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文档简介

第四章第二节幂级数第1页，共22页，2023年，2月20日，星期三一、幂级数的敛散性1.幂级数定义具有形式的级数称为幂级数.其中第2页，共22页，2023年，2月20日，星期三2.阿贝尔(Abel)定理证明从而它的通项序列必有界,即有正数M,使

第3页，共22页，2023年，2月20日，星期三为收敛的等比级数,

这样即有第4页，共22页，2023年，2月20日，星期三第5页，共22页，2023年，2月20日，星期三3.(4.3)敛散性讨论(1)对所有的复数除

z=a

外都发散.此时,级数在复平面内除点a外处处发散.通项不趋于零,

故级数发散.第6页，共22页，2023年，2月20日，星期三例如,级数对任意固定的z,

从某个n开始,

总有于是有故该级数对任意的z均收敛.(2)对所有的复数都收敛由Abel定理知:级数在复平面上处处绝对且内闭一致收敛.第7页，共22页，2023年，2月20日，星期三如图:幂级数的收敛范围是以点a为中心的圆域..收敛圆收敛半径(3)既存在使级数发散的复数,也存在使级数收敛的复数.第8页，共22页，2023年，2月20日，星期三答案:

幂级数的收敛范围是何区域?问题1:在收敛圆周上是收敛还是发散,不能注意问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.第9页，共22页，2023年，2月20日，星期三例如,级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛.第10页，共22页，2023年，2月20日，星期三(4)收敛半径的定义注:一个幂级数在收敛圆周上有三种情况（ⅰ）处处收敛;（ⅱ）处处发散;（ⅲ）既有收敛点,也有发散点.第11页，共22页，2023年，2月20日，星期三二、收敛半径的求法定理4.12第12页，共22页，2023年，2月20日，星期三由上节定理,证明由于收敛.第13页，共22页，2023年，2月20日，星期三所以收敛半径为[证毕]即假设不成立.据阿贝尔定理,第14页，共22页，2023年，2月20日，星期三例1求下列幂级数的收敛半径:(1)(2)或解(1)因为所以收敛半径第15页，共22页，2023年，2月20日，星期三(2)(3)第16页，共22页，2023年，2月20日，星期三定理4.13(1)幂级数三、幂级数和的解析性(4.6)与(4.5)有相同的收敛半径;第17页，共22页，2023年，2月20日，星期三证明由Abel定理,幂级数故由Weierstrass定理,

第18页，共22页，2023年，2月20日，星期三注1(4.5)可沿K内曲线C逐项积分,且收敛半径与(4.5)相同.简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;

幂级数可逐项求导,逐项积分.(常用于求和函数)即第19页，共22页，2023年，2月20日，星期三例2求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以第20页，共22页，2023年，2月20日，星期三例3求级数的收敛半径与和函数.解第21页，共22页

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