2022-2023学年湖南师大附中教育集团九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南师大附中教育集团九年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，共30.0分.）1.|−2023|=(

)A.2023 B.−2023 C.−12023 2.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城核心区建筑总面积2720000平方米，将数2720000用科学记数法表示为(

)A.0.272×107 B.2.72×106 C.3.如图所示的几何体中，主视图与左视图均是三角形的是(

)A. B. C. D.4.如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小明在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接AB.下列条件中，能得到a//b的是(

)A.∠1=∠2

B.∠1=∠3

C.∠1+∠4=180°

D.∠1+∠3=180°5.下列运算中，正确的是(

)A.3x+4y=12xy B.x9÷x3=x6.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.7.智能垃圾箱分为“有害垃圾、可回收垃圾”等若干箱体.居民通过刷卡、手机号、人脸识别等身份识别方式进行自动开箱投放，将不同的垃圾投放至不同的箱体内，垃圾箱则根据居民投放的垃圾，自动进行称重，然后换算出积分可以现金提现或在礼品兑换机兑换实物礼品.我市某小区7个家庭一周换算的积分分别为23，25，25，

23，30，27，25，关于这组数据，中位数和众数分别是(

)A.23，25 B.25，23 C.23，23 D.25，258.某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯AC的顶端A恰好放在书架的第七层的顶端.已知登高梯的长度AC为3米，登高梯与地面的夹角∠ACB为72°，则书架第七层顶端离地面的高度AB为(

)A.3sin72°米 B.3sin72∘米 C.3cos72°米 9.解分式方程xx−2−2=32−xA.x−2=3 B.x−2(x−2)=3

C.x−2(x−2)=−3 D.x−2x−2=−310.如图，在x轴正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=…=An−1An=1(n为正整数)，过点A1、A2、A3、…、An分别作x轴的垂线，与反比例函数y=2x(x>0)交于点P1、P2、P3、…、Pn，连接P1A.n−1n B.nn+1 C.12二、填空题（共6小题，共18.0分）11.因式分解：4x2−1=

12.方程3x2−6x=0的解是

13.如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE=1，CD=2，则AE的长是______．

14.如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠C的度数为______．

15.如图为最受欢迎的智力游戏之一——三阶魔方，三阶魔方是由26个小立方块和一个三维十字连接轴组成，且六个面分别涂有不同颜色，从小立方块中任取一个，恰好有两面涂色的概率为______．

16.某次会议有100人参加，参加会议的每个人都可能是诚实的，也可能是虚伪的，现在知道下面两项事实：①这100人中，至少有1名是虚伪的.②其中任何2人中，至少有1名是诚实的.则这次会议活动中，诚实的人数是______．三、解答题（共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题6.0分)

计算：(−1)2023+6cos60°+(π−3.1418.(本小题6.0分)

已知x2+3x−1=0，求代数式(x−3)19.(本小题6.0分)

如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得顶部A的仰角为31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得顶部A的仰角为42°.求凉亭AB的高度(AB⊥BE,DE⊥BE,FG⊥BE.结果精确到0.1m)．

(参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)

20.(本小题8.0分)

某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查.设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A.很少，B.有时，C.常常，D.总是.将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图：

请根据图中信息，解答下列问题：

(1)填空：a=

%，b=

%，“常常”对应扇形的圆心角度数为

；

(2)请你补全条形统计图；

(3)为了共同进步，张老师从被调查的A类和D类学生中各选出两人，再从两组中分别选取一位学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好组合成功(即“很少”和“总是”的两人为一组)的概率．21.(本小题8.0分)

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，在AC的延长线上取一点P，使得BC2=AC⋅PC，连接BP．

(1)求证：直线BP是⊙O的切线；

(2)若AB=5，22.(本小题9.0分)

为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动.每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同.已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用相同的费用，购买的足球数量与购买的篮球数量之比为3：2．

(1)足球和篮球的单价各是多少元？

(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？23.(本小题9.0分)

如图，已知正方形ABCD，边长AB=6，点P为对角线BD上任一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交BC于点Q．

(1)求证：AP=PQ；

(2)若DP=2，求四边形ABQP24.(本小题10.0分)

对于一个函数y，如果在该函数图象上至少存在一点A(a,a2)，那么我们不妨称这个函数为攀登函数，称这个点A为该函数的攀登星.请根据以上规定尝试完成以下问题：

(1)试判断函数y=−8x是不是攀登函数，如果是，请求出攀登星；若不是，请说明理由；

(2)已知一次函数y=mx+m是攀登函数且有唯一的攀登星，请求出该函数的解析式及攀登星；

(3)已知二次函数y=mx2+nx+1(m≥2)是攀登函数，两个攀登星记为A1(a1,25.(本小题10.0分)

如图，已知AB、AC是半径为1的⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，连接OA、OC．

(1)证明：∠ABO=∠ACO；

(2)连接BC，当△COD是直角三角形时，求BC的长；

(3)①试探究(ADOD)2−OCOD的值是否为定值？如果是，请求出式子的值；如果不是，请说明理由；

②记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S答案和解析1.【答案】A

解：|−2023|=−(−2023)=2023．

故选：A．

根据负数的绝对值等于它的相反数，即可求解．

本题考查了求一个数的绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是关键．

2.【答案】B

解：2720000=2.72×106．

故选：B．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n3.【答案】C

解：A、球的主视图和左视图均为全等的圆，不符合题意；

B、正方体的主视图和左视图均为全等的正方形，不符合题意；

C、圆锥的主视图和左视图均为全等的三角形，符合题意；

D、圆柱的主视图和左视图均为全等的长方形，不符合题意；．

故选：C．

找到从正面和左面看所得到的图形，得出主视图和左视图均是三角形的即可．

此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图和左视图所看的位置．

4.【答案】D

解：A、∠1=∠2，∠1和∠2是邻补角，不能证明a//b，不符合题意；

B、∠1=∠3，∠1和∠3是同旁内角，同旁内角相等不能证明a//b，不符合题意；

C、∠1+∠4=180°，∠1和∠4属于内错角，内错角互补不能证明a//b，不符合题意；

D、∵∠1+∠3=180°，

∴a//b(同旁内角互补两直线平行)，符合题意．

故选：D．

根据平行线的判定定理进行判断即可．

本题考查了平行线的判定定理，熟知：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；是解本题的关键．

5.【答案】C

解：A、原式不能合并，错误；

B、原式=x6，错误；

C、原式=x6，正确；

D、原式=x2−2xy+y2，错误，6.【答案】A

解：A.既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；

B.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；

C.是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

故选：A．

根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

7.【答案】D

解：某小区7个家庭一周换算的积分出现次数最多的是25分，出现3次，因此众数是25分，

将某小区7个家庭一周换算的积分从小到大排列，处在中间位置的一个数是25分，因此中位数是25分，

故选：D．

根据中位数、众数的定义，找出出现次数最多的数，以及从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数即可．

本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．

8.【答案】A

解：由题意可得，

∠ABC=90°，AC=3米，∠ACB=72°，

∵sin∠ACB=ABAC，

∴AB=AC⋅sin∠ACB=3⋅sin72°(米)，

故选：A．9.【答案】C

解：xx−2−2=32−x，

方程两边都乘x−2，得x−2(x−2)=−3，

故选：C．

根据等式的性质方程两边都乘x−2得出x−2(x−2)=−310.【答案】A

解：(1)设OA1=A1A2=A2A3=…=An−1An=1，

∴设P1(1,y1)，P2(2,y2)，P3(3,y3)，…P4(n,yn)，

∵P1，P2，P3…Bn在反比例函数y=2x(x>0)的图象上，

∴y1=2，y2=1，y3=23…yn=2n，

∴S1=11.【答案】(2x+1)(2x−1)

【解析】【分析】

由于多项式有二项，没有公因式，考虑运用平方差公式分解．

本题考查了因式分解的平方差公式，两项若没有公因式，一般考虑平方差公式

【解答】

解：4x2−1

=(2x12.【答案】x1=0，解：3x(x−2)=0，

3x=0或x−2=0，

所以x1=0，x2=2．

故答案为：x1=0，x2=2．

利用因式分解法解方程．

本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为013.【答案】1

解：∵△ABC≌△DEC，CE=1，CD=2，

∴BC=CE=1，AC=CD=2，

∴CE=CA−CE=2−1=1，

故答案为：1．

根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可．

本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答．

14.【答案】40°

解：∵∠C=12∠AOB，∠AOB=80°，

∴∠C=40°，

故答案为：40°．

根据圆周角定理求解即可．15.【答案】613解：由图形可知，三阶魔方的26个小立方块里一面涂色有6个，两面涂色有12个，三面涂色有8个，

∴恰好有两面涂色的概率为1226=613，

故答案为：613．

由图形可知，三阶魔方的26个小立方块里两面涂色有16.【答案】99

解：假设这100人中，有2名是虚伪的，

这与其中任何2人中，至少有1名是诚实的相矛盾，

所以这100人中，至多有1名是虚伪的，

所以这100人中，有1名是虚伪的，有99名是诚实的．

故诚实的人数是99．

故答案为：99．

假设这100人中，有2名是虚伪的，这与其中任何2人中，至少有1名是诚实的相矛盾，从而得到这100人中，至多有1名是虚伪的，进一步即可求解．

本题考查抽屉原理的应用，难度较大，关键是反证法的应用，这种方法经常在数学证明时使用，同学们要注意掌握．

17.【答案】解：原式=−1+6×12+1−4

=−1+3+1−4

【解析】先根据有理数的乘方运算、特殊角的三角函数值、零指数幂和二次根式的性质进行化简，再进行加减运算即可求解．

本题考查了实数的混合运算，涉及有理数的乘方运算、特殊角的三角函数值、零指数幂和二次根式的性质，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．

18.【答案】解：(x−3)2−(2x+1)(2x−1)−3x=x2−6x+9−(4x2−1)−3x=−3x2−9x+10【解析】原式前两项利用多项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，变形后，将已知等式代入计算即可求出值．

此题考查了整式的混合运算−化简求值，涉及的知识有：多项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

19.【答案】解：延长DF交AB于点C，如图所示，

由题意可得，

DE=FG=1.5m，∠ADC=31°，∠AFC=42°，DF=3m，

∵∠ACD=∠ACF=90°，

∴CD=ACtan31∘，CF=ACtan42∘，

∵DF=CD−CF，

∴3=ACtan31∘−ACtan42【解析】根据题意和锐角三角函数可以求得AC的长，然后即可求得AB的长．

本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，求出AC的长．

20.【答案】12

36

108°

解：(1)调查的总人数是：44÷22%=200(人)，

a=24÷200=12%，

b=72÷200=36%，

“常常”对应扇形的圆心角度数为360°×30%=108°，

故答案为：12，36，108°；

(2)常常的人数有：200×30%=60(人)，

补全条形统计图如图所示：

(3)画图如下：

共有12种等可能的情况数，其中所选两位同学恰好组合成功的有8种，

则所选两位同学恰好组合成功(即“很少”和“总是”的两人为一组)的概率是812=23．

(1)“有时”的有44人，占调查人数的22%，可求出调查人数，进而求出a、b的值，“常常”所对应的圆心角的度数为360°的30%；

(2)求出“常常”的人数，即可补全条形统计图；

(3)画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

21.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=∠BCP=90°，

又BC2=AC⋅PC，

∴BCPC=ACBC，

∴△ACB∽△BCP，

∴∠ABC=∠P，

∵∠BCP=90°，

∴∠CBP+∠P=90°，

∴∠CBP+∠ABC=∠ABP=90°，

即BP⊥AB，

又∵OB是⊙O的半径，

∴直线BP是⊙O的切线；

(2)在Rt△ABC中，

sin∠ABC=ACAB=45，

∵AB=5，

∴AC=4，则BC=3【解析】(1)首先根据题意证明出△ACB∽△BCP，然后得到∠ABC=∠P，进而得到BP⊥AB，即可求解；

(2)首先根据sin∠ABC=ACAB=45和AB=5求出AC=4，BC=3，然后利用BC222.【答案】解：(1)设足球的单价为x元，则篮球的单价为(2x−30)元，

依题意得：3x=2(2x−30)，

解得：x=60，

∴2x−30=2×60−30=90．

答：足球的单价为60元，篮球的单价为90元．

(2)设购买篮球m个，则购买足球(200−m)个，

依题意得：90m+60(200−m)≤15500，

解得：m≤3503．

又∵m为正整数，

∴m的最大值为116．

答：学校最多可以购买116【解析】(1)设足球的单价为x元，则篮球的单价为(2x−30)元，根据用相同的费用购买的足球数量与购买的篮球数量之比为3：2，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出足球的单价，再将其代入(2x−30)中即可求出篮球的单价．

(2)设购买篮球m个，则购买足球(200−m)个，利用总价=单价×数量，结合总价不超过15500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．

本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

23.【答案】(1)证明：过点P作MN//CD交AD于点M，交BC于点N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADB=45°，

∵MN//CD，∠ADC=90°，

∴四边形MNCD为矩形，

∴∠NMD=90°，∠MPD=45°，AD=CD=MN，

∴MD=MP，

∴AM=PN，

∵AP⊥PQ，

∴∠APQ=90°，

∴∠APM+∠QPN=90°，

∵∠QPN+∠PQN=90°，

∴∠APM=∠PQN，

在△AMP和△PNQ中，

∠APM=∠PQN∠AMP=∠PNQAM=PN，

∴△AMP≌△PNQ(AAS)，

∴AP=PQ；

(2)解：在等腰直角三角形DMP中，DP=2，

根据勾股定理得MD=MP=1，

∴AM=5，

∴四边形ABQP的面积【解析】(1)过点P作MN//CD交AD于点M，交BC于点N，根据正方形的性质和已知条件先证明四边形MNCD为矩形，进而得出∠APM=∠PQN，通过证明△AMP≌△PNQ(AAS)，利用全等三角形的性质证明即可；

(2)根据等腰直角三角形的性质求出DP=2，根据勾股定理得MD=MP=1，再根据四边形ABQP的面积=S矩形ABNM24.【答案】解：(1)令−8a=a2，则a3=−8，

解得：a=−2，

∴该函数是攀登函数，且攀登星为(−2,4)；

(2)∵一次函数y=mx+m是攀登函数，

∴ma+m=a2，

∴a2−ma−m=0，

∵一次函数y=mx+m有唯一的攀登星，

∴方程a2−ma−m=0有两个相等的实数根，

∴Δ=m2−4×1×(−m)=m2+4m=0，

∴m1=0，m2=−4，

∵m≠0，

∴m=−4，

∴a2+4a+4=0，

∴a=−2，a2=4，

∴解析式为y=−4x−4，攀登星为(−2,4)；

(3)∵二次函数y=mx2+nx+1(m≥2)是攀登函数，

∴ma2+na+1=a2，即(m−1)a2+na+1=0，

∵该函数有两个攀登星，

∴m≠1，

∴a1+a2=n1−m，a1a2=1m−1，

∵|a1−a2|=p，