高等教育线性代数

高等教育线性代数第1页/共52页定义7

设Ａ是n

阶方阵，若存在n

阶方阵Ｂ，使得AB＝BA＝E

，（1）则称矩阵A可逆，且称B是A的逆矩阵，记作B＝A－1．如果不存在满足（1）的矩阵B，则称矩阵A是不可逆的．二、逆矩阵的概念第2页/共52页现在的问题是，矩阵A满足什么条件时可逆？可逆矩阵的逆矩阵是否唯一，如何求逆矩阵？可逆矩阵有什么性质？这是本节要讨论的问题．第3页/共52页

三、矩阵可逆的充要条件定理1

如果n

阶矩阵Ａ可逆，则它的逆矩阵是唯一的．定理２

n

阶矩阵Ａ可逆的充要条件是|Ａ|0.如果Ａ可逆，则其中Ａ

为矩阵Ａ的伴随矩阵.第4页/共52页由推论

若AB=E（或

BA=E），则

B=A-1

.可得下述推论：第5页/共52页若n

阶矩阵A的行列式不为零，即|A|

0，则称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵.说明，矩阵A可逆与矩阵Ａ非奇异是等价的概念.定理２不仅给出了矩阵可逆的充要条件，而且给出了求矩阵逆矩阵的一种方法，称这种方法为伴随矩阵法.第6页/共52页

四、可逆矩阵的性质(2)设A,B,Ai(i

=1,2,···,m)为n

阶可逆矩阵，k

为非零常数，则A-1,kA,AB,A1A2···

Am,AT

也都是可逆矩阵，且(1)(A-1)-1=A;(3)(AB)-1=B-1A-1,(A1A2···

Am)-1=Am-1···

A2-1A1-1;第7页/共52页

（4）

(AT)-1=(A-1)T;（5）

（6）

(Am)-1=(A-1)m,m

为正整数.第8页/共52页

例10

求二阶矩阵的逆矩阵.

五、举例第9页/共52页

例11

用伴随矩阵法求下列矩阵的逆矩阵：单击这里开始解答第10页/共52页例12

解矩阵方程AXB=C

，其中例13

设求An.第11页/共52页

六、矩阵多项式设

(x)=a0+a1x+···+amxm

为x

的m

次多项式，A

为n

阶方阵，记

(A)=a0E+a1A+···+am

Am

，

(A)称为矩阵A

的m

次多项式.1.定义第12页/共52页从而A

的多项式可以像数x

的多项式一样相乘或分解因式.例如(E+A)(2E–A)=2E+A–A2,(E–A)3=E–3A+3A2–A3.因为矩阵Ak、Al

和E

都是可交换的，所以矩阵A

的两个多项式

(A)和f

(A)总是可交换的，即总有

(A)f

(A)=f

(A)

(A)，2.性质第13页/共52页3.计算方法（1）如果A=PP–1，则Ak=Pk

P–1，从而

(A)=a0E+a1A+···+am

Am

=Pa0EP–1+Pa1P–1+···+PammP–1=P

()P–1.（2）如果

=diag(1,2,···,n)为对角矩阵,则，k=diag(1k

,2k

,···,nk)，从而第14页/共52页

()=a0E+a1+···+am

m

第15页/共52页例14

设求

(A)=A3+2A2–3A.第16页/共52页

例1

设方阵A满足证明都可逆，并求

七、补充例题

例2

设求B.第17页/共52页例3

设n

阶方阵A,B,A+B

均可逆,证明(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B=B(B+A)-1A.例4

设A

为

n(n

≥2)阶方阵,证明|A|=|A|n-1.第18页/共52页分块矩阵的定义主要内容分块矩阵的运算第四节矩阵分块法两种常用的分块法线性方程组的各种形式克拉默法则的证明第19页/共52页对于行数和列数较高的矩阵A,运算时常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.我们将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每一个小矩阵称为A

的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.一、分块矩阵的定义第20页/共52页

例如将3×4矩阵分成子块的分法很多,下面举出三种分块形式:第21页/共52页第22页/共52页

分法(1)可记为其中即A11,A12,A21,A22

为A

的子块,而A

形式上成为以这些子块为元素的分块矩阵.分块矩阵可类似写出,这里从略.分法(2)及(3)的第23页/共52页二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,分别说明如下:第24页/共52页1.加法运算设矩阵A与B

的行数相同、列数相同,采用相同的分块法,有第25页/共52页其中Aij

与

Bij

的行数相同、列数相同,那么

为常数,那么

2.数乘运算设第26页/共52页

3.分块矩阵的乘法运算

设A

为m×l

矩阵,B为

l×n

矩阵,分块成第27页/共52页其中其中Ai1,Ai2,···,Ait

的列数分别等于B1j,B2j,···,Btj

的行数,那么第28页/共52页

例15

设求

AB.第29页/共52页4.分块矩阵的转置设则第30页/共52页5.分块对角矩阵设A

为

n

阶方阵,若A

的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方阵,即其中

Ai

(

i=1,2,···,s)都是方阵,那么称A

为分块对角矩阵.第31页/共52页

分块对角矩阵的性质:(2)

若|Ai|

0(i=1,2,···,s),则|A|

0,且(1)

|A|=|A1||A2|

···

|As|;第32页/共52页

例16

设求A-1.第33页/共52页三、两种常用的分块法1.按行分块对于m

n

矩阵A

可以进行如下分块：第34页/共52页2.按列分块对于m

n

矩阵A

可以进行如下分块：第35页/共52页对于矩阵A=(aij)m

s

与矩阵B=(bij)s

n

的乘积矩阵AB=C=(cij

)m

n

，若把A

按行分成m

块，把B

按列分成n

块，便有=(cij)m

n

，第36页/共52页以对角矩阵m

左乘m

n

矩阵A时，把A

按行分块，有以对角矩阵m

左乘A

的结果是A

的每一行乘以m

中与该行对应的对角元.第37页/共52页以对角矩阵n

右乘m

n

矩阵A

时，把A

按列分块，有以对角矩阵n

右乘A

的结果是A

的每一列乘以n

中与该列对应的对角元.第38页/共52页例17

证明矩阵A=O

的充要条件是方阵ATA=O.第39页/共52页四、线性方程组的各种形式对于线性方程组记第40页/共52页其中A

称为系数矩阵，x

称为未知向量，b

称为常数项向量，B

称为增广矩阵.按分块矩阵的记法，可记B=(A

b),或B=(A,b)=(a1,a2,…,an,b).利用矩阵的乘法，此方程组可记作Ax=b.(2)方程（2）以向量x

为未知元，它的解称为方程组(1)的解向量.第41页/共52页如果把系数矩阵A

按行分成m

块，则线性方程组Ax=b

可记作或这就相当于把每个方程ai1x1+ai2x2+···+ainxn=bi记作第42页/共52页如果把系数矩阵A

按列分成n

块，则与A

相乘的x

应对应地按行分成n

块，从而记作即x1a1+x2a2+···+xnan=b.（4）（2）、（3）、（4）是线性方程组（1）的各种变形.今后，它们与（1）将混同使用而不加区分，并都称为线性方程组或线性方程.第43页/共52页Ax=b.(2)或x1a1+x2a2+···+xnan=b.（4）第44页/共52页五、克拉默法则的证明克拉默法则

对于n

个变量、n

个方程的线如果它的系数行列式D

0，则它有唯一解性方程组第45页/共52页例2-2

第56页习题17设

解:提公因子得

将含有未知矩阵和不含未知矩阵的项分置