第四章统计特征值

第四章统计特征值第1页，共159页，2023年，2月20日，星期四原始数据加工数据统计指标静态分布动态趋势总量指标绝对规模相对指标相对关系平均指标集中趋势变异指标离散趋势水平指标绝对规模速度指标相对变化因素分析趋势预测人口总数人口性别比例平均年龄年龄标准差不同年份人口数人口自然增长率人口数量模型各类指标实例第2页，共159页，2023年，2月20日，星期四第一节总量指标

反映现象总体规模或水平的综合指标，即数量指标，也称为绝对数。总量指标是认识社会经济现象的起点；是实现宏观经济调控和企业经营管理的基本指标；是计算其他统计指标的基础。总量指标的作用：第3页，共159页，2023年，2月20日，星期四总体标志总量总体单位总数按反映的总体内容不同分为：总量指标的基本分类按反映的时间状况不同分为：时期指标时点指标按计量单位不同分为：实物指标价值指标劳动指标第4页，共159页，2023年，2月20日，星期四总体标志总量总体单位总数一个总体中只有一个单位总数，但可以有多个标志总量，它们由总体单位的数量标志值汇总而来。总体单位某一数量标志的标志值总和总体所包含的总体单位的数量总量指标的基本分类第5页，共159页，2023年，2月20日，星期四时期指标时点指标表明现象总体在一段时期内发展过程的总量，如在某一段时期内的出生人数、死亡人数表明现象总体在某一时刻（瞬间）的数量状况，如在某一时点的总人口数具有可加性、数值大小与时期长短有直接关系、需要连续登记汇总不具有可加性、数值大小与时期长短没有直接关系、由一次性登记调查得到总量指标的基本分类第6页，共159页，2023年，2月20日，星期四出生人数人口总数死亡人数t1时段t2时段t3时段t关于一个人口总体的总量指标时期指标时点指标第7页，共159页，2023年，2月20日，星期四实物单位自然单位度量衡单位标准实物单位价值单位劳动单位总量指标的计量单位多个单位的结合运用：复合单位双重单位多重单位（如：人·次、吨·公里）（如：人/平方公里）（如：艘/吨/千瓦）适用范围综合能力差强大小如：台、件如：米、平方米如：标准吨如：工日、工时如：元第8页，共159页，2023年，2月20日，星期四公顷人辆计量单位单一单位复合单位：工时、吨公里等自然单位：个、台等度量衡单位：吨等第9页，共159页，2023年，2月20日，星期四甲企业乙企业利润总额资金占用资金利润率500万元5000万元3000万元40000万元16.7%12.5%比较两厂经济效益不可比不可比可比第10页，共159页，2023年，2月20日，星期四第二节相对指标

指应用对比的方法来反映相关事物之间数量联系程度的指标，也称为相对数。相对指标使不能直接对比的现象找到共同的比较基础；用来进行宏观经济管理和评价经济活动的状况。相对指标的作用：第11页，共159页，2023年，2月20日，星期四从衡量一个国家经济实力最重要的指标人均GDP来说，中国目前比发达国家差得还很远，日本的人口只是中国的1/10，也就是说，我们10个人才能创造出相当于日本1个人的GDP来。

从历史上看，1840年鸦片战争时，中国占全世界GDP的25%—30%，总量居世界第一，但那时候中国的人均GDP只是英国的1/5。人家2000万人口、40条战舰、7000名远征士兵，而有4.1亿人口、上百万军队、GDP总量世界第一的中国却一下子被打败了。

所以，GDP总量能说明一定问题，但衡量一个国家的强大或者一个民族的强大，更重要的是要从人均GDP来看，而且也不能只看GDP，还要看人的素质、创新能力、工业、农业、军事以及国际竞争力等其他很多方面。从这些方面来看，我们都还差得很远。实例1第12页，共159页，2023年，2月20日，星期四不管遇到什么麻烦，都是呼吁政府加强监管，把政府当成了无所不能无所不善的神。其实多数时候，政府是麻烦的制造者而不是麻烦和问题的解决者。现代政治学理论认为，政治是必要的恶而不是必然的善。重庆大学法学院院长陈忠林的一个数据可以作为上述判断的实证：从1999－2003年最高检察院与最高法院报告推算，中国民众犯罪率为1/400；国家机关人员犯罪率为1/200；司法机关人员犯罪率为1.5/100。此数据量化了中国的吏治腐败和司法腐败。绝对权力绝对导致腐败。所以，一个海晏河清的社会，首先是要全社会盯紧权力，把权力关进笼子里；而不是让政府拥有无限权力，让权力来处处钳制市场和民众。实例2第13页，共159页，2023年，2月20日，星期四

人类千万年的历史，最为珍贵的不是令人炫目的科技，不是浩瀚的大师们的经典著作，不是政客们天花乱坠的演讲，而是实现了对统治者的驯服，实现了把他们关在笼子里的梦想。因为只有驯服了他们，把他们关起来，才不会害人。我现在就是站在笼子里向你们讲话。

-------------美国总统布什的一次演讲第14页，共159页，2023年，2月20日，星期四那把权力关进笼子并不难，把总统挤到墙根，

--------------------------------需要什么样的文化力量啊!第15页，共159页，2023年，2月20日，星期四无名数有名数用倍数、系数、成数、﹪、‰等表示用双重计量单位表示的复名数相对指标的基本表现形式倍数与成数应当用整数的形式来表述5倍、3成、近7成3.25倍、8.6成分母为1分母为1.00分母为10分母为100分母为1000第16页，共159页，2023年，2月20日，星期四

总人数30人男生人数20人女生人数10人男生比重为2/3女生比重为1/3男女比例为2:1总量指标非总量指标相对指标第17页，共159页，2023年，2月20日，星期四相对指标的种类结构相对数比例相对数比较相对数计划完成程度相对数强度相对数动态相对数《统计学》第三章统计整理第18页，共159页，2023年，2月20日，星期四例：我国某年国民收入使用额为19715亿元，其中消费额为12945亿元，积累额为6770亿元。则说明⒈为无名数；⒉同一总体各组的结构相对数之和为1；⒊用来分析现象总体的内部构成状况。结构相对数第19页，共159页，2023年，2月20日，星期四例：我国某年国民收入使用额为19715亿元，其中消费额为12945亿元，积累额为6770亿元。则⒈为无名数，可用百分数或一比几或几比几表示；⒉用来反映组与组之间的联系程度或比例关系。说明比例相对数第20页，共159页，2023年，2月20日，星期四例：某年某地区甲、乙两个公司商品销售额分别为5.4亿元和3.6亿元。则⒈为无名数，一般用倍数、系数表示；⒉用来说明现象发展的不均衡程度。说明比较相对数第21页，共159页，2023年，2月20日，星期四

是同类指标数值在不同时间上的对比动态相对数⒈为无名数；⒉用来反映现象的数量在时间上的变动程度。说明动态相对数第22页，共159页，2023年，2月20日，星期四例：某年某地区年平均人口数为100万人，在该年度内出生的人口数为8600人。则该地区一般用﹪、‰表示。其特点是分子来源于分母，但分母并不是分子的总体，二者所反映现象数量的时间状况不同。无名数的强度相对数强度相对数第23页，共159页，2023年，2月20日，星期四例：某地区某年末现有总人口为100万人，医院床位总数为24700张。则该地区（正指标）（逆指标）为用双重计量单位表示的复名数，反映的是一种依存性的比例关系或协调关系，可用来反映经济效益、经济实力、现象的密集程度等。有名数的强度相对数强度相对数第24页，共159页，2023年，2月20日，星期四口腔医生人才紧缺

“中国口腔医生十分紧缺，1985年每10万人群只有一个牙医，1995年5~6万人一个牙医，2005年2.5万人拥有一个。”张震康教授告诉记者，最新数据在其他地区或国家则是：台湾地区3500人拥有一个牙医，香港4000人有一个，美国1000人有一个，日本800人一个。“现在报考口腔医学的人越来越多，经济发展、生活水平提高，人们对口腔医生的需要也更加多，所以该领域上升空间很大，估计到2030年中国可以达到4000~5000人拥有一个牙医。”上述实例引用了属于哪类相对指标？1999年末我国共有总人口12.6亿人，与发达国家相比我国当时牙医缺口是多少?

实例第25页，共159页，2023年，2月20日，星期四直接应用上述公式:A.计划任务数表现为绝对数时计划完成程度相对数例1：己知某厂2000年的计划产品产量为10万吨，实际产量为12万号。则：第26页，共159页，2023年，2月20日，星期四B.计划任务数表现为相对数时例2：己知某厂2000年的计划规定产品产量要比上年实际提高5﹪而实际提高了7﹪。则例3：己知某厂2000年的计划规定产品成本比上年降低5%，实际降低提高6﹪。则即实际比计划单位成本下降了1.05%.第27页，共159页，2023年，2月20日，星期四六种相对数指标的比较不同时期比较动态相对数强度相对数不同现象比较不同总体比较比较相对数同一总体中部分与部分比较部分与总体比较实际与计划比较比例相对数结构相对数计划完成相对数同一时期比较同类现象比较第28页，共159页，2023年，2月20日，星期四正确选择对比的基础；指标对比要有可比性；相对指标要与总量指标结合运用；多种相对指标结合运用。使用相对指标应注意的问题第29页，共159页，2023年，2月20日，星期四正确选择对比基础本单位历史水平本行业（全国）平均（先进）水平经济效益指数＝某经济效益指标实际值该经济效益指标标准值价格定基指数＝某期价格水平某固定基期的价格水平经济发展、价格水平均较为正常的时期第30页，共159页，2023年，2月20日，星期四注意指标间的可比性2000年的工业总产值（当年价格）1980年的工业总产值（当年价格）1980年中国的国民收入（人民币元）1980年美国的国民收入（美元）第31页，共159页，2023年，2月20日，星期四相对指标抽象掉了具体的数量差异:1:2=50%10000:20000=50%1998年相对于1997年，美国的GDP增长速度为3.9％，同期中国GDP增长速度为7.8％，恰好为美国的2倍；但根据同期汇率（1美元兑换8.3元人民币），1998年中国GDP总量约合9671亿美元，约相当于同期美国GDP总量84272亿美元的1/9。相对指标应当结合总量指标使用第32页，共159页，2023年，2月20日，星期四结构相对数比例相对数比较相对数动态相对数计划完成相对数强度相对数（部分与总体关系）（部分与部分关系）（横向对比关系）（纵向对比关系）（实际与计划关系）（关联指标间关系）多种相对指标应当结合运用第33页，共159页，2023年，2月20日，星期四人口性别比为1.03：11999年末我国共有总人口12.6亿人，其中男性人口为6.4亿，女性人口为6.2亿。男性人口的比重为50.8﹪比1980年末的9.9亿人增加了28﹪人口密度是美国的4.5倍人口密度为130人/平方公里人口出生率为15.23‰女性人口的比重为49.2﹪第34页，共159页，2023年，2月20日，星期四第三节集中趋势的测度指总体中各单位的次数分布从两边向中间集中的趋势，用平均指标来反映。集中趋势又称平均数，是反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点和条件下所达到的一般水平的综合指标。平均数数值平均数位置平均数算术平均数调和平均数几何平均数中位数众数第35页，共159页，2023年，2月20日，星期四基本形式：例：直接承担者※注意区分算术平均数与强度相对数算术平均数《统计学》第四章统计特征值第36页，共159页，2023年，2月20日，星期四注意！算术平均数与强度相对数主要区别是什么？答：算术平均数与强度相对数都是两个总量指标的对比，但是（1）性质不同：算术平均数是在一个同质总体内标志总量和单位总量的比例关系，要求标志总量必须是总体各单位标志值的总和。强度相对指标的分子分母是两个不同总体现象总量，不存在各个标志值与各个单位相适应的问题。（2）作用不同：算术平均数反映同质总体各单位标志值的一般水平，强度相对数用来表明某一现象在另一现象中发展的强度、密度和普遍程度。请回答下面两个指标哪个是算术平均数，哪个是强度相对数？人均粮食产量人均粮食消费量第37页，共159页，2023年，2月20日，星期四STAT算术平均数83名女生的身高变量一般水平、代表性数值分布的集中趋势、中心数值算术平均数《统计学》第四章统计特征值第38页，共159页，2023年，2月20日，星期四算术平均数的计算算术平均数=总体标志总量总体单位总数数据集数据个数N简单算术平均数《统计学》第四章统计特征值第39页，共159页，2023年，2月20日，星期四A.简单算术平均数——适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况式中：为算术平均数;为总体单位总数；为第i

个单位的标志值。算术平均数的计算方法《统计学》第四章统计特征值第40页，共159页，2023年，2月20日，星期四平均每人日销售额为：算术平均数的计算方法某售货小组5个人，某天的销售额分别为520元、600元、480元、750元、440元，则【例】《统计学》第四章统计特征值第41页，共159页，2023年，2月20日，星期四B.加权算术平均数——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中：为算术平均数;为第组的次数；为组数；为第组的标志值或组中值。算术平均数的计算方法《统计学》第四章统计特征值第42页，共159页，2023年，2月20日，星期四【例】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800计算该企业该日全部工人的平均日产量。算术平均数的计算方法《统计学》第四章统计特征值第43页，共159页，2023年，2月20日，星期四解：算术平均数的计算方法若上述资料为组距数列，则应取各组的组中值作为该组的代表值用于计算；此时求得的算术平均数只是其真值的近似值。说明《统计学》第四章统计特征值第44页，共159页，2023年，2月20日，星期四分析：成绩（分）人数（人）甲班乙班丙班603915010013950平均成绩（分）619980起到权衡轻重的作用算术平均数的计算方法决定平均数的变动范围《统计学》第四章统计特征值第45页，共159页，2023年，2月20日，星期四表现为次数、频数、单位数；即公式中的表现为频率、比重；即公式中的算术平均数的计算方法指变量数列中各组标志值出现的次数，是变量值的承担者，反映了各组的标志值对平均数的影响程度权数绝对权数相对权数《统计学》第四章统计特征值第46页，共159页，2023年，2月20日，星期四234567819权数与加权234567819《统计学》第四章统计特征值第47页，共159页，2023年，2月20日，星期四权数与加权234567819《统计学》第四章统计特征值第48页，共159页，2023年，2月20日，星期四权数与加权234567819《统计学》第四章统计特征值第49页，共159页，2023年，2月20日，星期四权数与加权234567819《统计学》第四章统计特征值第50页，共159页，2023年，2月20日，星期四权数与加权234567819算术平均数的计算取决于变量值和权数的共同作用：变量值决定平均数的范围；权数则决定平均数的位置《统计学》第四章统计特征值第51页，共159页，2023年，2月20日，星期四⒈变量值与其算术平均数的离差之和衡等于零，即：⒉变量值与其算术平均数的离差平方和为最小，即：算术平均数的主要数学性质《统计学》第四章统计特征值第52页，共159页，2023年，2月20日，星期四算术平均数的主要数学性质《统计学》第四章统计特征值第53页，共159页，2023年，2月20日，星期四算术平均数的特点

（1）算术平均数的计算方法易为人们理解和掌握，其许多数学性质可使算术平均数的计算更加简便易行。（2）由于算术平均数的计算考虑到所有标志值的作用，因此受各个标志值的影响，如果数列中有特别高或特别低的异常标志值，则平均数的代表性会受到影响。第54页，共159页，2023年，2月20日，星期四一些地方的统计部门和政府，往往喜欢用“平均数”来佐证他那个地方的政绩。比如人均国民生产值、人均年收入、人均住房面积等。在讲到“平均数”时，一些地方的官员们还常常喜形于色，颇有自得之意。孰不知，在这“平均数”的背后，掩盖着多少不平等、多少水份。对一些地方政府搞的所谓的“平均数”，中国人民大学教授张鸣曾幽默地说：“我是临时工，他是领导。我用薪2000元，他月入20万，我们人均收入10.1万元；我的宿舍10平方米，他的别墅290平方米，我们人均住房150平方米；我一餐8元，他一餐8万，我们人均每餐消费4万；我有80元的单车，他有80万的奥迪，我们人均40万元的座驾；我是光棍，他有1个老婆，9个二奶，我们人均5个女人——谁还敢说中国人不幸福？”这就是中国“平均数”的真象。

可笑的“平均数”

就是搞平均数，也要先弄清参与“平均”的主体，是一个水平上的主体，还是天壤之别的主体？现在一些地方政府搞出来的“平均数”实际上是大象的体重与老鼠体重的“平均数；是长颈鹿与蚂蚁身高的“平均”；是猎豹与乌龟速度的“平均数”。要想使“平均数”符合中国的实际，反映百姓的真实现状，就必须在搞“平均数”的时候，分清行业、职业、地域、贫富等情况。现在搞出来的“平均数”，平均值越大，越不真实；平均值越大，说明贫富差距越大；平均值越大，说明大多数人的怨气越大。请一些地方政府不要再用什么“平均数”来欺骗上级，胡弄百姓了。

第55页，共159页，2023年，2月20日，星期四离差的概念12345678-1-1-213《统计学》第四章统计特征值第56页，共159页，2023年，2月20日，星期四[例]设市场上某种蔬菜早市每公斤2.2元，午市每公斤2.0元，晚市每公斤1.8元，平均每公斤蔬菜的价格是多少？采用简单调和平均数方法算术平均的困惑第57页，共159页，2023年，2月20日，星期四【例】

设X=（2，4，6，8），则其调和平均数可由定义计算如下：⒉再求算术平均数：⒈求各标志值的倒数：，，，⒊再求倒数：是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又叫倒数平均数调和平均数《统计学》第四章统计特征值第58页，共159页，2023年，2月20日，星期四A.简单调和平均数——适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况式中：为调和平均数;为变量值的个数；为第个变量值。调和平均数的计算方法《统计学》第四章统计特征值第59页，共159页，2023年，2月20日，星期四B.加权调和平均数——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中：为第组的变量值；为第组的标志总量。调和平均数的计算方法《统计学》第四章统计特征值第60页，共159页，2023年，2月20日，星期四——当己知各组变量值和标志总量时，作为算术平均数的变形使用。因为：调和平均数的应用《统计学》第四章统计特征值第61页，共159页，2023年，2月20日，星期四x、f

为已知若只知

x和xf

，而f

未知，则不能使用加权算术平均方式，只能使用其变形即加权调和平均方式。

苹果单价购买量总金额品种（元）（公斤）（元）红富士236青香蕉1.859《统计学》第四章统计特征值第62页，共159页，2023年，2月20日，星期四日产量（件）各组工人日总产量（件）10111213147001100456019501400合计9710【例】某企业某日工人的日产量资料如下：计算该企业该日全部工人的平均日产量。调和平均数的应用《统计学》第四章统计特征值第63页，共159页，2023年，2月20日，星期四即该企业该日全部工人的平均日产量为12.1375件。调和平均数的应用解《统计学》第四章统计特征值第64页，共159页，2023年，2月20日，星期四比值的平均数的计算方法由于比值（平均数或相对数）不能直接相加，求解比值的平均数时，需将其还原为构成比值的分子、分母原值总计进行对比设比值

分子变量分母变量则有：《统计学》第四章统计特征值第65页，共159页，2023年，2月20日，星期四己知，采用基本平均数公式己知，采用加权算术平均数公式己知，采用加权调和平均数公式比值《统计学》第四章统计特征值比值的平均数的计算方法第66页，共159页，2023年，2月20日，星期四【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）计划产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合计—1824900计算该公司该季度的平均计划完成程度。《统计学》第四章统计特征值比值的平均数的计算方法第67页，共159页，2023年，2月20日，星期四【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）计划产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合计—1824900计算该公司该季度的平均计划完成程度。分析：应采用加权算术平均数公式计算《统计学》第四章统计特征值比值的平均数的计算方法第68页，共159页，2023年，2月20日，星期四【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：组别企业数（个）计划产值（万元）实际产值（万元）12342310380025001720044006802375180605060合计182490026175计算该公司该季度的平均计划完成程度。《统计学》第四章统计特征值比值的平均数的计算方法第69页，共159页，2023年，2月20日，星期四【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：组别企业数（个）计划产值（万元）实际产值（万元）12342310380025001720044006802375180605060合计182490026175计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值的平均数的方法分析：应采用平均数的基本公式计算《统计学》第四章统计特征值第70页，共159页，2023年，2月20日，星期四是N项变量值连乘积的开N次方根。几何平均数用于计算现象的平均比率或平均速度应用：各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；相乘的各个比率或速度不为零或负值。应用的前提条件：《统计学》第四章统计特征值第71页，共159页，2023年，2月20日，星期四A.简单几何平均数——适用于总体资料未经分组整理尚为原始资料的情况式中：为几何平均数;为变量值的个数；为第个变量值。几何平均数的计算方法《统计学》第四章统计特征值第72页，共159页，2023年，2月20日，星期四【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整个流水生产线产品的平均合格率。分析：设最初投产100A个单位，则第一道工序的合格品为100A×0.95；第二道工序的合格品为（100A×0.95）×0.92；

……第五道工序的合格品为（100A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；《统计学》第四章统计特征值第73页，共159页，2023年，2月20日，星期四因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，故该流水线总的合格品应为100A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；则该流水线产品总的合格率为：即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。《统计学》第四章统计特征值第74页，共159页，2023年，2月20日，星期四因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，故该流水线总的合格品应为100A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；则该流水线产品总的合格率为：即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。解：《统计学》第四章统计特征值第75页，共159页，2023年，2月20日，星期四思考若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生产线，而是五个独立作业的车间，且各车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均为100件，求该企业的平均合格率。几何平均数的计算方法《统计学》第四章统计特征值第76页，共159页，2023年，2月20日，星期四

因各车间彼此独立作业，所以有第一车间的合格品为：100×0.95；第二车间的合格品为：100×0.92；

……

第五车间的合格品为：100×0.80。则该企业全部合格品应为各车间合格品的总和，即总合格品=100×0.95+……+100×0.80几何平均数的计算方法分析：《统计学》第四章统计特征值第77页，共159页，2023年，2月20日，星期四不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。又因为应采用加权算术平均数公式计算，即《统计学》第四章统计特征值第78页，共159页，2023年，2月20日，星期四B.加权几何平均数——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中：为几何平均数;为第组的次数；为组数；为第组的标志值或组中值。几何平均数的计算方法《统计学》第四章统计特征值第79页，共159页，2023年，2月20日，星期四【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为3﹪，2年为5﹪，2年为8﹪，3年为10﹪，1年为15﹪。求平均年利率。设本金为V，则至各年末的本利和应为：第1年末的本利和为：第2年末的本利和为：………………第12年末的本利和为：分析：第2年的计息基础第12年的计息基础《统计学》第四章统计特征值第80页，共159页，2023年，2月20日，星期四则该笔本金12年总的本利率为：即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。解：《统计学》第四章统计特征值第81页，共159页，2023年，2月20日，星期四几何平均数的计算方法思考若上题中不是按复利而是按单利计息，且各年的利率与上相同，求平均年利率。分析第1年末的应得利息为：第2年末的应得利息为：第12年末的应得利息为：…………设本金为V，则各年末应得利息为：《统计学》第四章统计特征值第82页，共159页，2023年，2月20日，星期四则该笔本金12年应得的利息总和为：=V（0.03×4+0.05×2+……+0.15×1）

这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。因为假定本金为V《统计学》第四章统计特征值第83页，共159页，2023年，2月20日，星期四所以，应采用加权算术平均数公式计算平均年利息率，即：解：（比较：按复利计息时的平均年利率为6.85﹪）《统计学》第四章统计特征值第84页，共159页，2023年，2月20日，星期四是否为比率或速度各个比率或速度的连乘积是否等于总比率或总速度是否为其他比值是否否是否是几何平均法算术平均法求解比值的平均数的方法数值平均数计算公式的选用顺序指标《统计学》第四章统计特征值第85页，共159页，2023年，2月20日，星期四四种数值平均数均源于一个通式：《统计学》第四章统计特征值第86页，共159页，2023年，2月20日，星期四四种数值平均数均源于一个通式：《统计学》第四章统计特征值第87页，共159页，2023年，2月20日，星期四四种数值平均数均源于一个通式：《统计学》第四章统计特征值第88页，共159页，2023年，2月20日，星期四四种数值平均数均源于一个通式：《统计学》第四章统计特征值第89页，共159页，2023年，2月20日，星期四k=-1k=0k=1k=2就同一资料计算时，有：即：k值越大，平均数值越大。《统计学》第四章统计特征值第90页，共159页，2023年，2月20日，星期四设x取值为：４、４、５、５、５、10

<<<算术平均与几何平均更为常用一些，其中几何平均数对小的极端值敏感，算术平均数对大的极端值敏感。《统计学》第四章统计特征值第91页，共159页，2023年，2月20日，星期四某系83名女生身高资料（按序排列）次序统计量的概念

身高人数（CM）（人）

152115421552156415711582159216012161716281634

身高人数（CM）（人）

1643165816651673168716911705171217231741总计

83152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174将变量值按顺序排列起来，当反映分布集中趋势的度量值仅仅由数列中某个位置的值来确定时，这个值就称为次序统计量，也可以称为位置平均数。位置平均数与数值平均数的基本区别在于其不需要依据每一个变量值来计算。《统计学》第四章统计特征值第92页，共159页，2023年，2月20日，星期四某系83名女生身高资料（按序排列）次序统计量的概念

身高人数（CM）（人）

152115421552156415711582159216012161716281634

身高人数（CM）（人）

1643165816651673168716911705171217231741总计

83将变量值按顺序排列起来，当反映分布集中趋势的度量值仅仅由数列中某个位置的值来确定时，这个值就称为次序统计量，也可以称为位置平均数。位置平均数与数值平均数的基本区别在于其不需要依据每一个变量值来计算。152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174数列中点的值即第42个值《统计学》第四章统计特征值第93页，共159页，2023年，2月20日，星期四将总体各单位标志值按大小顺序排列后，指处于数列中间位置的标志值，用表示中位数不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。中位数的作用：位置平均数中位数把标志值数列分为两个部分,一部分标志值小于或等于它,另一部分标志值大于或等于它.第94页，共159页，2023年，2月20日，星期四中位数的位次为：即第3个单位的标志值就是中位数【例A】某售货小组5个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元，则中位数的确定（未分组资料）《统计学》第四章统计特征值第95页，共159页，2023年，2月20日，星期四中位数的位次为中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即【例B】若上述售货小组为6个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元、760元，则中位数的确定（未分组资料）《统计学》第四章统计特征值第96页，共159页，2023年，2月20日，星期四【例C】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）10111213147010038015010070170550700800合计800—计算该企业该日全部工人日产量的中位数。中位数的位次：中位数的确定（单值数列）《统计学》第四章统计特征值第97页，共159页，2023年，2月20日，星期四中位数的确定（组距数列）【例D】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合计50—计算该车间工人月产量的中位数。《统计学》第四章统计特征值第98页，共159页，2023年，2月20日，星期四中位数的确定（组距数列）共个单位共个单位共个单位共个单位LU中位数组组距为d共个单位假定该组内的单位呈均匀分布共有单位数

中位数下限公式为

该段长度应为《统计学》第四章统计特征值第99页，共159页，2023年，2月20日，星期四中位数一定存在；中位数与算术平均数相近；中位数不受极端值影响；变量值与中位数离差绝对值之和最小。中位数的作用及用法《统计学》第四章统计特征值第100页，共159页，2023年，2月20日，星期四中位数一定存在；中位数与算术平均数相近；中位数不受极端值影响；变量值与中位数离差绝对值之和最小。中位数的作用及用法

变量值3

4

5

5

6

9

10中位数5平均值6与中位数离差-2-100145与平均数离差-3-2-1-1034绝对数值之和

13

14《统计学》第四章统计特征值第101页，共159页，2023年，2月20日，星期四指总体中出现次数最多的变量值，用表示,它不受极端数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。众数位置平均数第102页，共159页，2023年，2月20日，星期四众数（mode）：出现次数最多即出现频率最高的变量值。

身高人数（CM）（人）

152115421552156415711582159216012161716281634

身高人数（CM）（人）

1643165816651673168716911705171217231741总计

83152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174《统计学》第四章统计特征值第103页，共159页，2023年，2月20日，星期四众数的确定方法某年级83名女生身高资料

身高人数（CM）（人）

152115421552156415711582159216012161716281634

身高人数（CM）（人）

1643165816651673168716911705171217231741总计

83《统计学》第四章统计特征值第104页，共159页，2023年，2月20日，星期四

身高人数比重（CM）（人）（%）

150-15533.61155-1601113.25160-1653440.96165-1702428.92170以上1113.25

总计83100某年级83名女生身高资料众数的确定方法概约众数：众数所在组的组中值，在本例为162.5cm《统计学》第四章统计特征值第105页，共159页，2023年，2月20日，星期四定类数据的众数

(算例)表3-1某城市居民关注广告类型的频数分布

广告类型人数(人)比例频率(%)商品广告服务广告金融广告房地产广告招生招聘广告其他广告112519161020.5600.2550.0450.0800.0500.01056.025.54.58.05.01.0合计2001100【例】根据表中的数据，计算众数解：这里的变量为“广告类型”，这是个定类变量，不同类型的广告就是变量值。我们看到，在所调查的200人当中，关注商品广告的人数最多，为112人，占总被调查人数的56%，因此众数为“商品广告”这一类别，即

Mo＝商品广告第106页，共159页，2023年，2月20日，星期四定序数据的众数

(算例)【例】根据表中的数据，计算众数解：这里的数据为定序数据。变量为“回答类别”。甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即

Mo＝不满意表

甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)百分比(%)

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意24108934530836311510合计300100.0第107页，共159页，2023年，2月20日，星期四日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800【例A】已知某企业某日工人的日产量资料如下:众数的确定（单值数列）计算该企业该日全部工人日产量的众数。《统计学》第四章统计特征值第108页，共159页，2023年，2月20日，星期四众数的确定（组距数列）【例B】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合计50—计算该车间工人月产量的众数。概约众数：众数所在组的组中值，在本例为500件第109页，共159页，2023年，2月20日，星期四众数的原理及应用83名女生身高原始数据83名女生身高组距数列《统计学》第四章统计特征值第110页，共159页，2023年，2月20日，星期四当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数；当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数）众数的原理及应用《统计学》第四章统计特征值第111页，共159页，2023年，2月20日，星期四出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0160140120100806040200没有突出地集中在某个年份413名学生出生时间分布直方图众数的原理及应用（无众数）《统计学》第四章统计特征值第112页，共159页，2023年，2月20日，星期四192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名学生的身高分布直方图（双众数）当数据分布呈现出双众数或多众数时，可以断定这些数据来源于不同的总体。出现了两个明显的分布中心《统计学》第四章统计特征值第113页，共159页，2023年，2月20日，星期四集中趋势弱、离散趋势强集中趋势强、离散趋势弱《统计学》第四章统计特征值第114页，共159页，2023年，2月20日，星期四平均指标之间的关系

第115页，共159页，2023年，2月20日，星期四众数、中位数和均值的关系对称分布

均值=中位数=众数左偏分布均值

中位数

众数右偏分布众数

中位数

均值第116页，共159页，2023年，2月20日，星期四众数、中位数和平均数的特点和应用1、众数◆不受极端值影响。◆具有不唯一性。◆数据分布偏斜程度大时应用。2、中位数◆不受极端值影响。◆数据分布偏斜程度大时应用。3、平均数◆易受极端值影响。◆数学性质优良。◆数据对称分布或接近对称分布时应用。第117页，共159页，2023年，2月20日，星期四第118页，共159页，2023年，2月20日，星期四练习根据某城市住户家庭月收入的抽样调查资料计算的众数为1040元，中位数为1128.57元，问平均数为多少？其分布呈何形态？解：说明该城市住户家庭月收入分布呈右偏态分布。也说明收入分配中算术平均偏向高端，多数居民低于算术平均数。第119页，共159页，2023年，2月20日，星期四第四节离散趋势的测度

标志变异指标统计上用来反映总体各单位标志值之间差异程度大小的综合指标，也称做标志变动度。

平均指标是一个代表性数值，它反映总体各单位某一数量标志的一般水平，而把总体各单位之间的差异抽象化了。但总体各单位之间的差异是客观存在的，这种差异也是统计总体的重要特征之一。因此，要全面反映一个总体的特征，还必须测定总体各单位之间差异程度。

作用1、衡量平均指标代表性的大小2、反映社会经济活动过程的均衡性和稳定性第120页，共159页，2023年，2月20日，星期四测定标志变异度的绝对量指标（与原变量值名数相同）测定标志变异度的相对量指标（表现为无名数）全距平均差标准差全距系数平均差系数标准差系数标志变异指标的种类《统计学》第四章统计特征值第121页，共159页，2023年，2月20日，星期四指所研究的数据中，最大值与最小值之差，又称极差。全距最大变量值或最高组上限或开口组假定上限最小变量值或最低组下限或开口组假定下限【例A】某售货小组5人某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，则《统计学》第四章统计特征值标志变异指标的种类第122页，共159页，2023年，2月20日，星期四【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）计划产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合计—1824900计算该公司该季度计划完成程度的全距。《统计学》第四章统计特征值标志变异指标的种类第123页，共159页，2023年，2月20日，星期四优点:计算方法简单、易懂；缺点:易受极端数值的影响，不能全面反映所有标志值差异大小及分布状况，准确程度差往往应用于生产过程的质量控制中全距的特点《统计学》第四章统计特征值标志变异指标的种类第124页，共159页，2023年，2月20日，星期四⑴简单平均差——适用于未分组资料是各个数据与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，用A.D

表示平均差计算公式：总体算术平均数总体单位总数第个单位的变量值《统计学》第四章统计特征值标志变异指标的种类第125页，共159页，2023年，2月20日，星期四【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。解：即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元《统计学》第四章统计特征值标志变异指标的种类第126页，共159页，2023年，2月20日，星期四⑵加权平均差——适用于分组资料平均差的计算公式总体算术平均数第组变量值出现的次数第组的变量值或组中值《统计学》第四章统计特征值第127页，共159页，2023年，2月20日，星期四【例B】计算下表中某公司职工月工资的平均差月工资（元）组中值（元）职工人数（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合计—2000《统计学》第四章统计特征值第128页，共159页，2023年，2月20日，星期四解：即该公司职工月工资的平均差为138.95元《统计学》第四章统计特征值第129页，共159页，2023年，2月20日，星期四优点:不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和参与统计分析运算。平均差的特点一般情况下都是通过计算另一种标志变异指标——标准差，来反映总体内部各单位标志值的差异状况《统计学》第四章统计特征值第130页，共159页，2023年，2月20日，星期四⑴简单标准差——适用于未分组资料是各个数据与其算术平均数的离差平方的算术平均数的开平方根，用来表示；标准差的平方又叫作方差，用来表示。标准差计算公式：总体单位总数第个单位的变量值总体算术平均数《统计学》第四章统计特征值第131页，共159页，2023年，2月20日，星期四【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的标准差。解：（比较：其销售额的平均差为93.6元）即该售货小组销售额的标准差为109.62元。《统计学》第四章统计特征值第132页，共159页，2023年，2月20日，星期四⑵加权标准差——适用于分组资料标准差的计算公式总体算术平均数第组变量值出现的次数第组的变量值或组中值《统计学》第四章统计特征值第133页，共159页，2023年，2月20日，星期四【例B】计算下表中某公司职工月工资的标准差。月工资（元）组中值（元）职工人数（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合计—2000《统计学》第四章统计特征值第134页，共159页，2023年，2月20日，星期四解：（比较：其工资的平均差为138.95元）即该公司职工月工资的标准差为167.9元。《统计学》第四章统计特征值第135页，共159页，2023年，2月20日，星期四由同一资料计算的标准差的结果一般要略大于平均差。证明：当a,b,c≥0时，有标准差的特点不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；用平方的方法消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，可方便地用于数学处理和统计分析运算.《统计学》第四章统计特征值第136页，共159页，2023年，2月20日，星期四简单标准差加权标准差标准差的简捷计算避免离差平方和计算过程的出现目的:变量值平方的平均数变量值平均数的平方《统计学》第四章统计特征值第137页，共159页，2023年，2月20日，星期四测定标志变异度的绝对量指标（与原变量值名数相同）测定标志变异度的相对量指标（表现为无名数）全距平均差标准差全距系数平均差系数标准差系数标志变异指标的种类《统计学》第四章统计特征值第138页，共159页，2023年，2月20日，星期四可比变异系数指标《统计学》第四章统计特征值第139页，共159页，2023年，2月20日，星期四身高的差异水平：cm体重的差异水平：kg用变异系数可以相互比较可比《统计学》第四章统计特征值第140页，共159页，2023年，2月20日，星期四平均差系数标准差系数变异系数用来对比不同水平的同类现象，特别是不同类现象总体平均数代表性的大小:——标准差系数小的总体，其平均数的代表性大；反之，亦然。应用:《统计学》第四章统计特征值各种变指标与其算术平均数之比。一般用V表示。第141页，共159页，2023年，2月20日，星期四【例】某年级一、二两班某门课的平均成绩分别为82分和76分，其成绩的标准差分别为15.6分和14.8分，比较两班平均成绩代表性的大小。解：一班成绩的标准差系数为：二班成绩的标准差系数为：因为，所以一班平均成绩的代表性比二班大。《统计学》第四章统计特征值第142页，共159页，2023年，2月20日，星期四【例】某工厂生产两种包装的儿童膨化食品，一种是规定净重50克的小袋装，另一种是规定净重500克的大袋装。每种各取10袋测得其实际净重如下小袋装49485053484952515150大袋装510498496493505508515490510502第143页，共159页，2023年，2月20日，星期四是非标志总体分组单位数变量值具有某一属性不具有某一属性10合计—为研究是非标志总体的数量特征，令指总体中全部单位只具有“是”或“否”、“有”或“无”两种表现形式的标志，又叫交替标志是非标志《统计学》第四章