第四章 系统的频率特性分析

第四章系统的频率特性分析第1页，共76页，2023年，2月20日，星期四内容提要4.1频率特性概述4.2频率特性的图示法4.3频率特性的特征量4.4最小相位系统和非最小相位系统第2页，共76页，2023年，2月20日，星期四引言时域分析：重点研究过渡过程,通过在阶跃或脉冲输入下系统的瞬态时间响应来研究系统的性能系统的动态特性用时域响应来描述最为直观与逼真。解析法求解时域响应十分不易，对于高阶系统就更加困难。第3页，共76页，2023年，2月20日，星期四引言频域分析：通过系统在不同频率的谐波(正弦)输入作用下的稳态响应来研究系统的性能.是一种图解分析方法.虽然是稳态响应，却可以用来研究稳定性和瞬态性能图解分析法，近似作图，简单、方便，易于在工程技术界应用有明确的物理意义，许多元件和稳定系统的频率特性都可用实验方法测定。机械工程科学中的很多问题都与频率特性有关。第4页，共76页，2023年，2月20日，星期四4.1频率特性概述一、频率响应与频率特性二、频率特性与传递函数的关系三、频率特性的求法四、频率特性的表示方法五、频率特性的特点和作用第5页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率响应与频率特性频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应，称为频率响应。若输入一谐波信号：则稳态响应为：第6页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率响应与频率特性例1有传递函数为

设输入信号为

则输出为系统的稳态响应拉氏逆变换并整理得：第7页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率响应与频率特性系统输出的幅值系统输出的相位

频率响应只是时间响应的一个特例。不过，当谐波频率不同时，其输出的幅值与相位也不同。这恰好提供了有关系统本身特性的重要信息。从这个意义上说，研究频率响应或者研究下面的频率特性就是在频域中研究系统的特性。第8页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率响应与频率特性2.频率特性相位逆时针为正，顺时针为负。相位超前为正，相位滞后为负。第9页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性与传递函数的关系设系统的微分方程为：系统传递函数为当输入信号为即系统的输出第10页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性与传递函数的关系若系统无重极点对稳定系统而言，上式第一项在t→∞时为0，系统的稳态响应为：

拉氏反变换后得：第11页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性与传递函数的关系若系统无重极点对稳定系统而言，上式第一项在t→∞使为0，系统的稳态响应为：

拉氏反变换后得：第12页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性与传递函数的关系则稳态响应为

第13页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性与传递函数的关系系统的幅频和相频特性分别为

故就是系统的频率特性。量纲同传递函数。实频特性虚频特性第14页，共76页，2023年，2月20日，星期四三、频率特性的求法1、根据系统的频率响应来求取从稳态响应中可得到频率响应的幅值和相位。

例1所述稳态响应为：

因为所以故频率特性为：

第15页，共76页，2023年，2月20日，星期四三、频率特性的求法2、将传递函数中的s换为jω（s=jω）来求例2求本节例1所述系统的频率特性和频率响应将系统的传递函数G(s)中的s换为jω，即为系统的频率特性。因此频率特性为：系统频率响应为：第16页，共76页，2023年，2月20日，星期四三、频率特性的求法3、用试验方法求取首先，改变输入谐波信号的频率ω，并测出与相应的输出幅值Xo(ω)与相位φ(ω)。然后，做出幅值比Xo(ω)/Xi对频率ω的函数曲线，即幅频特性曲线；作出相位φ(ω)对频率ω的函数曲线，即相频特性曲线。第17页，共76页，2023年，2月20日，星期四四、频率特性的特点和作用1.这表明系统的频率特性就是单位脉冲响应函数ω(t)的Fourier变换，即ω(t)的频谱。所以对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。第18页，共76页，2023年，2月20日，星期四四、频率特性的特点和作用2时间响应分析主要分析线性系统过渡过程，获取系统的动态特性；而频率特性分析不同的谐波输入时系统的稳态响应，获取系统的动态特性。3在研究系统的结构及参数的变化对系统性能的影响时，许多情况，在频域中分析要容易得多。特别是频率特性可方便地判别系统的稳定性和稳定储备量，参数选择或系统校正，使系统尽可能达到预期的性能指标。根据频率特性，易于确定系统频率范围。第19页，共76页，2023年，2月20日，星期四四、频率特性的特点和作用4

若线性系统的阶次较高，特别是对于不能用分析法得出微分方程的系统，在时域中分析系统的性能很困难，采用频率特性分析就很容易。５系统在输入信号的同时，在某些频带中有着严重的噪声干扰，则对系统采用频率特性分析法可设计出合适的通频带，以抑制噪声的影响。第20页，共76页，2023年，2月20日，星期四4.2频率特性的图示法频率特性G(jω)以及幅频特性和相频特性都是频率ω的函数，因而可以用曲线表示他们随频率变化的关系。常用的频率特性的图示方法有极坐标图和对数坐标图。本节主要内容：一、频率特性的极坐标图二、频率特性的对数坐标图第21页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率特性的极坐标图第22页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率特性的极坐标图1.典型环节的Nyquist图第23页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率特性的极坐标图1.典型环节的Nyquist图第24页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率特性的极坐标图1.典型环节的Nyquist图第25页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率特性的极坐标图1.典型环节的Nyquist图第26页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率特性的极坐标图1.典型环节的Nyquist图第27页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率特性的极坐标图1.典型环节的Nyquist图第28页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率特性的极坐标图1.典型环节的Nyquist图第29页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率特性的极坐标图1.典型环节的Nyquist图第30页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率特性的极坐标图1.典型环节的Nyquist图第31页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率特性的极坐标图1.典型环节的Nyquist图第32页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率特性的极坐标图2.Nyquist图的一般形状绘制准确的Nyquist图是比较麻烦的，一般情况下，绘制出概略的Nyquist曲线即可。但Nyquist的概略曲线应保持准确曲线的重要特性，并且在要研究的点附近具有足够的准确性。第33页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率特性的极坐标图2.Nyquist图的一般形状第34页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率特性的极坐标图第35页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率特性的极坐标图2第36页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率特性的极坐标图第37页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、频率特性的极坐标图第38页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图频率特性的对数坐标图又称Bode图，由对数幅频特性图和对数相频特性图组成Bode图坐标：横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角第39页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图对数幅频特性：横坐标分度(称为频率轴)：它是以频率的对数值进行线性分度的。但为了便于观察仍标以的值，因此对而言是非线性刻度。

每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程（或十倍频），用dec表示。如下图所示：第40页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图对数幅频特性：纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以表示。其单位为分贝(dB)。直接将值标注在纵坐标上。

分贝的名称源于电信技术，表示信号功率的衰减程度。后来其他领域也采用dB为单位，并将其原来的意义推广：

两数值p1和p2满足等式，则称p1与p2相差1dB第41页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图对数相频特性：横坐标分度：对数分度纵坐标分度：均匀分度，单位为度（°）第42页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图用Bode图表示频率特性有如下优点：可将串联环节幅值的乘、除，化为幅值的加、减，因而简化了计算与作图过程。可用近似方法作图。先分段做出对数幅频特性的渐近线，再用修正曲线对渐近线进行修正。分别作出各个环节的Bode图，然后用叠加方法得出系统的Bode图，并由此可以看出各个环节对系统总特性的影响。由于横坐标采用对数分度，所以能把较宽频率范围的图形紧凑地表示出来。在分析研究系统时，低频特性很重要，而横轴采用对数分度对于突出频率特性的低频段很方便。第43页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图1.典型环节的Bode图第44页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图1.典型环节的Bode图若有n个积分环节串联-20γdB/dec第45页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图1.典型环节的Bode图若将一个比例环节和一个积分环节串联幅频特性是一条斜率为-20dB/dec，过（1，20lgK）的直线，该直线与ω轴的交点为ω=K若一个比例环节和γ个积分环节串联，幅频特性是什么样的？？？第46页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图1.典型环节的Bode图第47页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图1.典型环节的Bode图第48页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图在低频段误差

在高频段误差1.典型环节的Bode图第49页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图1.典型环节的Bode图第50页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图1.典型环节的Bode图第51页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图1.典型环节的Bode图第52页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图第53页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图1.典型环节的Bode图第54页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图1.典型环节的Bode图第55页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图1.典型环节的Bode图第56页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图1.绘制系统的Bode图的步骤与实例第57页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图2.绘制系统的Bode图的步骤与实例第58页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图2.绘制系统的Bode图的步骤与实例第59页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图2.绘制系统的Bode图的步骤与实例第60页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、频率特性的对数坐标图2.绘制系统的Bode图的步骤与实例第61页，共76页，2023年，2月20日，星期四4.3频率特性的特征量1.零频幅值A(0)零频幅值A(0)表示当频率ω接近于零时，闭环系统输出的幅值与输入的幅值之比。在频率极低时，对单位反馈系统而言，若输出幅值能完全准确地反映输入幅值，则A(0)=1。A(0)越接近与1，系统的稳态误差越小。所以A(0)与1之间的差值大小，反映了系统的稳态精度。第62页，共76页，2023年，2月20日，星期四4.3频率特性的特征量2.复现频率ωM与复现带宽0~ωM首先规定一个△作为反映低频输入信号的允许误差，那么，ωM就是幅频特征值与A(0)的差第一次达到△时的频率值，称为复现频率。当频率超过ωM，输出就不能复现输入，所以0~ωM表征复现低频输入信号的频带宽度，称为复现频率第63页，共76页，2023年，2月20日，星期四4.3频率特性的特征量3.谐振频率ωr及相对谐振峰值Mr（Amax/A(0)）幅频特性A(ω)出现最大值Amax时的频率称为谐振频率ωr。ω=ωr时的幅值A（ωr

）=Amax与ω=0时的幅值A(0)之比Amax/A(0)

称为谐振比或相对谐振峰值MrMr反映了系统的平稳性。Mr越大，系统的超调量越大，平稳性差。ωr在一定程度上反映了系统瞬态响应的速度。ωr越大，则瞬态响应越快。一般来说，ωr与上升时间tr成反比。第64页，共76页，2023年，2月20日，星期四4.3频率特性的特征量4.截止频率和截止带宽0~ωb一般规定A(ω)的数值由零频幅值A(0)下降3dB时的频率，亦即A(ω)由A(0)下降到0.707A(0)时的频率称为系统的截止频率频率0~的范围称为系统的截止带宽或带宽。第65页，共76页，2023年，2月20日，星期四4.4最小相位系统与非最小相位系统在复平面[s]右半面上没有极点和零点的传递函数称为最小相位传递函数；反之在复平面[s]右半面上有极点或零点的传递函数称为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统；反之，具有非最小相位传递函数的系统称为非最小相位系统。第66页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、最小相位传递函数与最小相位系统第67页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、最小相位传递函数与最小相位系统第68页，共76页，2023年，2月20日，星期四一、最小相位传递函数与最小相位系统对应最小相位系统，根据开环频率特性L(ω)能唯一确定系统的开环传递函数。第69页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、由Bode图确定系统的传递函数信号源对象记录仪【Asinwt

由频率特性测试仪记录的数据,可以绘制最小相位系统的开环对数频率特性,对该频率特性进行处理，即可确定系统的对数幅频特性曲线。1、频率响应实验

由Bode图确定系统传递函数，与绘制系统Bode图相反。即由实验测得的Bode图，经过分析和测算，确定系统所包含的各个典型环节，从而建立起被测系统数学模型。

第70页，共76页，2023年，2月20日，星期四二、由Bode图确定系统的传递函数2、传递函数确定

（1）对实验测得的系统对数幅频曲线进行分段处理。即用斜率为20dB/dec整数倍的直线段来近似测量到的曲线。（2）当某处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时，此即为某个环节的转折频率。①当斜率变化+20dB/dec时,可知处有一个一阶微分环节Ts+1;②若斜率变化+4