结构力学华中 静定结构影响线

结构力学课件华中静定结构影响线第1页，共66页，2023年，2月20日，星期四主要内容§5-3力的虚设方法

§5-2各种静定结构的影响线§5-1影响线的概念§5-4制造误差产生的位移计算

§5-5温度作用时的计算

§5-7图乘法

§5-6荷载作用下的位移计算

§5-8线性变形体系的互等定理第2页，共66页，2023年，2月20日，星期四§5-1

影响线的概念

（2）荷载移动时，确定荷载的最不利位置，即使某个反力或内力达到最大值的荷载位置。移动荷载——是一组大小不变、方向不变、互相间的距离不变，但是作用位置随时间变化的荷载。如：汽车荷载、火车荷载、吊车荷载等。本章主要讨论静定结构在移动荷载作用下的反力与内力计算问题，具体解决以下两个问题。（1）荷载移动时，反力及内力的变化规律；第3页，共66页，2023年，2月20日，星期四例：吊车荷载吊车梁吊车吊车梁吊车轮子传下的一组间距不变的荷载FPFP§5-1影响线的概念

第4页，共66页，2023年，2月20日，星期四

影响线——是指结构上某一点的某个内力其值随单位移动荷载的位置变化而变化的规律。

由于各个反力及内力的变化规律是各不相同的，因此只能逐个量值分别讨论。又由于移动荷载的特点，研究时可用一个单位的移动力进行，然后运用叠加原理，求出一组力作用下的结果。利用影响我们可以确定结构在移动荷载作用下的最不利位置。

§5-1影响线的概念

第5页，共66页，2023年，2月20日，星期四§5-2各种静定结构的影响线

静定结构影响线绘制方法有：静力法和机动法。讨论的结构包括：简支梁、悬挑梁、多跨静定梁、桁架、组合结构、三铰拱。

（1）反力影响线把单位力

作用于梁的任意位置，求反力1）简支梁的影响线式①就是反力FYA的影响线方程，显然它是一个直线方程。

得：……①FP=1xLAB第6页，共66页，2023年，2月20日，星期四§5-2各种静定结构的影响线

静定结构影响线绘制方法有：静力法和机动法。讨论的结构包括：简支梁、悬挑梁、多跨静定梁、桁架、组合结构、三铰拱。

（1）反力影响线把单位力

作用于梁的任意位置，求反力1）简支梁的影响线式①就是反力FYA的影响线方程，显然它是一个直线方程。

得：……①FP=1xLAB第7页，共66页，2023年，2月20日，星期四取两点：

影响线上的每一个竖标,表示的是:单位力作用于该位置时,反力FYA的大小。

FYA的影响线方程：

1+FYA的影响线如下：

§5-2各种静定结构的影响线

第8页，共66页，2023年，2月20日，星期四同理求FYB的影响线方程：得：……②式②就是反力FYA的影响线方程，显然它是一个直线方程。

取两点：

1+FYB的影响线如图：

FP=1xLAB§5-2各种静定结构的影响线

第9页，共66页，2023年，2月20日，星期四（2）弯矩影响线

求简支梁上C点弯矩的影响线方程首先让单位力在C点的左侧移动，即：

取CB为隔离体：

……③式③为弯矩MC在AC段的影响线方程。FP=1xABCabFQCBCFYBMC§5-2各种静定结构的影响线

第10页，共66页，2023年，2月20日，星期四取两点：

弯矩MC在AC段的影响线方程：其次让单位力在C点的右侧移动，即:

取AC为隔离体:

……④式④为弯矩MC在CB段的影响线方程，取两点：

xFP=1ABCabFYAACFQCMC§5-2各种静定结构的影响线

第11页，共66页，2023年，2月20日，星期四弯矩MC的影响线如下：

（3）剪力影响线

作简支梁C点的剪力影响线：首先让单位力在C点的左侧移动，即：

FP=1xABCabab/L+abABCab§5-2各种静定结构的影响线

第12页，共66页，2023年，2月20日，星期四取CB为隔离体：

……⑤式⑤为剪力FQC在AC段的影响线方程，取两点：其次让单位力在C点的右侧移动，即:

FQCBCFYBMCFP=1ABaCb§5-2各种静定结构的影响线

x第13页，共66页，2023年，2月20日，星期四取AC为隔离体:

……⑥式⑥为剪力FQA在AC段的影响线方程，取两点：剪力FQC的影响线：

FYAACFQCMCABC11+-a/Lb/L§5-2各种静定结构的影响线

第14页，共66页，2023年，2月20日，星期四2）悬挑梁的影响线

（1）反力影响线

作悬挑梁FYA的影响线，显然单位力在AB段移动时，其影响线与相应简支梁的影响线相同，因此只需研究DA段和BE段。

DA段：它的影响线一定是直线，因此只需把力作用于D点，求出FYA的值即可。由：得：ABCEDabddLABCEDLddFP=1§5-2各种静定结构的影响线

第15页，共66页，2023年，2月20日，星期四BE段：同样只需把力作用于E点，求出FYA的值即可。

由：得：FYA的影响线如下：

结论：画悬挑段的某量值的影响线只需把相应简支梁的影响线延长即可。

ABCEDLddFP=11+d/L1+d/L-§5-2各种静定结构的影响线

第16页，共66页，2023年，2月20日，星期四（2）弯矩影响线

作图示悬挑梁MC的影响线可用上面的结论作图，先画出AB简支梁段MC的影响线，然后把左线和右线延长即可。

MC的影响如下：

ab/L+ab§5-2各种静定结构的影响线

C第17页，共66页，2023年，2月20日，星期四（3）剪力影响线

作图示悬挑梁FQC的影响线同样可以先画出AB简支梁段FQC的影响线，然后把左线和右线延长即可。

FQC的影响如下：

11+-a/Lb/L§5-2各种静定结构的影响线

C第18页，共66页，2023年，2月20日，星期四画多跨静定梁的影响线是以简支梁和悬挑梁的影响线为基础的。

3）多跨静定梁的影响线

▲作图示多跨静定梁反力FYA的影响线

ABD部分是基本部分，DC部分是附属部分，当力在ABD段移动时，FYA

的影响线就是悬挑梁的影响线。当力在DC段移动时，FYA的影响线应该是直线，因此取两点的值即可。

FYA的影响线：

LabACBD1+-§5-2各种静定结构的影响线

第19页，共66页，2023年，2月20日，星期四▲

作FYD的影响线

由于FYD是附属部分的反力，因此当力在基本部分移动时FYD为零，当力在DC部分移动时，FYD是简支梁的反力。FYD的影响线：

▲

作ME的影响线

由于ME是基本部分的量值，因此在整个梁上都有量值。ME的影响线：

cb/L+-ALabCBD1+E§5-2各种静定结构的影响线

第20页，共66页，2023年，2月20日，星期四▲

作FQE的影响线

由于FQE是基本部分的量值，因此在整个梁上都有量值。FQE的影响线：

11+--E§5-2各种静定结构的影响线

第21页，共66页，2023年，2月20日，星期四4）间接荷载作用下的影响线

如图所示，主梁AB所受的荷载为间接荷载。作主梁k点在间接荷载作用下的弯矩影响线。

分AC、CD、DB三段讨论。由于k点在CD段，当力在AC、DB段移动时，k点的弯矩与直接荷载作用下相同。隔离体：

eK§5-2各种静定结构的影响线

dddFp=1ADCBKMKFP=1FYAAKMKFP=1FYBB第22页，共66页，2023年，2月20日，星期四当力在CD段移动时，k点的弯矩求解如下：

直线方程xFp=1FYDFYCCDFYCFYDFYAFYBAKBFYAFYCMKAK§5-2各种静定结构的影响线

第23页，共66页，2023年，2月20日，星期四显然MkCD是x的一次函数，因此在CD段的影响线也是条直线。取两点：

刚好等于AC段在C点的值Mk的影响线如下：

刚好等于DB段在D点的值

d+e2d-eKADCB（2d-e)/3（d+e)/3§5-2各种静定结构的影响线

第24页，共66页，2023年，2月20日，星期四a、先画出直接荷载作用下的影响线；

间接荷载作用下的影响线可以按以下步骤作图：

b、对需求点所在区段的影响线进行修正。

按以上步骤作k点的剪力影响线如下：

1KADCB1§5-2各种静定结构的影响线

第25页，共66页，2023年，2月20日，星期四11作图示结构C点的剪力影响线：C点处有一次梁，因此剪力有突变：应为FQC左和

FQC右。FQC左在AC段，因此AC段应该修正，FQC右在CD段，因此CD段应该修正，影响线如下：FQC左影响线ACB1FQC右影响线ADCB1§5-2各种静定结构的影响线

第26页，共66页，2023年，2月20日，星期四例：求图示结构FYA、FQE、FQF的影响线。FYA影响线FQE影响线12m1m1m1m1m1m1m1m1mDBAFCE11§5-2各种静定结构的影响线

第27页，共66页，2023年，2月20日，星期四例：求图示结构FYA、FQE、FQF的影响线。2m1m1m1m1m1m1m1m1mDBAFCE§5-2各种静定结构的影响线FQE左影响线1FQE右影响线1第28页，共66页，2023年，2月20日，星期四fFP=1hgDCBAe6）静定桁架的影响线桁架上作用的移动荷载，一般是间接荷载，因此它的影响线作法与间接荷载作用下的基本相同。

例：求图示桁架ef、gh、eg杆的影响线，荷载在CD间及AB间移动。

（1）作ef杆的影响线，荷载在CD间移动把荷载移动分三段：C-e、e-f、f-D。首先让荷载作用于C-e段，取n-n截面，可得：§5-2各种静定结构的影响线

nn第29页，共66页，2023年，2月20日，星期四其次让荷载作用于f-D段，还取n-n截面，可得：

下面作FNef的影响线：

①

作基线，它的范围是：A-B；

把相应简支梁Mho的影响线作于基线的下方，并把相应的竖标除以h;③

对上述影响线进行修正：a.把AC段和DB段去掉（因为荷载没有在这两段上移动）;b.找到e、f两点影响线的值，把这两点连以直线，即为e-f段的影响线。

§5-2各种静定结构的影响线

第30页，共66页，2023年，2月20日，星期四FNef影响线荷载在C-D移动FNef影响线荷载在A-D移动2h3d2h3d§5-2各种静定结构的影响线

fFP=1hgDCBAeh3dh3d第31页，共66页，2023年，2月20日，星期四（2）作eg杆的影响线

当荷载在h-B段时，同样可得：先作荷载在下弦移动。当荷载在A-g段时，作m-m截面，可得：同理可得到荷载在上弦移动时FNeg的影响线。§5-2各种静定结构的影响线

fFP=1hgDCBAemmFP=1第32页，共66页，2023年，2月20日，星期四§5-2各种静定结构的影响线

fFP=1hgDCBAe11mmFNeg影响线荷载在下弦移动FP=1FP=111FNeg影响线荷载在上弦移动第33页，共66页，2023年，2月20日，星期四（3）作gh杆的影响线

当荷载在h-B段时，同样可得：同理可得到荷载在上弦移动时FNgh的影响线。先作荷载在下弦移动。当荷载在A-g段时，作n-n截面，可得：§5-2各种静定结构的影响线

fFP=1hgDCBAennFP=1第34页，共66页，2023年，2月20日，星期四FNgh影响线荷载在下弦移动FNgh影响线荷载在上弦移动3h4dfFP=1hgDCBAenn2d/h2d/h3h4dFP=1§5-2各种静定结构的影响线

第35页，共66页，2023年，2月20日，星期四

7）组合结构影响线

例：求图示组合结构FNEF、

MD、

FQD的影响线。

FNEF影响线：

2.5＋3×4=12mFEDCAB1.2m§5-2各种静定结构的影响线

FP=1mm5作m-m截面求得：第36页，共66页，2023年，2月20日，星期四MD影响线

荷载在AD段移动

：荷载在CB段移动

：荷载在DC段移动

：影响线应是直线，因此取D和C两点的值连以直线即可。1.5＋－0.75FEDCAB3×4=12m1.2mFP=1FP=1FP=1§5-2各种静定结构的影响线

第37页，共66页，2023年，2月20日，星期四FQD左影响线

荷载在AD段移动

：荷载在DC段移动

：荷载在CB段移动

：0.250.5－－0.75FEDCAB3×4=12m1.2mFP=1FP=1FP=1§5-2各种静定结构的影响线

第38页，共66页，2023年，2月20日，星期四FQD右影响线

荷载在AD段移动

：荷载在DC段移动

：荷载在CB段移动

：0.25＋－0.75FEDCAB3×4=12m1.2mFP=1FP=1FP=1§5-2各种静定结构的影响线

第39页，共66页，2023年，2月20日，星期四§5-3机动法画影响线

5）机动法画影响线

机动法画影响线运用的是虚位移原理。具体步骤是：

a、要求哪一点哪个量值的影响线，就把相应的约束去掉，用力来代替（称为真实的力状态）；b、让去掉约束后的机构沿着力的方向发生单位的虚位移（称为虚设的位移状态）;c、让真实的力到虚设的位移上去做虚功，由虚功方程：所有外力所做的虚功=0，可得到影响线方程；虚设的位移状态就是所要求的影响线。第40页，共66页，2023年，2月20日，星期四（1）求简支梁反力的影响线真实的力状态

把FYA的约束去掉，用力代替，得到一个机构，让该机构沿着力FYA的方向发生一个虚位移，设虚位移为1，如下图所示。

虚设的位移状态

Fp=1YABAB§5-3机动法画影响线1第41页，共66页，2023年，2月20日，星期四命令真实的力到虚设的位移上做虚功，由虚功方程：

得：是移动单位力所对应的位移，由于单位力可以在整个梁上移动，因此虚设位移图上的任意点都可称为

因此虚设的位移图就是FYA

的影响线。（2）求简支梁弯矩的影响线

……①真实的力状态

Fp=1ABC§5-3机动法画影响线

第42页，共66页，2023年，2月20日，星期四把C点的抗弯约束去掉，用一对力矩MC代替，得到一个机构，让该机构沿着力矩MC的方向发生一个虚位移，设C点发生的相对转角

。命令真实的力到虚设的位移上做虚功，由虚功方程：

……②虚设的位移状态

α+β=1βα§5-3机动法画影响线

MCba第43页，共66页，2023年，2月20日，星期四由式②可知，虚位移图就是MC的影响线。

（3）求简支梁剪力的影响线

把C点的抗剪约束去掉，用一对剪力FQC代替，得到一个机构，让该机构沿着剪力FQC的方向发生一个虚位移，设C点发生的相对错动：a+b=1。真实的力状态

Fp=1

虚设的位移状态

FQCABCba§5-3机动法画影响线第44页，共66页，2023年，2月20日，星期四命令真实的力到虚设的位移上做虚功，由虚功方程：

……③由式③可知，虚位移图就是

FQC的影响线。§5-3机动法画影响线第45页，共66页，2023年，2月20日，星期四§5-4三铰拱的影响线

例：求图示三铰拱D点内力的影响线

（1）MD的影响线

MD0影响线－HyD影响线MD影响线220.670.5DBAC2.25m3m1.5m4.5m第46页，共66页，2023年，2月20日，星期四（2）FQD的影响线

FQD0Cosα影响线

－HSinα影响线FQD影响线0.9490.6320.4730.5270.158DBAC2.25m3m1.5m4.5m§5-4三铰拱的影响线

第47页，共66页，2023年，2月20日，星期四（3）FND的影响线

FND影响线－HCosα影响线－FQD0Sinα影响线0.3161.8980.7391.1070.528DBAC2.25m3m1.5m4.5m§5-4三铰拱的影响线

第48页，共66页，2023年，2月20日，星期四§5-5影响线的应用

简支梁反力FYA的影响线如下所示，其中C点的竖标

yc是单位力作用在C点时，反力FYA的大小。若C点作用一集中力

FP时，显然

若简支梁上作用有一组位置确定的荷载时，FYA的计算如下：

1）当荷载位置确定时求某量值的大小

yc1CBAFpynyiy2y1Fp1Fp1FpiFpnAB第49页，共66页，2023年，2月20日，星期四

若简支梁上作用有位置确定的均布荷载时，FYA

的计算如下：

利用影响线计算在位置确定的荷载作用下某一量值大小的方法如下：

①作出某一量值S的影响线；

②利用下式求出该量值的大小。

dxbaq§5-5影响线的应用

第50页，共66页，2023年，2月20日，星期四例：利用影响线，求出图示梁C点的弯矩。

解：作C点的弯矩影响线如下所示

。DBCAFp10.250.50.51qFp22m1m1m1m1m1m§5-5影响线的应用

MC影响线第51页，共66页，2023年，2月20日，星期四2）确定移动均布活荷载的最不利布置

移动均布活荷载指的是：人群荷载、雪荷载、雨荷载等，它不是永久作用在结构上的。

下图是悬挑梁C点的弯矩影响线，若要求C点正弯矩的最大值，显然应把移动均布活荷载布满AB之间。

若要求C点负弯矩的最大值，应把移动均布活荷载布满DA和BE之间。

MCEDCBA§5-5影响线的应用

第52页，共66页，2023年，2月20日，星期四例：求图示多跨静定梁FYA、MB的最布利荷载布置。

FYA的最不利布置解：MB的最不利布置ABCDABCD§5-5影响线的应用

第53页，共66页，2023年，2月20日，星期四3）确定移动集中荷载的最不利位置

（1）影响线是三角形时的判别公式推导：

图示是一组移动集中荷载及某量值的影响线。荷载处于图示位置时，量值S的大小为:

F1F2F3FiFi+1Fnbahy1y2y3yiyi+1yn§5-5影响线的应用

第54页，共66页，2023年，2月20日，星期四设荷载向右移动

,则S2为：S的增量为：在影响线的同一条直线上有：于是

△S可写成

：§5-5影响线的应用

第55页，共66页，2023年，2月20日，星期四当S为极大值时，

往左或往右移动，

都是小于等于零。当S为极小值时，

往左或往右移动，

都是

大于等于零。

要满足上述条件，必须有一个力FPi作用在影响线的尖顶上，当求极大值时，上式为：

F1F2F3FiFi+1Fnbahy1y2y3yiyi+1yn§5-5影响线的应用

第56页，共66页，2023年，2月20日，星期四①往右移动，FPi落在‘b’段内则有：

②往左移动（是负的），FPi落在‘a’段内则有：

若上二式成立，FPi就称为是临界荷载，用FCR

表示。把

FCR左边的力称为

F左，把FCR右边的力称为

F右判断公式可写成：

§5-5影响线的应用

第57页，共66页，2023年，2月20日，星期四①往右移动，FPi落在‘b’段内则有：

②往左移动（是负的），FPi落在‘a’段内则有：

当求极小值时：

判断公式与前相同：§5-5影响线的应用

第58页，共66页，2023年，2月20日，星期四例：简支梁在汽车荷载作用下，求截面C的最大弯矩。

解：简支梁截面C的的影响线如图所示，把汽车车队中的130kN作用于影响线的尖顶，车队由右往左行驶，用公式进行验算：

25m15m7013050100501004541547013050100501004541546.889.387.506.000.38§5-5影响线的应用

第59页，共66页，2023年，2月20日，星期四说明此位置也是临界位置，相应的Mc为：

因此Mc的最大值为：2721kN·m

70130501005010045