斯托克斯公式环流量旋度

1.斯托克斯公式3＊.汉密尔顿处算子2.环流量与旋度

8.5

斯托克斯公式

、环流量与旋度

一、斯托克斯(Stokes)公式定理8.5.1

设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,(斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数,的侧与的正向符合右手法则,在包含在内的一证情形1

与平行z轴的直线只交于一点,

设其方程为为确定起见,不妨设取上侧(如图)则有则(利用格林公式)

（说明）(C是Dxy的正向边界，也是Γ在面xOy上的投影)

等号成立的理由：（i）函数

在C上点(x，y)处的值与函数在Γ上对应点处的值是一样的；（ii）Γ及C上对应的小弧段在x轴上的投影也是一样的。因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式。情形2

曲面与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.注意:

如果是xoy面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:例1

利用斯托克斯公式计算积分其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个解记三角形域为,取上侧,则边界,方向如图所示.利用对称性或例2为柱面与平面y=z的交线,从z轴正向看为顺时针,计算解设为平面z=y上被所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦例3

利用斯托克斯公式计算曲线积分其中Γ是用平面截立方体：0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1的表面所得的截痕，若从Ox轴的正向看去，取逆时针方向(如图（a））。

解取∑为平面的上侧被Γ所围成的部分，∑的单位法向量即（a）(0,1,1)zxyO(0,1,0)(1,0,0)ΓΣ按斯托克斯公式，有因为在Σ上，故其中Dxy为Σ在xOy平面上的投影区域（如图（b）），σxy

为Dxy的面积，因故xyODxy111/21/2（b）二、环流量与旋度斯托克斯公式设曲面的法向量为曲线的单位切向量为则斯托克斯公式可写为令,引进一个向量记作向量rotA称为向量场A的称为向量场A定义沿有向闭曲线的环流量。或①于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度。rotation设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则角速度为,点M

的线速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:向量场A

产生的旋度场穿过的通量注意与的方向形成右手系!

为向量场A沿的环流量斯托克斯公式①的物理意义:例4求电场强度的旋度.解(除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋。例5

，求rot(gradu)。解一般地，设二阶偏导数连续，则二阶偏导连续的函数的梯度场是无旋场。的外法向量,计算解

例6设*三、汉密尔顿算子定义向量微分算子:它又称为▽(Nabla)算子,或汉密尔顿(Hamilton)算子.则则高斯公式与斯托克斯公式可写成:内容小结1.斯托克斯公式2.场论中的三个重要概念设

梯度:散度:旋度:则思考与练习则提示:三式相加即得斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家.他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一,其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法,在1845年他导出了著名