第四章频率响应法

第四章频率响应法第1页，共51页，2023年，2月20日，星期三本章主要内容：1、频率特性的定义；2、频率特性的几种图示方法；极坐标图√对数坐标图（伯徳图）Bode√对数幅相图（尼柯尔斯图）Nichols3、利用频率特性方法分析和设计控制系统第2页，共51页，2023年，2月20日，星期三4.1频率特性及其图示法4.1.1频率特性4.1.1.1频率特性的定义系统或环节对正弦输入信号的稳态响应与输入函数之比为频率特性。r=Asinωt G(s)y(t)

A是幅值，ω是角频率.稳态响应，是频率的函数。第3页，共51页，2023年，2月20日，星期三一阶线性系统Y(s)r=AsinωtR(s)当输入时，第4页，共51页，2023年，2月20日，星期三经拉氏反变换，有：频率特性是研究系统稳态响应的，其中可以按复变函数中求系数的留数方法求得：第5页，共51页，2023年，2月20日，星期三∴式中：整理可得：注：欧拉公式：第6页，共51页，2023年，2月20日，星期三稳态输出仍是一个正弦信号，输出幅值和相位发生了变化，角频率ω没变。稳态输出与输入比较可得：幅值比

相位差

ABr=Asinωt它们都是ω和系统特征参数的函数。第7页，共51页，2023年，2月20日，星期三推广到一般，得出以下结论：

1、对线性系统作用正弦信号，其稳态输出仍是一正弦函数，频率不变，幅值和相位发生变化。2、幅值比和相位差Φ都是输入信号频率ω的函数，其函数关系统称为频率特性。

∽ω的关系称为幅频特性。Φ∽ω的关系称为相频特性。

频率特性第8页，共51页，2023年，2月20日，星期三4.1.1.2频率特性的获取三种方法：1解析法—

如前例一阶系统，输入正弦信号，求时域解y(t)，t→∞，求yss，与输入之比；2直接由传递函数得知；3由实验测取。第9页，共51页，2023年，2月20日，星期三(1)、已知系统传递函数，求频率特性对于线性定常系统，将传递函数中的变量s用jω代替，就得到了频率特性G(jω)。G(s)G(jω)第10页，共51页，2023年，2月20日，星期三以一阶环节为例，相位差：传递函数直接变换后，其中，，为频率特性，是一复数，模为系统的幅，其相角为系统的相位差。值比输出的幅值比：第11页，共51页，2023年，2月20日，星期三推广到一般的情况，对于任何线性定常系统，只要将传递函数中的变量s用jω代替，便得到了系统的频率特性。G(jω)用复数表示：模为系统的幅频特性其相角为系统的相频特性。第12页，共51页，2023年，2月20日，星期三关于频率特性的总结：1、任何稳定的线性系统，当输入为正弦信号时，稳态后输出也是正弦信号，频率相同，幅值和相位都发生变化，而且它们都是频率的函数。3、频率特性能反映系统的动态特性。2、将传递函数中的s用代替得即为频率特性。为幅值比，又称幅频特性。为相位差，又称相频特性。第13页，共51页，2023年，2月20日，星期三(2)、实验测定频率特性用频率或超低频信号发生器，作为输入信号加在系统的输入端，当系统稳定后，同时记录系统输入和输出数据。找到在此刻频率下的幅值比和相位差。然后改变ω，逐一记录B/A(ω)和φ(ω)，就获得了频率特性。直接用频率特性测试仪测取，直接在X-Y记录仪上显示。φ方法①方法②第14页，共51页，2023年，2月20日，星期三例1：某系统的传递函数为：当输入信号为：求出它的稳态输出响应。解：如何求模和相角？第15页，共51页，2023年，2月20日，星期三4.1.2频率特性的极坐标图常用的图示方法：3、对数幅相图（尼柯尔斯图）Nichols2、对数坐标图（伯徳图）Bode1、极坐标图典型环节：一阶环节，二阶环节，放大环节，纯滞后环节等√√第16页，共51页，2023年，2月20日，星期三4.1.2.1极坐标图是ω的复变函数。(1)、定义当ω从0→∞变化时，矢量的端点在复平面上画出的轨迹叫作G(jω)的极坐标图。即：ImReωU(ω)V(ω)矢量的端点在实轴与虚轴上的投影分别为的实部和虚部坐标，它们分别叫作实频特性和虚频特性，第17页，共51页，2023年，2月20日，星期三(2)、极坐标图的获得根据频率特性的两种表示方式做图。2、已知，将不同的ω代入，计算实部和虚部，，做图。极坐标图在概念分析上比较清楚、直观，特别在分析系统稳定性上经常用到。极坐标图画起来复杂，运算也较繁琐，要遵循矢量运算规则。优点：缺点：1、已知，将不同的ω代入，计算做图；和第18页，共51页，2023年，2月20日，星期三4.1.2.2一些典型环节的极坐标图（1）一阶惯性环节当时，当时，当时，ImReK●●●第19页，共51页，2023年，2月20日，星期三（2）放大环节其幅频特性和相频特性均为常数。不随ω变化。（3）纯滞后环节幅频特性不变，恒为1，相频特性为ω的线性函数，周期变化。频率特性是一周期变化的单位圆。01ωImReK分别为：ImRe第20页，共51页，2023年，2月20日，星期三（4）积分环节与微分环节ww第21页，共51页，2023年，2月20日，星期三（5）二阶环节第22页，共51页，2023年，2月20日，星期三第23页，共51页，2023年，2月20日，星期三分析：当时，（低频特性）当时，（高频特性）1ImRe当时，与虚轴相交

第24页，共51页，2023年，2月20日，星期三随着ω的增加，相位滞后越大，0→－180°与虚轴交点频率ω＝ωn

幅频特性不仅是ω的函数，也是ζ的函数。第25页，共51页，2023年，2月20日，星期三绘制概略极坐标图的方法如下：计算和绘制极坐标图的起点(ω=0

)和终点(ω=∞)；(2)计算和绘制极坐标图与实轴的交点；令系统开环传递函数的虚部为零，求出与实轴的交点频率ωx。即：其中ωx称为穿越频率，而频率特性曲线与实轴的交点为：(4)估算极坐标图的变化范围，包括曲线的象限和单调性等。(5)描绘完整的极坐标图。(3)计算和绘制极坐标图与虚轴的交点；第26页，共51页，2023年，2月20日，星期三1、0型系统（λ=0，没有积分环节）

一阶二阶三阶特点：起始点在正实轴，终止在原点。常见极坐标图有三种形式（没有零点）：第27页，共51页，2023年，2月20日，星期三2、1型系统（λ=1，有一个积分环节）3、2型系统（λ=2，2个积分环节串联）例：例：ImRe﹣TW↑ImRe→第28页，共51页，2023年，2月20日，星期三4.1.3典型环节的对数坐标（Bode）图幅频特性图相频特性图4.1.3.1坐标的选择（1）横坐标都取ω的对数刻度，以10为底。但仍标以角频率ω。0.1110100–1012每一大格，频率变化了10倍，叫一个十倍频程，记做/dec

。选择频率范围时，一般在感兴趣的频率范围附近取2~3个dec即可。第29页，共51页，2023年，2月20日，星期三（2）相频特性采用半对数坐标纸。﹣135°045°90°﹣45°﹣90°0.10.20.30.50.7123456710相频特性的纵坐标，为相角，以度为单位，取

等分刻度。第30页，共51页，2023年，2月20日，星期三(3)

幅频特性的纵坐标

一般取的对数采用等分刻度，采用半对数坐标纸。换算关系：﹣40﹣2002040﹣2﹣10120.010.111010001020﹣10﹣200.10.20.30.50.7123456710—20的值。单位是分贝（db）。第31页，共51页，2023年，2月20日，星期三4.1.3.2对数坐标图的特点（1）画法很简单，利用渐近线迅速画出各典型环节的对数坐标图。如：幅频特性相加相频特性相加（3）对横坐标ω取对数刻度，可以扩大横坐标的频率范围，既可以看到高、中频段的特性，又不降低低频段（工作频率）的准确度。（2）运算方便，串联环节总的对数频率特性，很容易通过各典型环节的对数频率特性叠加得到。第32页，共51页，2023年，2月20日，星期三4.1.3.3典型环节的对数坐标图（1）比例环节分析：0.1110020﹣200.1110∠G0°90°﹣90°ImReK第33页，共51页，2023年，2月20日，星期三（2）一阶惯性（滞后）环节如RC滤波器：将ωT作为变量，以使不同T的环节能用相同的图形表示。RCU1U2第34页，共51页，2023年，2月20日，星期三画法：a）逐点计算法：第35页，共51页，2023年，2月20日，星期三0.10.51210020﹣20∠G90°0°﹣90°0.10.51210l

相角对于ω=1/T频率点()是斜对称的第36页，共51页，2023年，2月20日，星期三b）渐近线法画法：低频段：一条0db的直线。高频段：当●直线斜率为–20db/dec●与低频段渐近线交于Tω=1,叫作转折频率。

0.1110020﹣20第37页，共51页，2023年，2月20日，星期三l

在转折频率处，幅频特性的误差最大。其误差值：l

若需精确，可用校正曲线加以校正，一般校正以上三点。

0.10.51210200db0－20第38页，共51页，2023年，2月20日，星期三讨论：2）一阶惯性环节，相位角始终为负，输出相位落后于输入，所以称为滞后环节，倒数称为超前环节。如，互为倒数。3）一阶滞后环节具有低通滤波特性即：在低频段，高频段，输出复现输入。输入信号被衰减。1)相角对于转折频率点是斜对称的。第39页，共51页，2023年，2月20日，星期三（3）纯积分环节横坐标取。幅频特性是一条斜率为-20db/dec直线，且该直线通过的点。为一平行线。0.1110200﹣200.1110∠G0°﹣90°第40页，共51页，2023年，2月20日，星期三若传递函数中有2个积分器串联，幅频特性：斜率为-40db/dec的直线。相频特性：若有几个积分环节可以以此类推。0.1110400﹣400.1110∠G0°﹣180°第41页，共51页，2023年，2月20日，星期三（4）纯滞后环节横坐标：τω纯滞后环节不影响幅频特性，只影响相频特性（与比例环节恰相反）。﹣180°﹣90°0.1110∠G0°0.1110200﹣20相角滞后随ω增加而迅速线性增加。纯滞后引起的高频滞后是极为严重的。第42页，共51页，2023年，2月20日，星期三（8）二阶惯性（滞后）环节：第43页，共51页，2023年，2月20日，星期三以为横坐标，ζ为参变量。取不同ζ值，算出:1）逐点计算作图02040﹣20﹣40﹣600.11100﹣45﹣90﹣135﹣180第44页，共51页，2023年，2月20日，星期三2）渐近线法作图低频段：高频段：当时，即时，时，即时，第45页，共51页，2023年，2月20日，星期三两条渐近线交于点，ωn称为转折频率。每变化10倍频程，幅频特性下降-40db，是一条斜率为-40db/dec的直线。0.1110400﹣40在高频段：第46页，共51页，2023年，2月20日，星期三总结：①求出转折频率。②绘制低频段渐近线。③绘制高频段渐近线。④如果需要精确曲线，用误差曲线校正。利用渐近线法绘出典型环节的对数坐标图方法：第47页，共51页，2023年，2月20日，星期三4.1.3.5绘制一般系统的对数坐标图的步骤1）把系统频率特性改写成典型环节