第十二章 结构动力计算

第十二章结构动力计算第1页，共113页，2023年，2月20日，星期四§12-1概述§12-2运动方程的建立§12-3单自由度体系的自由振动§12-4阻尼对自由振动的影响§12-5简谐荷载作用下无阻尼单自由度体系的受迫振动§12-6多自由度体系的自振频率和振型计算第十二章结构动力计算第2页，共113页，2023年，2月20日，星期四一、动荷载及其分类

动荷载是指其大小、方向和作用位置随时间变化的荷载。由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。

静荷载只与作用位置有关，而动荷载是坐标和时间的函数。

§12-1概述第3页，共113页，2023年，2月20日，星期四动荷载按其随时间的变化规律进行分类：第4页，共113页，2023年，2月20日，星期四二、结构动力计算的目的

研究结构在动荷载作用下的反应规律，找出动荷载作用下结构的最大动内力和最大动位移，为结构的动力可靠性设计提供依据。

三、动力反应的特点在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等）都随时间变化，它除了与动荷载的变化规律有关外，还与结构的固有特性（自振频率、振型和阻尼）有关。不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动荷载下的反应，故称之为结构的动力特性。第5页，共113页，2023年，2月20日，星期四强迫振动：结构在动荷载作用下产生的振动。研究强迫振动，可得到结构的动力反应。

四、自由振动和强迫振动自由振动：结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。结构在强迫振动时各截面的最大内力、位移都与结构的自由振动的频率密切有关。第6页，共113页，2023年，2月20日，星期四确定体系运动过程中任一时刻全部质点位置所需的独立几何参数数目，称为体系的自由度。根据自由度的数目，结构可分为单自由度体系，多自由度体系和无限自由度体系。五、动力分析中的自由度1．自由度的定义将连续分布的结构质量按一定的力学原则集中到若干几何点上，使结构只在这些点上有质量。从而把一个无限自由度问题简化为有限自由度问题。2.实际结构自由度的简化方法为分析计算方便，往往将具有无限自由度体系的实际结构简化为有限自由度。常用的简化方法有：（1）集中质量法第7页，共113页，2023年，2月20日，星期四不计轴向变形:W=1平面:计轴向变形:W=2第8页，共113页，2023年，2月20日，星期四3.确定体系振动自由度的方法4个自由度2个自由度方法一:可以运用附加链杆法，使质量不发生线位移所施加的附加链杆数即为体系的计算自由度。方法二:当忽略杆件的轴向变形时，可以运用几何构造分析中的铰接链杆法——将所有质点和刚结点变为铰结点后，使铰接链杆体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为自由度数。第9页，共113页，2023年，2月20日，星期四不计轴向变形：W=1W=2第10页，共113页，2023年，2月20日，星期四W=3W=1θ第11页，共113页，2023年，2月20日，星期四结论：①结构自由度数目与质点的个数无关②结构自由度数目与超静定次数无关考虑轴向变形后各计算简图的动力自由度数是多少？思考：第12页，共113页，2023年，2月20日，星期四描述体系振动时质点动位移的数学表达式，称为动力体系的运动方程（亦称振动方程）。单自由度体系的动力分析能反映出振动的基本特性，是多个自由度体系分析的基础。本章只介绍微幅振动（线性振动）。根据达朗贝尔原理建立运动方程的方法称为动静法（或惯性力法）。具体作法有两种：刚度法和柔度法。§12-2运动方程的建立第13页，共113页，2023年，2月20日，星期四刚度法：将力写成位移的函数，按平衡条件列出外力（包括假想作用在质量上的惯性力和阻尼力）与结构抗力（弹性恢复力）的动力平衡方程（刚度方程），类似于位移法。柔度法：将位移写成力的函数，按位移协调条件列出位移方程（柔度方程），类似于力法。第14页，共113页，2023年，2月20日，星期四质量m所产生的水平位移，可视为由动力荷载P(t)和惯性力共同作用在悬臂梁顶端所产生的。根据叠加原理，得一、按位移协调条件建立运动方程――柔度法第15页，共113页，2023年，2月20日，星期四δ11——柔度系数。表示在质量的运动方向施加单位力时，在该运动方向所产生的静力位移。式（B）可改写为：第16页，共113页，2023年，2月20日，星期四1、单自由度体系的振动模型二、按平衡条件建立运动方程刚度法（1）动力荷载：（2）弹性恢复力：（3）惯性力：2、取质量m为隔离体，其上作用有：第17页，共113页，2023年，2月20日，星期四3、建立运动方程根据达朗贝尔原理，由∑X＝0，得代入，即得K11——刚度系数。表示在质量的运动方向产生单位位移所需施加的力。刚度系数与柔度系数互为倒数：第18页，共113页，2023年，2月20日，星期四例1：试用刚度法建立图示刚架受动力荷载P(t)作用的运动方程。解：1)确定自由度（建模）：结构的质量m分布于刚性横梁，只能产生水平位移，属单自由度体系。2)确定位移参数：设刚梁在任一时刻的位移为y(t)，向右为正。第19页，共113页，2023年，2月20日，星期四3)绘隔离体受力图：取出隔离体。图中给出了惯性力、弹性恢复力。各力均设沿坐标正向为正。4)列运动方程：按动静法列动力平衡方程，可得第20页，共113页，2023年，2月20日，星期四式中：代入整理，可得运动方程：式中，刚度系数k又称为楼层刚度，系指上下楼面发生单位相对位移（∆＝1）时，楼层中各柱剪力之和，如图所示）。第21页，共113页，2023年，2月20日，星期四例3:试用柔度法建立图示静定刚架受动力荷载作用的运动方程。解：本题为单自由度体系的振动。取质量m水平方向的位移y为坐标。运动方程为:第22页，共113页，2023年，2月20日，星期四绘出、图如图所示。由图乘法得得运动方程图图第23页，共113页，2023年，2月20日，星期四也可写作为等效动力荷载第24页，共113页，2023年，2月20日，星期四四、建立运动方程小结1)判断动力自由度数目，标出质量未知位移正向。2)沿所设位移正向加惯性力、阻尼力和弹性恢复力，并冠以负号。3)根据是求柔度系数方便还是求刚度系数方便，确定是写柔度方程还是写刚度方程。4)刚度方程几种写法的选择：①当结构给质体的反力亦即弹性恢复力FS容易求时，宜以质体为隔离体建立方程（方法二）；否则以结构为对象列方程（方法一）。②当用上述方法一和方法二有困难时，则宜用添加附加约束的方法列方程（方法三）。第25页，共113页，2023年，2月20日，星期四1、刚度法：质点在惯性力与弹簧的恢复力作用下将处于一种虚拟平衡。一、运动方程：体系在没有外部动力荷载作用，而由初始位移y0和初始速度u0

引起的振动，叫做自由振动§12-3单自由度体系的自由振动(不计阻尼)第26页，共113页，2023年，2月20日，星期四2、柔度法：当质点振动时，把惯性力看作是一个静力荷载，则质点在其作用下结构在质点处的位移y(t)应等于：第27页，共113页，2023年，2月20日，星期四二、运动方程的解：初始条件定积分常数当t=0时则运动方程为：设初始时刻有初位移y0和初速度v0第28页，共113页，2023年，2月20日，星期四三、自由振动解的分析1．质点的运动规律—简谐振动，质点作直线往复运动。Tyt0-AA质点离平衡位置的位移随时间t变化的函数图

振幅:初相位:第29页，共113页，2023年，2月20日，星期四初相角a：标志着t=0时的位置。频率f：每1秒间振动次数，圆频率（简称频率）ω：表示2π秒内的振动次数。振幅A：振动过程中的质点的最大的位移。周期T：Tyt0-AA第30页，共113页，2023年，2月20日，星期四2．自由振动中速度的改变规律最大速度等于振幅A与频率w的乘积。最大加速度等于振幅A与频率w平方的乘积3．自振中加速度和惯性力的变化规律：惯性力幅值等于质量、振幅与频率平方的乘积第31页，共113页，2023年，2月20日，星期四由于阻尼的作用，自振在几秒乃至百分之几秒内消失。但阻尼对自振频率的影响很小。4．自振的衰减四、求自振频率的方法：

1．用于柔度系数好求的体系。

2．用于刚度系数好求的体系。用于单质点的单自由度体系第32页，共113页，2023年，2月20日，星期四3．能量法求自振频率。（用于多质点的单自由度体系、复杂体系）4．幅值方程求自振频率。两者按同一规律改变。由式（12-32）：第33页，共113页，2023年，2月20日，星期四在达到振幅时，惯性力Z(t)达到其幅值，惯性力与位移方向一致，位移A是惯性力幅值产生的。故：由柔度方程：由刚度方程：幅值方程求自振频率第34页，共113页，2023年，2月20日，星期四例12-8：图示钢制悬臂梁，梁端部有一个质量为123kg的电机。已知梁跨为1m，弹性模量：,截面惯性矩I=78cm4。不计梁的自重，求自振频率和周期。第35页，共113页，2023年，2月20日，星期四解：图示体系为单质点的单自由度体系1）画单位力作用下的单位弯矩图。2）图乘法计算柔度系数。3）求自振频率lP=1第36页，共113页，2023年，2月20日，星期四例12-9图示排架的横梁为刚性杆，质量为m，柱质量不计,求其自振频率。解:第37页，共113页，2023年，2月20日，星期四

不考虑轴向变形，故为一单自由度体系。作图，求出刚度系数:

自振频率

例12-9图示排架的横梁为刚性杆，质量为m，柱质量不计,求其自振频率。第38页，共113页，2023年，2月20日，星期四例3：求图示刚架的自振频率。各杆EI为常数。10.6l0.6lMi图解:1）作出单位力引起的弯矩图，第39页，共113页，2023年，2月20日，星期四10.6l0.6l1）作出单位力引起的弯矩图，3）求自振频率：2）按图乘法求出柔度系数为：Mi图第40页，共113页，2023年，2月20日，星期四例4：求图示刚架的自振频率。各杆EI为常数。11ll分析：图示体系有两个振质，均无竖向位移，仅有水平位移且相同，故是单自由度体系。由于两个质点上的惯性力共线，列方程时可以合并，所以可按一个质点的情况考虑。解:（1）作出虚设位移方向的单位力引起的弯矩图第41页，共113页，2023年，2月20日，星期四（1）作出单位力引起的弯矩图，（3）求自振频率：（2）按图乘法求出柔度系数为：11ll0第42页，共113页，2023年，2月20日，星期四例5：求图刚架水平振动的自振频率，不计横梁的变形。k11k11解：图示体系为单自由度体系:1)在质量上沿位移方向加链杆，并令链杆沿位移方向发生单位位移，作出单位弯矩图。第43页，共113页，2023年，2月20日，星期四2）求链杆反力，即为刚度系数3）求自振频率：k11k11EI→∞例5：求图刚架水平振动的自振频率，不计横梁的变形。第44页，共113页，2023年，2月20日，星期四例6：求图示体系的自振频率。已知杆的刚度为无穷大，不计杆的质量，弹簧刚度系数为K。解：图示体系为单自由度体系。由于两个质点的惯性力不共线，所以不能将质量合并。利用幅值方程求解。第45页，共113页，2023年，2月20日，星期四方法一：利用幅值方程。

以质点C的位移作基本位移参数，其最大位移设为A，以A点为矩心列力矩方程，有第46页，共113页，2023年，2月20日，星期四方法二：能量法求体系的最大动能和最大势能。振子的最大动能：弹性势能：令第47页，共113页，2023年，2月20日，星期四思考：图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量m。当不考虑的自重，试比较三者的自振频率。第48页，共113页，2023年，2月20日，星期四P=1思考：图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量m。当不考虑的自重，试比较三者的自振频率。第49页，共113页，2023年，2月20日，星期四mgP=1MP图Mi图△st表示重力所产生的静位移思考：图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量m。当不考虑梁的自重，试比较三者的自振频率。第50页，共113页，2023年，2月20日，星期四MP图mgP=1Mi图思考：图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量m。当不考虑梁的自重，试比较三者的自振频率。第51页，共113页，2023年，2月20日，星期四结构的自振频率只取决于它本身的质量、刚度，随着结构刚度的加大，其自振频率也相应增高。思考：图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量m。当不考虑梁的自重，试比较三者的自振频率。第52页，共113页，2023年，2月20日，星期四作业：《教材》12-15、16总结：

1、质点的运动规律——简谐振动。

2、自由振动中速度、加速度、惯性力的改变规律

3、求自振频率的方法：

柔度法刚度法能量法幅值法单质点、单自由度体系多质点单自由度体系、复杂体系第53页，共113页，2023年，2月20日，星期四§12-5简谐荷载作用下无阻尼单自由度体系的受迫振动强迫振动——结构在动荷载作用下的振动单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示:

弹性力惯性力

平衡方程

第54页，共113页，2023年，2月20日，星期四不同的动荷载作用，体系的动力反应不同。常见的几种动荷载作用下体系的动力反应：或

式中

结构的自振频率

单自由度体系强迫振动方程

第55页，共113页，2023年，2月20日，星期四一、简谐荷载

—

荷载幅值

—

荷载的圆频率(扰频)1、运动方程及其解

二阶线性非齐次常微分方程

通解：

齐次解：

设特解：

第56页，共113页，2023年，2月20日，星期四运动方程的通解为：

由初始条件确定故特解为：代入方程，求得式（12-61）第三项按扰频振动，称为纯受迫振动。前两项消逝后，只考虑稳态，即：第57页，共113页，2023年，2月20日，星期四式（12-62）中振幅A等于：其中：由此可得：叫静位移。是将扰力的幅值P作为静力加上去时产生的位移令：得振幅的表达式：动力系数第58页，共113页，2023年，2月20日，星期四得振幅的表达式：求动位移、动内力最大值的计算步骤：1）在扰力幅值P作用下求静位移及静内力；2）求动力系数；3）将静位移、静内力乘以动力系数即得动位移、动内力的幅值；思考题:P70例题12-15第59页，共113页，2023年，2月20日，星期四动力系数是频率比的函数

2、算式分析它反映了干扰力对结构的动力作用。振幅算式：动力系数：当时，即动位移与干扰力指向一致；当时，即动位移与干扰力指向相反。第60页，共113页，2023年，2月20日，星期四1）时，干扰力产生的动力作用不明显，因此可当作静荷载处理；极限情况，即或，则。意味着结构为刚体或荷载不随时间变化，因此不存在振动问题。当时，为增函数。

2、算式分析振幅算式：动力系数：第61页，共113页，2023年，2月20日，星期四2）当时，，共振,为避开共振，可改变干扰力频率或改变结构的自振频率使或。

3）当时，为减函数当时，，，体系处于静止状态。2、算式分析振幅算式：动力系数：第62页，共113页，2023年，2月20日，星期四例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩.已知：第63页，共113页，2023年，2月20日，星期四解:(1)计算动力系数梁的自振频率：

荷载频率：

动力系数：

例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩.第64页，共113页，2023年，2月20日，星期四(2)动荷载幅值作为静荷载作用时的位移和内力(3)振幅和动弯矩幅值振幅动弯矩幅值例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩.第65页，共113页，2023年，2月20日，星期四(4)最大位移和最大弯矩

简支梁的最大位移和最大弯矩均在梁跨中点

跨中重量G产生的静位移

:跨中的最大位移:

跨中重量G产生的静弯矩:跨中的最大弯矩:

例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩.第66页，共113页，2023年，2月20日，星期四4.动荷载不作用在质点上时的动计算

振动方程

令

(a)

(b)

第67页，共113页，2023年，2月20日，星期四则稳态解[同式(12-62)]

(c)

(d)

(e)

第68页，共113页，2023年，2月20日，星期四

（1）、振幅

结论:仍是位移的动力系数.第69页，共113页，2023年，2月20日，星期四

（2）、动内力幅值

三者同时达到幅值。、、作同频同步运动，根据稳态振动的振幅，算出惯性力。然后，将惯性力幅值和干扰力幅值同时作用在体系上，按静力学计算方法便可求得动内力幅值。第70页，共113页，2023年，2月20日，星期四例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图。已知：

(a)

(b)

解

(1)计算动力系数

(2)简支梁的振幅

(c)第71页，共113页，2023年，2月20日，星期四

(d)

(e)

(3)作动弯矩的幅值图惯性力幅值动弯矩幅值图(f)将动荷载幅值F和惯性力幅值I作用在梁上，按静力学方法作出弯矩图---动弯矩幅值图。

例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图。已知：第72页，共113页，2023年，2月20日，星期四结论对于单自由度体系，当干扰力作用在质量上时，位移的动力系数和内力的动力系数是相同的；当干扰力不作用在质量上时，位移和内力各自的动力系数通常是不同的。对于位移和内力动力系数相同的情况，求结构的最大动力反应时，可将干扰力幅值当作静荷载作用计算结构的位移和内力，然后再乘以动力系数，便可得到稳态振动时结构的最大动位移和最大动内力。对于位移和内力动力系数不同的情况，则要从体系的运动方程出发，先求出稳态振动的位移幅值，再算出惯性力。最后，按静力计算方法求出结构在干扰力幅值和惯性力幅值共同作用下的内力，此即结构的最大动内力。第73页，共113页，2023年，2月20日，星期四●工程实例1)多层房屋的侧向振动，2)不等高排架的振动，3)块式基础的水平回转振动，4)高耸结构(如烟囱)在地震作用下的振动，5)桥梁的振动，6)拱坝和水闸的振动等，一般均化为多自由度体系计算。●目的1)计算自振频率，即，，…，。2)确定振型（振动形式），即，，…

，或振型常数r1，r2（仅适用于两个自由度体系）。并讨论振型的特性——主振型的正交性。§12-7多自由度体系的自振频率和振型计算第74页，共113页，2023年，2月20日，星期四●方法1)刚度法——根据力的平衡条件建立运动微分方程。2)柔度法——根据位移协调条件建立运动微分方程。对于多自由度体系自由振动分析一般不考虑阻尼。第75页，共113页，2023年，2月20日，星期四一、两个自由度体系的自由振动1.刚度法(1)运动方程的建立若不考虑阻尼，取质量m1和m2作隔离体，质点上作用惯性力和弹性恢复力，根据达朗伯原理，可列出平衡方程第76页，共113页，2023年，2月20日，星期四结构所受的力、与结构的位移、之间应满足刚度方程是结构的刚度系数第77页，共113页，2023年，2月20日，星期四可得运动方程也可用矩阵表示为或缩写为式中，为质量矩阵；为加速度列阵；为刚度矩阵；为位移列阵。第78页，共113页，2023年，2月20日，星期四(2)运动方程的求解设1)在振动过程中，两个质点同频率（w）、同相位（a）。上式所表明的运动具有以下特点：2)在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但二者的比值始终保持不变，即常数结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型或振型。这样的振动称为按振型自振（单频振动，具有不变的振动形式），而实际的多自由度体系的自由振动是多频振动，振动形状随时间而变化，但可化为各个振型振动的叠加。第79页，共113页，2023年，2月20日，星期四(3)求自振频率wi将代入运动方程得或为了要求得A1、A2不全为零的解答，应使其系数行列式为零，即由此式可确定体系的自振频率wi，因此称频率方程或特征方程。第80页，共113页，2023年，2月20日，星期四将D展开，整理后，得由此可以解出w2的两个根，即由上式可见，w只与体系本身的刚度系数及其质量分布情形有关，而与外部荷载无关。约定w1<w2，其中w1称第一圆频率（最小圆频率，基本圆频率、基频）w2称第二圆频率（高频）。第81页，共113页，2023年，2月20日，星期四(4)求主振型第一,求第一主振型：令w

=w1，代入式（12-98），则代入振型方程（12-101）由于系数行列式D＝0，此二方程是线性相关的（实际上只有一个独立的方程），不能求出A11和A21的具体数值，而只能求得二者的比值。第一振型（相对于w1），可表示为第82页，共113页，2023年，2月20日，星期四第二，求第二主振型：令w=w2，则代入振型方程，得同样，也可求得第83页，共113页，2023年，2月20日，星期四可作出两个自由度体系的第一主振型和第二主振型，如图所示。第一主振型第二主振型两个自由度体系第84页，共113页，2023年，2月20日，星期四三．举例

例12-19：已知图示两层刚架，横梁为无限刚性。该质量集中在楼层上，分别为m1，m2。层间侧移刚度（层间产生单位相对侧移时所需施加的力）分别为k1，k2。求刚架水平振动时自振频率和主振型。第85页，共113页，2023年，2月20日，星期四解：（1）求结构的刚度系数第86页，共113页，2023年，2月20日，星期四（2）求自振频率由频率方程当时，有解得：第87页，共113页，2023年，2月20日，星期四（3）求主振型两个主振型图：第一主振型第二主振型第一主振型第二主振型第88页，共113页，2023年，2月20日，星期四在一般情况下，两个自由度体系的自由振动可以看作是两个频率及其主振型的组合振动。相应于w1，有一组特解（前述甲组特解），相应于w2也有一组特解（乙组特解），它们是线性无关的。由这两组特解加以线性组合，即得通解为甲组特解乙组特解式中，两对待定常数A1、a1；A2、a2由初始条件(y0和v0)确定。两个自由度体系可按第一主振型、第二主振型或二者的组合振动。体系能按某个振型自振，其条件是：y0和v0应当与此主振型相对应。要想引起按第一主振型的简谐自振，则所给y01/y02或v01/v02必须等于r1；要想引起按第二主振型的简谐自振，则所给y01/y02或v01/v02必须等于r2。否则，将产生组合的非简谐的周期运动。第89页，共113页，2023年，2月20日，星期四(5)标准化（规一化）主振型为了使主振型的振幅具有确定值，需要另外补充条件，这样得到的主振型，叫做标准化主振型。一般可规定主振型中某个元素为给定值，如规定某个元素Yji等于1，或最大元素等于1。

第一主振型第二主振型第90页，共113页，2023年，2月20日，星期四多自由度体系自由振动的重要特性：1)多自由度自振频率和主振型的个数均与体系自由度的个数相等；2)每个自振频率有其相应的主振型，而这些主振型就是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式；3)多自由度体系的自振频率和主振型是体系自身的固有动力特性，它们只取决于体系自身的刚度系数及其质量的分布情形，而与外部荷载无关。第91页，共113页，2023年，2月20日，星期四例：图示框架，其横梁为无限刚性。设质量集中在楼层上，试计算其自振频率和主振型。解：本例两层框架为两个自由度体系，用刚度法计算较为方便。(1)求刚度系数kij第92页，共113页，2023年，2月20日，星期四(2)求自振频率wi将m1=2m和m2=m以及已求出的kij代入所以由此得第93页，共113页，2023年，2月20日，星期四(3)求主振型（振型常数ri）第一主振型第二主振型(4)作振型曲线，如图所示。第一主振型

第二主振型

第94页，共113页，2023年，2月20日，星期四2.柔度法对于图示体系，在自由振动中的任一时刻t，质量m1、m2的位移、应当等于体系在当时惯性力、作用下所产生的静力位移（图a）思路(1)运动方程的建立dij是体系的柔度系数第95页，共113页，2023年，2月20日，星期四也可写为或以上运动方程，也可利用刚度法所建立的运动方程间接导出：因所以，有前乘以[d]，得注意：[d]与[K]虽然互为逆阵，但[d]中之dij与[K]中之kij元素一般并不互逆（仅单自由度体系例外）。第96页，共113页，2023年，2月20日，星期四(2)运动方程的求解(3)求自振频率wi设特解代入运动方程，并消去公因子表明，主振型的位移幅值(Y1及Y2)，就是体系在此主振型惯性力幅值作用下引起的静力位移，如图所示。惯性力为:第97页，共113页，2023年，2月20日，星期四将式通除以称为振型方程或特征向量方程。为了求得Y1、Y2不全为0的解，应使该系数行列式等于零，即称为频率方程或特征方程。由它可以求出w1和w2。第98页，共113页，2023年，2月20日，星期四令l

=，代入式(a)，得关于l

的二次方程展开，得(a)可解出l的两个根，即约定l1>l2(从而满足w1<w2)，于是求得第99页