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欢迎阅读本文档,希望本文档能对您有所帮助!欢迎阅读本文档,希望本文档能对您有所帮助!欢迎阅读本文档,希望本文档能对您有所帮助!欢迎阅读本文档,希望本文档能对您有所帮助!欢迎阅读本文档,希望本文档能对您有所帮助!欢迎阅读本文档,希望本文档能对您有所帮助!3.1空间向量及其运算(习题课)学习目标1.熟练掌握空间向量的加法,减法,向量的数乘运算,向量的数量积运算及其坐标表示;2.熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式,并能熟练用这些公式解决有关问题.学习过程一、课前准备:(阅读课本p115)复习:1.具有和的量叫向量,叫向量的模;叫零向量,记着;具有叫单位向量.2.向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.3.实数λ与向量a的积是一个量,记作,其长度和方向规定如下:(1)|λa|=.(2)当λ>0时,λa与A.;当λ<0时,λa与A.;当λ=0时,λa=.4.向量加法和数乘向量运算律:交换律:a+b=结合律:(a+b)+c=数乘分配律:λ(a+b)=5.①表示空间向量的所在的直线互相或,则这些向量叫共线向量,也叫平行向量.②空间向量共线定理:对空间任意两个向量(),的充要条件是存在唯一实数,使得;③推论:l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线,对空间的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是6.空间向量共面:①共面向量:同一平面的向量.②定理:对空间两个不共线向量,向量与向量共面的充要条件是存在,使得.③推论:空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是:⑴存在,使⑵对空间任意一点O,有7.向量的数量积:.8.单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量互相,长度都为,则这个基底叫做单位正交基底,通常用{i,j,k}表示.9.空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a,且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量,则存在有序实数组,使得,则称有序实数组为向量a的坐标,记着.10.设A,B,则=.11.向量的直角坐标运算:设a=,b=,则⑴a+b=;⑵a-b=;⑶λa=;⑷a·b=※动手试试1.在下列命题中:①若a、b共线,则a、b所在的直线平行;②若a、b所在的直线是异面直线,则a、b一定不共面;③若a、b、c三向量两两共面,则a、b、c三向量一定也共面;④已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.32.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量、、是()A.有相同起点的向量B.等长向量C.共面向量D.不共面向量3.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a、b、c三向量共面,则实数λ=()A.B.C.D.4.若a、b均为非零向量,则是a与b共线的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件5.已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为()A.2B.3C.4D.56.则()A.-15B.-5C.-3D.-1※典型例题例1如图,空间四边形OABC中,,,点M在OA上,且OM=2MA,点为的中点,则.变式:如图,平行六面体中,,,点分别是的中点,点Q在上,且,用基底表示下列向量:⑴;⑵;⑶;⑷.例2如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,,点是的中点,求证:.变式:正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2,底面边长为1,点M是的中点,在直线上求一点N,使得学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为().A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测(时量:5分钟满分:10分)计分:1.直三棱柱ABC—A1B1C1中,若,,,则()A.B.C.D.2.、()A.B.与不平行也不垂直C.,D.以上情况都可能.3.已知++=,||=2,||=3,||=,则向量与之间的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.以上都不对4.已知且与互相垂直,则的值是()A..1B.C.D.5.若A(m+1,n-1,3),B.(2m,n,m-2n)C(m+3,n-3,9)三点共线,则
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