋R1P=0（a)

R11为强制使结点发生转角Z1时所产生的约束反力矩。R1P为荷载作用下所产生的约束反力矩。R11=r11Z1Z1=1第11页，共103页，2023年，2月20日，星期四

为单位位移（转角Z1＝1）产生的约束反力矩。上式的物理意义是，基本结构由于转角Z1和外荷载FP共同作用，在附加刚臂1处所产生的约束反力矩总和等于零（使a,b两图叠加后附加刚臂不起作用）。由此方程可得：可见，只要有了系数r11及自由项R1P，Z1值很容易求得。为了将式(a)写成未知量Z1的显式，将R11写为：式（a）变为：第12页，共103页，2023年，2月20日，星期四为了确定上式中的R1P

和r11，可先用力法分别求出各单跨超静定梁在梁端、柱顶1处转动Z1=1时产生的弯矩图及外荷载作用下产生的弯矩图。求系数和自由项第13页，共103页，2023年，2月20日，星期四r11Z1=11）求r11和M1第14页，共103页，2023年，2月20日，星期四P1AR1PPMP图2）求R1P和MP第15页，共103页，2023年，2月20日，星期四现取图、MP图中的结点1为隔离体，由力矩平衡方程，求出：第16页，共103页，2023年，2月20日，星期四将这些结果代入位移法基本方程中解方程，即得最后，根据叠加原理，即可求出最后弯矩图。7.解方程，画内力图第17页，共103页，2023年，2月20日，星期四

1.在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点固定，从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；２.人为地迫使原先被“固定”的结点恢复到结构原有的位移。通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力和变形。综上所述，位移法的基本思路是：PM=R1PR11=r11Z1=-R1P固定节点使之不动（a）（b）释放节点，使节点发生实际位移第18页，共103页，2023年，2月20日，星期四9.2等截面直杆的转角位移方程应用位移法需要解决的首要问题就是，要确定杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系(杆件的转角位移方程)。利用力法的计算结果，由叠加原理导出三种常用等截面直杆的转角位移方程。一、杆端内力及杆端位移的正负号规定1、杆端内力的正负号规定杆端弯矩：对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负。对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。第19页，共103页，2023年，2月20日，星期四2、杆端位移的正负号规定1）杆端转角（角位移）:以顺时针为正，反之为负。2）线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动的线位移为正，反之为负。例如，图中ΔAB为正。第20页，共103页，2023年，2月20日，星期四二、单跨超静定梁的形常数和载常数位移法中，常用到图示三种基本的等截面单跨超静定梁，它们在荷载、支座移动或温度变化作用下的内力可通过力法求得。a)两端固定b)一端固定一端铰支c)一端固定一端定向支承由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数。其中的杆端弯矩也常称为固端弯矩，用和表示；杆端剪力也常称为固端剪力，用和表示。常见荷载和温度作用下的载常数列入表中(书P5)。第21页，共103页，2023年，2月20日，星期四由杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数，见书P279，7-7式。表中引入记号i=EI/l，称为杆件的线刚度。a)两端固定b)一端固定一端铰支c)一端固定一端定向支承第22页，共103页，2023年，2月20日，星期四三、转角位移方程

1、两端固定梁

由叠加原理可得：BAQFABQFABMMBABABqABPFEI=/lAlMB1P+++t1t2固端弯矩第23页，共103页，2023年，2月20日，星期四2、一端固定另一端铰支梁

第24页，共103页，2023年，2月20日，星期四3、一端固定另一端定向支承梁第25页，共103页，2023年，2月20日，星期四1）两端固定梁2）一端固定另一端铰支梁3）一端固定另一端定向支承梁应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：第26页，共103页，2023年，2月20日，星期四用位移法求解超静定结构例：试用位移法-直接平衡法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。解：1)基本未知量为刚结点B点的角位移Z1，基本体系如图（B）所示。

2)用转角位移方程写出个杆端内力如下（其中）3)从原结构中取出图c隔离体，由平衡条件建立方程并求解。由图c的平衡条件：得：4)回代入2）得各杆端弯矩，并绘最后弯矩图。第27页，共103页，2023年，2月20日，星期四9.3位移法的基本未知量一、位移法的基本未知量据位移法思路：先锁住节点不动（角位移或线位移），再放松节点使之发生实际位移，最后叠加。所以，位移法选取结点的独立位移（独立角位移和独立线位移）作为其基本未知量，用广义位移Zi表示二、确定位移法的基本未知量1、基本未知量的总数目位移法基本未知量的总数目（记作n）等于结点的独立角位移数（记作ny）与独立线位移数（记作nl）之和，即第28页，共103页，2023年，2月20日，星期四2、结点独立角位移数结点独立角位移数（ny）一般等于刚结点数加上组合结点（半铰结点）数。但须注意，1）当有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹性支座的转角时，应一并计入在内作为基本未知量。2）至于结构固定支座或定向支座处，因其转角等于零或为已知的支座位移值；铰结点或铰支座处，因其转角不独立（也没必要），所以都不作为位移法的基本未知量。第29页，共103页，2023年，2月20日，星期四nY=4第30页，共103页，2023年，2月20日，星期四3、结点独立线位移数(1)先简化结构1）除特殊指明外，梁与刚架一般不考虑由于轴向变形引起的杆件的伸缩(假定1)2）不考虑由于弯曲变形而引起的杆件两端的接近(假定2)

因此，可认为这样的受弯直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变，且结点线位移的弧线可用垂直于杆件的切线来代替第31页，共103页，2023年，2月20日，星期四把刚架所有刚节点、固定支座、抗转动弹性支座均改为铰结（及所有节点或支座中抗转动约束铰化），如果原体系有节点线位移则铰化后将变为几何可变体系，通过增设链杆使此可变体系变为几何不变体系（具体问题可根据下述“最终目的”增设）需要增设的最少链杆数即为原结构独立节点线位移数目。“最终目的”:是能够解出结构内力。一般增设目标：是找出所有节点中可能发生线位移的节点，通过增设支杆使之沿此方向不动，即增设支杆后使所有节点在任意方向上都没有线位移(2)节点线位移确定方法——铰化结点，增设链杆第32页，共103页，2023年，2月20日，星期四EDABFGCCBADEFG第33页，共103页，2023年，2月20日，星期四3、两点说明说明1：当刚架中有需要考虑轴向变形（）的二力杆时则考虑二力杆的轴向变形。例如：下图结构要求考虑水平直杆的轴向变形，第34页，共103页，2023年，2月20日，星期四n=ny+nl=2+4=6EI=常数,EA=常数

基本结构第35页，共103页，2023年，2月20日，星期四说明2：当刚架中有刚性杆时()的情况1)刚性杆两端的刚结点转角，可不作为基本未知量。因为若该杆两端的线位移确定了，则杆端的转角也就随之确定；2)若刚性杆为竖直柱，则与基础相连的刚性柱可视为地基扩大的刚片处理(即：对其它相连杆件的约束作用相当于固定支座或固定铰支座)。3)刚性杆与基础固结处以及与其他刚性杆刚结处，在“铰化结点”时此类结点均不改为铰结，以反映刚片无任何变形的特点。第36页，共103页，2023年，2月20日，星期四综上所述，对于有刚性杆的刚架:1）ny等于全为弹性杆汇交的刚结点数与组合结点数之和2）nl等于使仅将弹性杆端改为铰结的体系成为几何不变所需增设的最少链杆数。第37页，共103页，2023年，2月20日，星期四n=ny+nl=2+1=3a)原结构及其基本未知量b)“铰化结点，增设链杆”第38页，共103页，2023年，2月20日，星期四例1、求图示结构的超静定次数和位移法基本未知量

数目分别为（）（A）4；3（B）4；4（C）5；3（D）5；4三、求位移法基本未知量举例第39页，共103页，2023年，2月20日，星期四n=ny+nl=0+1=1(若:EI1=∞)(若:EI1≠∞)

n=ny+nl=2+1=3

基本结构例2：第40页，共103页，2023年，2月20日，星期四n=ny+nl=7+3=10

基本结构例3：节点任意方向的线位移都作为基本未知量第41页，共103页，2023年，2月20日，星期四n=ny+nl=4+2=6

基本结构组合结点刚架有组合结点例4：第42页，共103页，2023年，2月20日，星期四刚架有内力静定的杆件ABCDEABCDE

基本结构n=ny+nl=2+1=3“铰化节点、增设链杆”根据“最终目标”施加链杆，不再是变为“几何不变体系”这个一般目标。E点竖向位移不独立，可以作为基本未知量，但没必要例5：第43页，共103页，2023年，2月20日，星期四AABBDDCCEE

基本结构n=ny+nl=2+0=2第44页，共103页，2023年，2月20日，星期四用位移法计算桁架结构

基本结构n=ny+nl=0+5=5位移法解决桁架结构未知量数目较多，手算可算但不具有优势，一般机算可；手算一般采用力法。例6：第45页，共103页，2023年，2月20日，星期四ABCDEF原结构ABCDEF基本结构ABCD213ABCD213n=ny+nl=2+1=3原结构铰化节点，增设链杆例7：例8：第46页，共103页，2023年，2月20日，星期四9.4位移法的基本结构及位移法方程

一、位移法的基本结构位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚臂和附加支杆）后得到的三种基本超静定杆的综合体。1）所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结点和组合结点上，人为地加上一个能阻止其角位移(但并不阻止其线位移)的附加约束，用黑三角符号“”表示。2）所谓附加支杆，就是在每个可能发生独立线位移的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止其线位移的附加约束。第47页，共103页，2023年，2月20日，星期四a)原结构及其基本未知量b)基本结构第48页，共103页，2023年，2月20日，星期四二、位移法的基本体系图a所示刚架的基本未知量为结点A的转角Z1。在结点A加一附加刚臂，就得到位移法的基本结构（图b）。同力法一样，受荷载和基本未知量共同作用的基本结构，称为基本体系（图c）。a)原结构c)基本体系b)基本结构第49页，共103页，2023年，2月20日，星期四d)锁住结点三、位移法方程1）基本未知量只有节点A的角位移Z1，n=1.2）基本体系如图。3）基本结构在结点位移Z1和荷载共同作用下，刚臂上的反力矩F1为零（图c）由此建立方程：c)基本体系（一）无侧移结构—以一个基本未知量为例

e)放松结点4iZ14iZ12iZ12iZ1Pl/8Pl/8Pl/8第50页，共103页，2023年，2月20日，星期四式中，F11表示广义位移Z1所引起的刚臂内的附加力矩;F1p表示广义荷载FP或非荷载因素引起的刚臂内的附加力矩第一个下标i表示该第i个附加约束(未知量)的位置或方向,第二个下标表示引起反力矩的原因。设k11表示由单位位移Z1=1所引起的附加刚臂上的反力矩，则有：F11=k11Z1，代入上式，得：即为一个未知量的位移法基本方程，其实质是平衡条件。=14i4i2i2i第51页，共103页，2023年，2月20日，星期四4）求出系数k11和自由项F1P，可利用型常数表和载常数表7-1，在基本结构上分别作出荷载作用下的弯矩图（MP图）和Z1=1引起的弯矩图（图）。再利用节点平衡关系求出系数k11和自由项F1P.第52页，共103页，2023年，2月20日，星期四在图中取结点A为隔离体，由，得在MP图中取结点A为隔离体，由，得注意：刚臂内的反力矩以顺时针为正。MP图第53页，共103页，2023年，2月20日，星期四将k11和F1P的值代入上式，解得结果为正，表示Z1的方向与所设相同。5）结构的最后弯矩可由叠加公式计算，即第54页，共103页，2023年，2月20日，星期四MP图图M图第55页，共103页，2023年，2月20日，星期四例：图示刚架的基本未知量为结点C、D的水平线位移Z1。在结点D加一附加支座链杆，就得到基本结构。基本体系如图所示，它的变形和受力情况与原结构完全相同。（二）只有侧移结构—以一个基本未知量为例

基本结构

基本体系基本结构在结点位移Z1和荷载共同作用下，链杆上的反力F1必定为零（图c）由此建立位移法方程：K11为Z1=1时引起的链杆内的力；F1P为荷载P引起的链杆内的力第56页，共103页，2023年，2月20日，星期四分别在MP图和M1图中，要想求链杆内的力需截取两柱顶端以上部分为隔离体，如上图所示，由剪力平衡条件：得a)MP图(kN·m)b)M1图

(1/m)c)M图(kN·m)分别作在Z1=1和荷载作用下的结构的内力图，如下图。第57页，共103页，2023年，2月20日，星期四将k11和F1P的值代入位移法方程式，解得结构的最后弯矩图可由叠加公式计算后绘制。M图

第58页，共103页，2023年，2月20日，星期四（三）有侧移结构（一般结构）的典型方程以图(a)所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立求解基本未知量的典型方程。1、确定位移法基本未知量：

基本未知量为:Z1、Z2。2、选取位移法基本体系：如图(b)所示3、将原结构的变形根据变形协调进行分解，为以下三种变形的叠加：(b)基本体系1234=Z1Z2↷R1=0R2=0PPL1234EI=常数Z1Z2(a)第59页，共103页，2023年，2月20日，星期四

2134PR2PR1P=Z1R211342R111234R22R12Z21）将可能发生位移的节点全锁住，求荷载P引起的局部变形。锁住Z1和Z2，使1节点不转动且横梁也不水平移动。2）释放1节点此时仍然锁住Z2。使1节点产生实际位移Z1（基本未知量），此时在1节点处需施加力R11，对应的变形为实际位移Z1单独引起的变形。3）再释放Z2，此时要锁住Z1，使2节点或水平梁产生实际位移Z2（基本未知量），此时需在2节点处需施加力R22，对应的变形为实际位移Z2单独引起的变形。第60页，共103页，2023年，2月20日，星期四4：用力的平衡条件建立位移法典型方程。原结构分解前与分解后再叠加应使结构节点处所受的力相同：在1节点处没有刚臂约束，无外力矩，则应满足：R1=0；在2节点处无水平链杆，无水平外力，则应满足：R2=0。即：R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0R1—附加刚臂上的反力矩R2—附加链杆上的反力PP第61页，共103页，2023年，2月20日，星期四R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0式中第一个下标表示该反力的位置，第二个下标表示引起该反力的原因。设以r11、r12分别表示由单位位移：Z1=1、Z2=1所引起的刚臂上的反力矩；以r21、r22分别表示由单位位移Z1=1、Z2=1所引起的所引起的链杆上的水平反力，则上式可写成:

r11Z1+r12Z2+R1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0这就是求解Z1、Z2的方程即位移法基本方程(典型方程)。它的物理意义是：基本结构在荷载等外因和结点位移（基本未知量）的共同作用下，每一个人为增设的附加约束中的附加反力或反力矩都应等于零(，即附加约束实际上不起作用，为静力平衡条件)。第62页，共103页，2023年，2月20日，星期四对于具有n个独立结点位移的刚架，同样可以建立n个方程：r11Z1+···+r1iZi+···+r1nZn+R1P=0····················································ri1Z1+···+riiZi+···+rinZn+RiP=0····················································rn1Z1+···+rniZi+···+rnnZn+RnP=0(7—1）此为具有n个基本未知量的位移法典型方程。式中：rii称为主系数，主系数恒为正；rij(i≠j)称为副系数；RiP称为自由项。副系数和自由项可能为正、负或零。据反力互等定理得副系数

rij=rji

(i≠j)。第63页，共103页，2023年，2月20日，星期四由于在位移法典型方程中，每个系数都是单位位移所引起的附加约束中的反力(或反力矩)，显然，结构刚度愈大，这些反力(或反力矩)愈大，故这些系数又称为结构的刚度系数。因此位移法典型方程又称为结构的刚度方程，位移法也称为刚度法。5、典型方程中的系数和自由项的计算1）可借助于形常数和载常数(公式7-7和表7-1)，绘出基本结构在Z1=1、Z2=1、…Zi=1、Zn=1以及荷载（或温变等）作用下的弯矩图：M1、M2、Mi、Mn和MP；2）对各图再利用隔离体法求各基本未知量Zi处附加约束中的

反力（或反力矩）即为各系数和自由项。第64页，共103页，2023年，2月20日，星期四借助于型常数和载常数绘出基本结构在以及荷载作用下的弯矩图和MP图：对上例：计算典型方程中的系数和自由项，134134213424i2i3iPMP图系数和自由项可分为两类：

1）附加刚臂上的反力矩r11、r12和R1P；2）附加链杆上的反力r21、r22和R2P。r21r22R2P(a)(b)(c)r21R1Pr12r11第65页，共103页，2023年，2月20日，星期四13424i2i3ir21(a)r21

r11基本结构在作用下附加刚臂及附加链杆的反力。由1结点平衡条件得：4i3i1由12部分平衡条件得：12⇁0⇁单位位移Zi=1作用下附加反力（刚度系数）的计算第66页，共103页，2023年，2月20日，星期四对于附加刚臂上的反力矩r11、r12和R1P：可分别在图(a)、(b)、(c)中取结点1为隔离体，由力矩平衡方程∑M1=0求得：r11=7i，r12=-6i/l，R1P=PL/81113i4i0R1P0134134213424i2i3iPMP图r21r22R2P(a)(b)(c)

r11r12R1Pr12r11第67页，共103页，2023年，2月20日，星期四

。对于附加链杆上的反力r21、r22和R2P：可分别在图(a)、(b)、(c）中用截面法割断两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表7-1查出杆端剪力，由方程∑X=0求得：r21=－R2P=－P/21342134213424i2i3iPMP图r21r22R2P(a)(b)(c)121212⇁⇁0↽↽⇁⇁0r21r22R2PR1Pr12r11r21r22R2P第68页，共103页，2023年，2月20日，星期四将系数和自由项代入典型方程：解此方程得：所得均为正值，说明Z1、Z2与所设方向相同。6、解方程，求基本未知量r11Z1+r12Z2+R1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0得：第69页，共103页，2023年，2月20日，星期四返回7、最后弯矩图由叠加法绘制：例如：杆端弯矩M31为M图1234PM图绘出后，Q、N图即可由平衡条件绘出(略）。8、对内力图进行校核，包括平衡条件和位移条件的校核。其方法与力法中所述一样，这里从略。第70页，共103页，2023年，2月20日，星期四计算步骤1)确定结构的基本未知量的数目(独立结点角位移和线位移)2)2)引入附加约束而得到基本体系。2)

(令各附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加约束上的反力矩或反力均应等于零的条件)建立位移法的基本方程。3)

绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。（注意各杆i的计算）4)

解典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。5)按叠加法绘制最后弯矩图。6）内力校核。第71页，共103页，2023年，2月20日，星期四超静定结构计算的总原则:欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）位移法的特点：基本未知量——

基本体系——

基本方程——

独立结点位移平衡条件？一组单跨超静定梁第72页，共103页，2023年，2月20日，星期四四、典型方程法和直接平衡法关于如何建立位移法方程以求解基本未知量的问题，有两种途径可循。一种途径，已如上所述，是通过选择基本结构，并将原结构与基本体系比较，得出建立位移法方程的平衡条件（即Fi=0）。这种方法能以统一的、典型的形式给出位移法方程。因此，称为典型方程法。另一种途径，则是将待分析结构先“拆散”为许多杆件单元，进行单元分析——根据转角位移方程，逐杆写出杆端内力式子；再“组装”，进行整体分析——直接利用结点平衡或截面平衡条件建立位移法方程。因此，称为直接平衡法。第73页，共103页，2023年，2月20日，星期四例：试用力法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。解：将梁中间改为铰接，加多余未知力X1得基本体系如图（B）所示。

建立力法典型方程：求系数和自由项：代入典型方程得：最后弯矩：用力法求解超静定结构第74页，共103页，2023年，2月20日，星期四用位移法求解超静定结构例：试用位移法-典型方程法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。解：1)基本未知量为刚结点B点的角位移Z1，加刚臂得基本体系如图(B)所示。

2)写出位移法典型方程：3）绘出M1和MP图，求系数和自由项：MPM13i3i4）解方程得：5）叠加法绘弯矩图如图：M=M1*Z1+MP6）校核。第75页，共103页，2023年，2月20日，星期四用位移法求解超静定结构例：试用位移法-直接平衡法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。解：1)基本未知量为刚结点B点的角位移Z1，基本体系如图（B）所示。

2)用转角位移方程写出个杆端内力如下（其中）3)从原结构中取出图c隔离体，由平衡条件建立方程并求解。由图c的平衡条件：得：4)回代入2）得各杆端弯矩，并绘最后弯矩图。第76页，共103页，2023年，2月20日，星期四9.5典型方程法计算荷载作用下超静定结构的内力

对于具有n个独立结点位移的刚架，同样可以建立n个方程：r11Z1+···+r1iZi+···+r1nZn+R1P=0····················································ri1Z1+···+riiZi+···+rinZn+RiP=0····················································rn1Z1+···+rniZi+···+rnnZn+RnP=0(8—1）此为具有n个基本未知量的位移法典型方程。式中：rii

为主系数，主系数恒为正；rij(i≠j)称为副系数；RiP为自由项。副系数和自由项可能为正、负或零。据反力互等定理得副系数

rij=rji

(i≠j)。第77页，共103页，2023年，2月20日，星期四计算步骤确定结构的基本未知量的数目(独立结点角位移和线位移)引入附加约束而得到基本体系。3)建立位移法的基本方程。4)绘出各单位结点位移作用下的弯矩图Mi和荷载作用下的弯矩图Mp，由平衡条件求出各系数和自由项。在利用形常数和载常数时,注意各杆i的计算。5)解典型方程，求出基本未知量。6)按叠加法绘制最后弯矩图。7)内力校核。第78页，共103页，2023年，2月20日，星期四一、无侧移结构的内力计算例题例1:用位移法计算图示刚架,并作弯矩图.E

=常数.如何求？无侧移结构只有节点角位移无线位移。第79页，共103页，2023年，2月20日，星期四1）基本未知量为1，2节点处的两个角位移，无节点线位移；属于无侧移结构。2）在节点处附加刚臂，基本体系如图。解：第80页，共103页，2023年，2月20日，星期四3)

建立位移法的基本方程：4)绘单位弯矩图和MP图，求系数和自由项（利用节点平衡）图8i8i4i4i4i2i图锁定Z1锁定Z1和Z2图4i4i8i2i锁定Z2第81页，共103页，2023年，2月20日，星期四图4i4i8i2i锁定Z2图8i8i4i4i4i2i锁定Z1图锁定Z1和Z24i8i4i4i4i8i8i第82页，共103页，2023年，2月20日，星期四5)代入方程求解基本未知量最终内力：6)按叠加法绘制最后弯矩图。请自行作出最终M图7)校核：主要对力的平衡关系进行校核。第83页，共103页，2023年，2月20日，星期四4kN.m例2(自学)、利用位移法计算图示结构，绘M图。8m3m4m2m0.02mABCDEF16EI4EI5EI4kN.m0.02mABCDEF16EI4EI5EI基本体系ABCDEF16EI2EI4EI2EI4EI6EIBCD44126位移法方程：34.8617.4373.724434.8617.43第84页，共103页，2023年，2月20日，星期四例1:用位移法计算图示刚架,并作弯矩图.E=常数.二、有侧移结构内力计算例题有侧移结构有节点线位移，可能有节点角位移。第85页，共103页，2023年，2月20日，星期四1)基本未知量为中节点处的角位移，边节点的线位移；两个基本未知量,属于有侧移结构。2）在中节点处加刚臂，在边节点处附加支杆基本体系如图。3)

建立位移法的基本方程：4)绘单位弯矩图M和MP图，求系数和自由项解：基本体系Z1Z2R1=0R2=0第86页，共103页，2023年，2月20日，星期四单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下:锁定Z2M1图6iZ1=14i2i6ik21k11锁定Z1M2图k21Z2=1k223i/l6i/l6i/l3i/lMP图R1Pql2/8ql2/164i6i6ik11=16i6i/lk12=

k21=-6i/lk21=

k12=-6i/l6i/lk223i/l23i/l212i/l2R2P3ql/8R1P=0R2P第87页，共103页，2023年，2月20日，星期四k11=16ik12=

k21=-6i/lk22=18i/l2R1P=0R2P=-3ql/85)代入方程求解基本未知量6)按叠加法绘制最后弯矩图。ql2/16ql2/8ql2/83ql2/283ql2/563ql2/56ql2/147)校核。第88页，共103页，2023年，2月20日，星期四三、利用对称性进行内力计算例题（重点）回顾力法中对称性的利用：目的：1)简化系数或自由项的计算使之尽量多的为零，2)减少基本未知量或方程数目从而简化计算。1、利用对称性质，直接判定结构在对称轴处某些内力为零，减少多余未知量个数。2、半结构法：根据对称性，取用半个刚架或半个梁的计算简图代替原结构对刚架进行内力分析的方法。位移法中主要利用半结构法进行简化计算：注意：的计算中的取用应为半结构的杆件长度。半结构取用方法回顾：第89页，共103页，2023年，2月20日，星期四1、奇数跨对称结构AABBCCFPFPFPFPFPFPAACC