第四讲绝对值函数和绝对值不等式

标准绝对值函数和绝对值不等式【知识点】一、绝对值的性质a，a≥0，a1.||=aa－，<0abab推论①：||≥(当且仅当ab≥0时，“=”成立)；ab≤0时，“=”成立).ab推论②：||≥－ab(当且仅当aa2.||=2；2二、绝对值不等式abab3.若≥2，则||≥||；2ab证明：由性质2，≥b≥||aab2||22||≥||.2aaa4.||≥，(当且仅当≥0时等号成立)；abab推论③：||≥.ababab推论④：|||－|||≤|±|≤||+||.abab证明：(1)|||－|||≤|－|：abababababababab因为||≥，所以：－2||≤－2，所以：+2－2||≤+2－2，由性质2，22abab则：(||－||)2≤(－)2，由性质3即证.此时，当且仅当ab≥0时等号成立.abab(2)|||－|||≤|+|.ab证明：由推论②：||≥－abababa+bab，所以：－2||≤2，从而：(||－||)2≤()2，由性质2即证.此时，“=”成立的条件为ab≤0.(3)由2≤2||=2||||，则(+)2≤(||+||)2，由性质2即证.等号成立的条件为ab≥0.ababababab文案标准abab同理可证：|－|≤||+||.等号成立的条件为ab≤0.aaaaaa推论⑤：|+2+…+n|≤|1|+|2|+…+|n|.1n证明：当=2时，显然成立；nkaaaaaa设当=时，有：|+2+…+k|≤||+|2|+…+|k|；11nkaak+1|≤则当=+1时，|+2+…+k+k+1|=|(+2+…+)+k+1|≤|+2+…+|+|kaaaaaaaaaa11k1aaaak+1|.k||+|2|+…+||+|1abab≥0，|+|，abababab推论⑥：||+||=|a－b|，ab<0，||+||=max{|+|，|－|}.ababab证明：若≥0，显然有||+||=|+|，ababababab且此时：|+|≥|－|，所以：||+||=max{|+|，|－|}；ab<时，同理可证.abababab5.对任意，∈R，++|－|=2max{，}.abababababaab证明：由于对称性，不妨设≥，则：++|－|=++－=2=2max{，}.abababab6.对任意，∈R，+－|－|=2min{，}.abababababab证明：+=max{，}+min{，}，由性质5，|－|=2max{，}－(+)，从而：ababababababababa+－|－|=+－[2max{，}－(+)]=2(+)－2max{，}=2max{，}+2min{，babab}－2max{，}=2min{，}.abababab7.对任意实数，，|+|+|－|=2max{||，||}.abababababab证明①：不妨设≥，则|－|+|+|=－+|－(－)|=2max{，－}；baab－bab若≤≤0，则2max{，－}=2()=2max{||，||}；baabab若≤0≤，则2max{，－}=2max{||，||}；baabaab若0≤≤，则2max{，－}=2=2max{||，||}.文案标准综上：命题得证.ababababab证明②：由轮换性，不妨设≥0，则|+|=||+||=max{||，||}+min{||，||}；ababab|－|=max{||，||}－min{||，||}，两式相加即得.abab≥02min{||，||}，ababab8.对任意的实数，，|+|－|－|=－2min{|a|，|b|}，ab<0ababababab证明：若≥0，则|+|=||+||=max{||，||}+min{||，||}；ababab|－|=max{||，||}－min{||，||}，ababab两式相减得：|+|－|－|=2min{||，||}.ababababab若<0，则|+|=|－(－)|=max{||，||}－min{||，||}；abababab|－|=|+(－)|=max{||，||}+min{||，||}；ababab两式相减得：|+|－|－|=－2min{||，||}四、绝对值函数1.f(x)=a|x－m|+by=fxmb(1)函数()以点(，)为顶点；注意这个点的轨迹往往可以帮助我们简化解题；abab(2)当>0时，函数有最小值，无最大值；当<0时，函数有最大值，无最小值.fxaxmbxn2.()=|－|+|－|.AmfmBnfn(1)函数的图像是以(，())，(，())为折点的折线；abyfxfmfn(2)当+>0时，图像的两端无限向上延伸，=()的值域为[min{()，()}，+∞)；ab(3)当+<0时，图像的两端无限向下延伸，y=fx()的值域为(－∞，max{()，()}]；fmfnabfxfmfn(4)当+=0时，函数的图像两端无限平行于轴，函数的值域为[min{()，()}，max{mfn()，()}].五、绝对值不等式的其他形式文案标准1.向量形式ababab①|||－|||≤|+|≤||+||ababab|||－|||≤|+|当且仅当·≤0时等号成立；ababab|+|≤||+||当且仅当·≥0时等号成立.ababab②|||－|||≤|－|≤||+||.nnλaλa③≤|||i|.ii1i=1i=12.复数形式zzzzzz①|1－|≤|1±|≤|1|+|2|；22邋②z.n£nziii=1i=1【方法概论】遇到绝对值的问题时，方法主要以下几种：1.分类讨论：即去掉绝对值；这种方法是解决绝对值问题的基本办法。一般说来，分类讨论主要是用“零点分类讨论”的方法，即绝对值什么时候非负，什么时候为负，要做到“不重不漏”；2.几何意义：绝对值的几何意义主要分为两块，一个是表示函数图象的翻折，另一个则表示数轴上两点之间的距离；3.用绝对值不等式：将含有绝对值的不等式或者函数转化为我们上面的结论或者推论，从而直接应用前面的结论或者推论.无论应用上面的哪一种方法，拿到题目以后尽量先画出函数的草图是很重要的.文案标准典型例题：题型一、分类讨论核心技能：分类讨论是解决绝对值函数问题的主要的方法，解题时，注意函数的的定义域，做到“不重不漏”.a【例题1】【2016年高考，19】已知≥3，函数此题的解法显然是分类讨论，去掉题中的绝对值.Fxxxaxa()=min{2|－1|，2－2+4－2}.Fxxaxax(1)求使得()=2－2+4－2成立的的取值围；Fx(2)①求()的最小值m(a)；Fx②求()在区间[0，6]上的最大值M(a).【例题2】【省市2015年4月高三教学质量检测，15】已知函数先由函数的对称性性文案标准fxxxxfxfaxta()=2－2，若关于的方程|()|+|(－)|=有四个不同的实质求出的值，然后写t数解，且四个根之和为2，则实数的取值围为.出分段函数的形式，最后由函数的图象即可得出答案.a【例题3】【2015高考，文17】为实数，函数a由于的值不同，从而f(x)|x2ax|在g(a)的表达式也不一样，需要分情况讨论.区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a小._________时，g(a)的值最【例题4】【2015年省一中全真模拟考试(理)，20】已知函数f(x)=x2适当转化思路，即可得文案标准axbaRbR+－|－|(其中，∈，∈)到比较简便的解答.abfxbb(1)若=2，≥2，且函数()的定义域和值域均为(1，)，求的值；fxy(2)若函数()的图像于直线=1在(0，2)上有两个不同的交点，b试求的取值围.a题型二、数形结合核心技能：掌握绝对值的两种几何意义，并能应用.【例题5】【2017年省市高三期末质量评估，17】已知函数f1gxx设()=+，x11xx+－ax－bx，2fxM，则()=，当∈时，设()的最大值为xh(x)=ax+b，则f(x)表2M的最小值为.示为在同一个x0条件文案标准gxhx下，()、(0)(即两0个纵坐标之差的绝对值)的大小.x3先将等式两边同除以x，4【例题6】【2017年9+1联盟期中，17】当∈，不等式2然后应用线性规划的axbxax|++4|≤22方法加以解决，当然，也可以用“线性表出”的方法.ab恒成立，则6+的最大值是.xyxy2【例题7】【2015年高考理，14】已知实数，满足+2≤1，一样是一道线性规划xyxy则|2+－2|+|6－－3|的最小值是.的问题.文案标准【例题8】【2011年北约考试】求函数考察绝对值的几何意义.fxxxx()=|－1|+|2－1|+…+|2011－1|的最小值.xyx【例题9】【2010年新疆预赛，1】由曲线||－||=|2－3|所围成考虑绝对值的几何意的几何图形的面积为.义.题型三、转化和放缩核心技能：掌握【知识点】部分的各个结论及其推论，包括等号成立的条件.a【例题10】【2017年高考，17】已知∈R，函数4ttx令=+，∈[4，5]，x4f(x)=x+－a+ax则原题转化为g(t)=|ta在区间[1，4]上的最大值为5，则实数的取值围是aat.－|+≤5在∈[4，5]上恒成立的问题.文案标准【例题11】【2017年、、金丽衢联考】设m∈R，巩固例题9的方法，并应用数形结合的方法.fxxxmm()=|3－3－2|+xm在∈[0，2]上的最大值和最小值之差为3，则=.【例题12】【2017年省嵊州市高三第一学期质调】已知不妨设fxxaxxaxgxhxxa()+()=+(2()=+(－4)+1+|2－+1|－21xgxhxx4)+1，()－()=2a的最小值为，则是实数的值为.2ax－+1，然后即可发现问题的本质.文案标准gxfx令()=()－1，则原【例题13】【省市2017届高三二模，17】已知ì条件转化为ï2cosp2x,|x|£1,()fx=íïgxgxlgx|()+(+)|+|()－îx2-1,|x|1,>lfxfxlfxfx+llg(x－l)|≥2.实数>0，若|()+(+)－2|+|()－()|≥2恒成立，则的g(x+l)(l>0)是g(x)的图像向最小值为.注意到将函数l左平移个单位所得到.这种图象的平移要重fxR视，比如已知()为x上的奇函数，当>0时，1fx()=(|x－ax|+|－22aa22|－32)，若对任意xR的实数∈都有f(xfx－1)≤()，则实数a的为取值围.→→ab→a这一道题的解法比较多，唯独用绝对值不等式比较简便：【例题14】【省2016年高考，15】已知向量，满足：||=1，→→→→→→aebe||=2，若对任意的单位向量，都有|·|+|·|≤6，则·→→abbe的最大值是.文案标准ab由2(+2)=10，而2→→ab|+|≤→→→→aebe|·|+|·|≤6，ababa而4·=(+)2－(－b)2即可解出答案.1zr设||=，则z【例题15】【2014年预赛】已知复数满足z+≤2，则||的取zz1r－≤2，考虑其意值围是.r义是什么?fxxaxba【例题16】【省2015年高考，18】已知函数()=++(，注意基本不等式：2a+b2b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值.abmin{，}≤ab≤aMab(1)证明：当||≥2时，(，)≥2；a2+b2a≤max{，≤ab(2)当，满足Mabab(，)≤2时，求||+||的最大值.2b}.文案标准xaxbfxaxb【例题17】【2014年预赛，6】已知对∈[0，1]，都有|+|令()=+，则bxa≤1，则|+|的最大值为(0)=，=(1)－ffbaf.(0).ab均此题的解法比较多，应用绝对值不等式是最简的解法.【例题18】【2018年省预赛，12】设∈R，且对任意实数有xaxb2max|++|≥1，x∈[0，1]a求的取值围.文案标准km【例题19】【2017年全国联赛，9】设、为实数，不等式xkxm|－－|≤12xabba对所有∈[，]成立.证明：－≤22.【过关习题4】ababaab1.【2018年学考选考十校联盟，☆☆】已知，是实数，则“||≤1且||≤1”是“|+|+|b－|≤2”的.A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件afxxxa2.【2018年高三适应性考试，，☆☆】已知>0，函数()=|+|－|－3|在区间[－1，1]2a上的最大值是2，则=.fxxaxffx3.【2018年二模，17，，☆☆☆】已知()=－，|(())|≤1在[1，2]上恒成立，则实2a数的最大值为.fxxaxbM(a，4.【2017年诸暨二模，，☆☆☆☆】已知函数()=|++|在区间[0，]的最大值为c2bcabMabc∈R，>0为常数)且存在实数，，使得取最小值2，则++=.文案标准1yxxyxy5.【☆☆】设正实数，，则|－|++2的最小值为.fxxaxbabxxxx16.【2017年二模，10，☆☆】设函数()=++(、∈R)的两个零点为、2，若||+|2|21≤2，则.A.|a|≥1B.|b|≤1C.|a+2b|≥2D.|a+2b|≤21a+1abaab－b7.【2017年4月份学考，☆☆】已知，∈R，≠1，则|+|+的最小值为.xy8.【2017年市柯桥中学5月质检，8，☆☆】已知，∈R，则.113x+y－+≤22222113Axyxy.若|+|+|－2|≤1，则2Bxyxy.若|－|+|－2|≤1，则2x－y－+≤22222113x+y++≤22222Cxyxy.若|+|+|－|≤1，则22113x－y++≤22222Dxyxy.若|+|+|+|≤1，则22abc9.【2016年高考，8，☆☆☆】已知实数、、，下面四个选项中正确的是.Aabcabc.若|++|+|++|≤1，则abc++2<1002222Babcabc.若|++|+|+－|≤1，则abc++2<1002222Cabcabc.若|++|+|+－2|≤1，则2abc++2<10022Dabcabc.若|++|+|+－|≤1，则abc++2<1002222xyz|+2－3|≤6，xyz|－2+3|≤6，xyz则||+||+||xyz10.【2017年高级中学最后一模，17，☆☆】设实数，，满足xyz|－2－3|≤6，xyz|+2+3|≤6，的最大值为.文案标准aa|+1|－|2－1|fxxfxa对任意的≠11.【2017年名校协作体，7，☆】设()=|2－1|，若()≥a||x0恒成立，则的取值围为.fxaxbxcabcaM(a，b，c)为|f12.【2016年样卷，☆】已知()=++，、、∈R，且≠0，记2a+b+2cx()|在[0，1]上的最大值，则M(a，b，c)的最大值是.fxxaxbabxfx13.【☆☆】设函数()=|++|，若对任意的实数、，总存在0∈[0，4]使得(0)2m≥成立，则实数m的取值围是.fxM(a，b)()=－3－3+，记xxx14.【2017年缙云、富阳、长兴联考，☆☆☆】已知函数2gxaxbfxabM(a，b)的最小值为函数为()=|+－()|(>0，∈R)在[－2，0]上的最大值，则.fxxaxb15.【2017年一模，9，☆☆☆】设函数()=++，记2Myfx为函数=|()|在[－1，1]Nab上的最大值，为||+||的最大值，则.11A.若MC.若MNB.若M=2，则=3N=3，则=3ND.若M=3，则=3N=2，则=3fxaxxbxfx16.【2017年诸暨，☆☆☆】设函数()=|+2+|，若对任意的∈[0，4]，函数()1ab≤恒成立，则+2=.2xaxbxc17.【省市2017届高三二模，17，☆☆☆】已知对任意实数都有|cos2+sin+|≤1恒axb成立，则|sin+|的最大值为.18.【省市2016届高三教学质量测试(二)，14，☆☆】{}－4y+m|，|y2xn－2+|aab(≥)Fmax|x2abxyRmn设max{，}=b(a<b)，已知，∈，+=6，则=的最小值为．文案标准fxaxbxcaxfxabc19.【☆☆】已知()=++(≠0)，若对任意的||≤1，都有|()|≤1，则||+||+||2的最大值为.xOyOAB中，为原点，(－1，0)，(0，3)，20.【2014年高考，☆☆】在直角平面坐标系→CD→→→OAOBODC(3，0)，动点D满足||=1，则|++|的最大值为.xx－2，<0，fxfxxfx221.【省2017年预赛，10，☆☆☆】已知()=若方程()+21－+|()xx－1，≥0，2xaxxxxxxxxxx－2=2(32－21－2|－2－4=0有三个不等的实数根，，3，且<<3，若1212xa－1)，则=.11fxxxxxfx22.【2006年，☆】已知函数()=2(sin+cos)－2|sin－cos|，则()的值域为.3ππ23.【2008年，☆】函数=tan+sin－|tan－sin|在区间的图像是，22yxxxx.yy22πxπx3ππ3π2OπO222AByyπ3ππ3πππ2222xxOO-2-2CDxabcdbc24.【省市2015年高三教学质量调测，15，☆☆☆】当且仅当∈(，)∪(，)(≤)时，fxxxgxxxtb－a+d－c的取值围函数为()=2++2的图像在函数()=|2+1|+|－|的下方，则2.文案标准abababe25.【2016高考文数，☆☆】已知平面向量，，||=1，||=2，·=1．若为平面单位aebe向量，则|·|+|·|的最大值是______．abxxaxb26.【2014年预赛，9，☆☆】已知、为实数，对任何满足0≤≤1的实数，都有|+|abab≤1成立，则|20+14|+|20－14|的最大值是.+x，x≤1，x2－fxg(x)=|x－k|+|x－1|，若对任意27.【2014年预赛，14，☆☆】已知()=xxlog，>1，12xxfxgxk的，2∈R，都有()≤(2)成立，则实数的取值围为.11fxxax28.【2014年全国联赛，3，☆☆】若函数()=+|－1|在[0，+∞)上单调递增，则实数2a的取值围是.xxaxaa29.【2015年预赛，1，☆☆】若对任意实数，|+|+|+1|≤2恒成立，则实数的最小值为.xxx30.【2016年预赛，1，☆☆☆】方程=|－|－6||的解为.xRfxxxxx31.【2016年预赛，12，☆☆】设∈，则函数()=|2－1|+|3－2|+|4－3|+|5－4|的最小值为.aRxaa32.【2016年预赛，11，☆☆☆】设∈，方程||－|－|=2恰有三个不同的实数根，则a=.xy33.【1982年全国，4，☆☆】由曲线|－1|+|－1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是.A.1B.2C.πD.4xxxxyx34.【2017年预赛，5，，☆☆】定义区间[1，2]的长度为－1.若函数=|log2|的定义域2abab为[，]，值域为[0，2]，则区间[，]的长度的最大值和最小值的差为.fxxxxffx35.【2018年预赛，8，☆】设()=|+1|+||－|－2|，则(())+1=0有个不同的解.文案标准36.【2015年全国，6，☆☆】在平面直角坐标