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第四讲矩阵的秩第1页，共15页，2023年，2月20日，星期三一、矩阵秩的概念注：定义第2页，共15页，2023年，2月20日，星期三例1解第3页，共15页，2023年，2月20日，星期三例2解计算A的3阶子式，第4页，共15页，2023年，2月20日，星期三矩阵的秩具有下列性质:(1)若矩阵中有某个阶子式不为0,则(2)若中所有阶子式全为0,则(3)若为矩阵,则(4)都是满秩矩阵.例如,否则称为降秩矩阵.当时,为满秩矩阵.称第5页，共15页，2023年，2月20日，星期三二、矩阵秩的求法问题：经过初等变换矩阵的秩是否改变？因为对于任何矩阵，总可经过有限次初等行变换把它变成行阶梯形矩阵。注：

有限次初等行变换不改变矩阵的秩．初等变换求矩阵秩的方法：

把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.第6页，共15页，2023年，2月20日，星期三例3分析：对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：第7页，共15页，2023年，2月20日，星期三第8页，共15页，2023年，2月20日，星期三由阶梯形矩阵有三个非零行可知第9页，共15页，2023年，2月20日，星期三则这个子式便是的一个最高阶非零子式.注：第10页，共15页，2023年，2月20日，星期三例4分析：第11页，共15页，2023年，2月20日，星期三第12页，共15页，2023年，2月20日，星期三第13页，共15页，2023年，2月20日，星期三例5设为阶非奇异矩阵,为矩阵.试证:与之积的秩等于的秩,即证因为非奇异,故可表示成若干初等矩阵之积,皆为初等矩阵.即是经次初等行变换后得出的.因而证毕.注:由矩阵的秩及满秩矩阵的定义,显然,若一个阶矩阵是满秩的,则因而非奇异;反之亦然.第14页，共15页，2023年，2月20日，星期三五、小结与作业(2)初等变换法:1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)利用定义把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行

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