第四章插值方法

第四章插值方法第1页，共23页，2023年，2月20日，星期三第四章插值方法当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时，在一系列节点x0…xn

处测得函数值y0

=f(x0),…yn

=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数g(x)

f(x)，满足条件g(xi)=f(xi)(i=0,…n)。这里的g(x)

称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是…?多项式。x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)§4.1多项式插值问题的一般提法第2页，共23页，2023年，2月20日，星期三§4.2拉格朗日(Lagrange)插值niyxPiin,...,0,)(==求n

次多项式使得条件：无重合节点，即注:

一次多项式插值---过两点直线。二次多项式插值---过三点抛物线。

若不将多项式次数限制为n

，则插值多项式不唯一。第3页，共23页，2023年，2月20日，星期三n=1已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求使得111001)(,)(yxPyxP==可见P1(x)是过(x0,y0

)和(x1,y1

)两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl称为拉格朗日插值基函数，满足条件li(xj)=ij

/*KroneckerDelta*/二.拉格朗日插值的基函数构造法第4页，共23页，2023年，2月20日，星期三n

1希望找到li(x)，i=0,…,n

使得

li(xj)=ij

；然后令==niiinyxlxP0)()(，则显然有Pn(xi)=

yi

。拉格朗日插值多项式，常记为Ln(x)拉格朗日插值基函数与有关，而与无关节点f是n次多项式。li(x)每个li有n

个根x0…xi-1…xn，第5页，共23页，2023年，2月20日，星期三三.插值余项设节点在[a,b]内存在,考察截断误差，且f

满足条件,注：

通常不能确定x

,而是估计,x(a,b)

将作为误差估计上限。当

f(x)为任一个次数n

的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。第6页，共23页，2023年，2月20日，星期三定义4.3.1差商(亦称均差)称为f关于xi

和xj

的1阶差商2阶差商§4.3差商与差分及其性质10111010],,...,[],...,,[],...,[+++--=kkkkkxxxxxfxxxfxxf(k+1)阶差商：第7页，共23页，2023年，2月20日，星期三事实上其中差商的值与xi

的顺序无关！定义4.3.2差分当节点等距分布时:向前差分

iiifff-=+1一阶向前差分ikikikikffff1111)(-+---==k阶向前差分向后差分

i1iifff-=一阶向后差分111----=ikikikfffk阶向后差分中心差分其中k阶中心差分第8页，共23页，2023年，2月20日，星期三§4.4牛顿插值公式牛顿插值公式：其中ai=

f[x0,…,xi]Nn(x)Rn(x)第9页，共23页，2023年，2月20日，星期三第10页，共23页，2023年，2月20日，星期三注：

由唯一性可知Nn(x)Ln(x)，只是算法不同，故其余项也相同，即实际计算过程为f(x0)f(x1)f(x2)…f(xn1)f(xn)f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn1,xn]f[x0,x1,x2]…………f[xn2,xn1,xn]f[x0,…,xn]

f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1]第11页，共23页，2023年，2月20日，星期三牛顿公式牛顿前插公式（一般当x

靠近x0时用）牛顿后插公式（一般当x

靠近xn

时用）将节点顺序倒置：设，则)()()(000xfkthtxNxNknknn=+==设，则)()1()()(0nknkknnnxfkthtxNxN--=+==当节点等距分布时:第12页，共23页，2023年，2月20日，星期三§4.5分段插值法增加插值多项式的次数并不一定会有更好的插值结果，这是因为高次多项式的振荡是很厉害的.例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

越大，端点附近抖动越大，称为龙格（Runge）现象Ln(x)f(x)分段低次插值第13页，共23页，2023年，2月20日，星期三一.分段线性插值在每个区间上，用1阶多项式

(直线)逼近f(x):缺点：分段插值函数只能保证连续性，失去了原函数的光滑性。

即用折线代替曲线。优点：计算简单；适用于光滑性要求不高的插值问题。

记，易证：当时，一致设f(x)连续，第14页，共23页，2023年，2月20日，星期三二.分段三次（Hermite）插值给定在上利用两端点的y及y'

构造3次Hermite函数。不少实际插值问题不仅要求函数值相等，而且还要求导数值也相等。这就导致下面的Hermite插值。并满足第15页，共23页，2023年，2月20日，星期三从而由此条件可求得类似可得i+1和i+1的表达式。第16页，共23页，2023年，2月20日，星期三§4.6三次样条插值定义4.6.1设。三次样条函数

,

且在每个上为三次多项式。若它同时还满足，则称它为f的三次样条插值函数。注：三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道f的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于f在所有插值点的导数值。f(x)H(x)S(x)第17页，共23页，2023年，2月20日，星期三§4.7曲线拟合的最小二乘法仍然是已知x1…xm

;y1…ym,求一个简单易算的近似函数P(x)

f(x)。但是①

m

很大；②

yi本身是测量值，不准确，即yi

f(xi)。这时没必要取P(xi)=yi,而要使P(xi)yi总体上尽可能小。常见做法：

使最小/*最大最小问题*/

太复杂使最小不可导，求解困难使最小/*最小二乘法*/第18页，共23页，2023年，2月20日，星期三考虑一般的线性无关函数族={0(x),1(x),…,n(x),…}，其有限项的线性组合称为广义多项式。常见多项式：

{j(x)=xj}对应代数多项式。

{j(x)=cosjx}、{j(x)=sinjx}{j(x),j(x)

}对应三角多项式。

{j(x)=ekjx,ki

kj

}对应指数多项式。第19页，共23页，2023年，2月20日，星期三对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,m)

使得达到极小，这里n

<<

m。实际上是a0,a1,…,an

的多元函数，在的极值点应有minjijyj(xi)a==-=10][2k(xi)设：则n,kyaknjjjk,...,0,),(),(0===jjj第20页，共23页，2023年，2月20日，星期三即：),(),(),(00yyaabnnjiijjjjj===c

Ba=c存在唯一解

0(x),1(x),…,n(x)线性无关。定理4.7.1第21页，共23页，2023年，2月20日，星期三例4.7.1

用来拟合