《普通物理》第八章 振动

第八章振动28.1振动的描述

简谐振动的描述简谐振动：匀速圆周运动在任意直径方向的分运动振动：物体在平衡位置附近的往返运动3简谐振动的运动方程

相位初相位4

非简谐振动的简谐分解非简谐振动分为周期性的和非周期性的第一类可以用傅里叶（Fourier）展开第二类可以作傅里叶（Fourier）变换因而非简谐振动都可分解为简谐振动设振动的周期为T，周期函数满足引入称为基频率，简称基频。n次谐频（n=2为二次谐频，其它依此类推）5傅里叶级数它们都具有周期

T，且有正交性和完备性正交性

正交归一完备的函数族：6一般的周期性函数都可以用傅里叶级数展开

x(t)被分解为（除常数项A0/2之外）频率为nω的一系列简谐振动ω，2ω，3ω，…构成离散的傅里叶频谱An，Bn为相应简谐振动的振幅

7例6

方波8

9例7

锯齿波10

11简谐振动的复数表示法傅里叶变换构成连续的傅里叶频谱非周期性振动的傅里叶分解

12例8

δ函数定义另一种形式的δ函数性质1314

简谐振动的其它表示简谐振动的矢量表示简谐振动用旋转矢量表示

15简谐振动的复数表示复数表示的优越之处：求导、积分很方便。复数的实部对应真实的振动量16例已知简谐振动的角频率ω，并且已测得在某时刻的振动量和振动速度试求振幅和初相位。简谐振动一般表述代入已知条件解得考虑到178.2简谐振动

弹性系统的运动方程匀速圆周运动的质点在直径x方向上的分运动是简谐振动

线性回复力：力的大小与偏离平衡位置的位移大小成正比方向指向平衡位置。动力学方程

18线性回复力水平弹簧振子xk动力学方程

19复摆刚体定轴转动定理在小角度近似下

20动力学方程（二阶常系数线性齐次微分方程）虽然振动的物理量不同，但它们都满足相同的微分方程

21动力学方程及其解x

的通解通解中包含两个待定的积分常量它们取决于振动的初始运动状态描述简谐振动的三个特征参量：振幅、初相位和频率

22振幅A和初相位φ0

的确定由振动的初始条件φ0所在的象限则由sinφ0

或cosφ0

的符号确定

23固有频率ω0弹簧振子单摆复摆质量越大，固有频率越低；劲度系数越大，固有频率越高。任一振动系统的固有频率由振子的固有参量决定，与初始条件无关。24永乐大钟

明代永乐年间北京铸造的永乐大钟，材料为铜、锡、铅合金，结构合理，铸造工艺精湛，至今音响依然圆润宏亮，具有明显的音乐效果，钟声可传四五十公里，余音达2分钟之久。大钟高6.96米，钟口直径3.3米，重46.5吨。钟上铸有精美阳文楷书、佛教经咒文字约23万个。永乐大钟以精湛的铸造工艺、第一流的声学特性，代表了我国古代在冶炼铸造、声学等方面的技术已达到极高的水平。现藏于北京海淀区大钟寺内。

永乐大钟钟声悠扬悦耳，经专家测试，其声音振动频率与音乐上的标准频率相同或相似，轻击时，圆润深沉；重击时，浑厚洪亮，音波起伏，节奏明快优雅。声音最远可传90里，尾音长达2分钟以上。25古琴雷威斫琴不必皆桐。遇大风雪中独往峨嵋。酣饮，著簔笠入深松中，听其声，连延悠扬者伐之，斫为琴，妙过于桐。——《琅環记》唐•“九霄环佩”伏羲式故宫博物馆藏管平湖26霸王龙TyrannosaurusRex生于六千五百万年前的白垩纪腿长3.1米步距S=4.0米腿部做单摆运动的周期27动能势能机械能振子的动能和势能都随时间周期性地变化，且幅值相同振子的机械能则保持不变谐振子的能量

28例平衡位置

U形管截面面积S，管中流体的质量m、密度ρ，求液体振荡周期T设偏离平衡位置的液柱高度

y液柱作简谐振动机械能守恒两边求导

298.3多自由度弹性系统在小角度近似下，耦合摆的动力学方程为12用轻弹簧连在一起的耦合摆分别以悬挂点为参考点，根据角动量定理

30小角度耦合摆的振动是两个简谐振动的叠加简正模normalnode引入两个新的参量方程变换为

31两个自由度三个自由度四个自由度多自由度的简正模32第八章作业题5、6、9、11、17338.4阻尼振动当没有外界的能量补充时，实际振动系统的振幅都要随时间逐渐衰减。振幅衰减的原因，一是存在阻尼力二是振动能量以波的形式向周围传播34

阻尼因子阻尼振动的微分方程固有频率

35n阶线性微分方程n阶线性微分方程解的存在唯一性定理

36n阶齐线性微分方程齐线性微分方程解的性质与结构齐线性方程的解满足叠加原理n阶齐线性方程一定存在n个线性无关的解n阶齐线性方程的通解可表为这n个线性无关解的线性叠加n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间n阶齐线性方程的n个线性无关解不是唯一的

37二阶常系数线性齐微分方程的解猜测解r待定r的两个根方程的解：系数由振动的初始条件确定

38（1）过阻尼39（2）低阻尼初始条件决定新的线性无关解通解40振子机械能的耗散机械能的减少是由于阻尼力提供了负的功率

41品质因数t时刻振子能量为E，经过一个周期振子损失的能量为ΔE在低阻尼情况下在阻尼很小的情况下描述阻尼能耗的品质因数与固有频率成正比，与阻尼系数成反比42（3）临界阻尼临界阻尼过阻尼低阻尼在临界阻尼条件下，振动系统回到平衡位置用时最短。指数衰减因子438.5受迫振动没有外部不断供给能量，耗散系统的振动是不能持久的激励振动的方式主要有两种：周期力和单向力。受迫振动：用周期力驱动的振动。周期力中简谐策动力最重要：（1）简谐策动力最简单，也最普遍（2）非简谐策动力都可以看作简谐策动力的线性叠加44策动力其中

45方程的通解可分解为下列两个方程的通解与特解之和方程的通解=齐次方程的通解+方程的特解

46受迫振动的微分方程的求解问题就转化为寻找方程的特解猜测代入方程两边对应项的系数相等47受迫振动的微分方程的通解第一项即阻尼振动，随时间衰减，故称暂态解第二项不随时间衰减，称为稳态解思考题：策动力换为

试求受迫振动方程的特解48暂态解与稳态解暂态解稳态解49振幅随ω的变化根据共振振幅共振频率500.012不同阻尼条件下，振幅随频率的变化51速度随ω的变化根据共振速度共振频率52不同阻尼条件下，速度随频率的变化0.0153我们周围的世界充满了各种振动54人体共振频率眼球(20-90Hz)头(20-90