高考复习体系-高考母题A-第一论母题-函数-“黄冈杯”一等奖

东北师大附中高三数学（文、理）第一轮复习009函数（九）函数的应用（2课时）一．高考考点：1、函数知识的简单应用，函数的最值；2、综合应用函数知识解决有关实际应用问题；3、函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识结合的综合问题；二．知识点归纳1．函数应用的常见题型：（1）根据参数的范围，讨论含有参数的方程式（或不等式）的解的各种情况；（2）由含有参数的方程（或不等式）的解的情况，确定参数的取值范围，特别要注意对“不规则”的方程要考虑数形结合方法．2．综合应用主要体现在以下三个方面：（1）函数内容本身的相互结合；（2）函数与其他数学知识的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合，这里主要体现函数思想及方法的应用；（3）应用问题的综合，主要体现在数学模型的构造和函数关系式的建立．3．运用函数知识解应用题，通常分三步：（1）阅读理解，即读懂题目中的文字叙述所反应的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及数学含义；（2）数学模型：即根据各个量的关系，建立目标函数，将实际问题转化为数学问题；（3）运用函数知识，解决数学问题，得出结论并给出实际问题的结论．4．在解应用题时，应注意下面两点：（1）函数的定义域始终影响着求解的全过程，在研究函数的问题时，应首先考虑定义域；（2）含参数的函数问题，常需要应用函数知识对参数进行分类讨论．CBACBAD【例1】铁路上AB段长100公里，工厂C到铁路的距离CA为20公里，现在要在AB上某一点D处，向C修一条公路，已知铁路每吨公里与公路公里之比为3：5，为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省，D点应选在何处？【例2】已知平面向量，（1）证明：；（2）如存在不为零的实数t，x，y，使得，试求函数y=f（x）的表达式；（3）当x∈[0，1]时，是否存在不小于2的实数t，使f（x）有最大值12？若存在，求出t的值；不存在，说明理由【例3】某工厂生产某种产品x（百台），总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，每生产100台增加成本1万元，销售收入R（x）=，假设该产品产销平衡，（1）要不生产亏损，产量数x应控制在什么范围？（2）生产多少台时可使利润最大？（3）求使利润最大时产品的售价？四．巩固练习：1．东方旅社有100张普通客床，每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张床租出；再提高2元，再减少10张床租出，依次变化下去，为了投资少而获利大，每床每夜应提高租金（）（A）4元（B）6元（C）4元或6元（D）10元8242082420yx为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为（）（A）x=15，y=12（B）x=12，y=15（C）x=14，y=10（D）x=10，y=143．已知函数是（）4．从盛满20L纯酒精的容器里倒出1L酒精，然后用水填满，再倒出1L混合溶液，再用水填满，这样继续下去，如果倒出第k次（k≥1）时，共倒出纯酒精xL，倒第k+1次时共倒出纯酒精f（x）L，则f（x）的表达式为（假设酒精与水混合后相对体积不变）（）小时（不计货车的车身长）．6．（1）一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，写出年产量随经过年数变化的函数关系式．（2）一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，写出成本随经过年数变化的函数关系式．7．的值为．8．某自来水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为120吨（0≤t≤24），问：（1）每天几点时蓄水池中的存水量最少？（2）若池中存水量不多于80吨时，就会出现供水紧张现象，则每天会有几个小时出现这种现象？9．某种商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税p元（即税率为p%），因此每年销售量将减少万件，（1）将政府每年对该商品征收的总税金y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（2）要使政府在此经营中每年收取的税金不少于128万元，问税率p%应怎样确定？（3）在所收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则应如何确定p值？10．设y=f（x）是定义在区间[－1，1]上的函数，且满足条件：（Ⅰ）f（－1）=f（1）=0；（Ⅱ）对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|．（1）证明：对任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f（x）≤1－x；（2）判断函数是否满足题设条件；（3）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|．若存在，请举一例；若不存在，请说明理由．参考答案：小结：（1）本题应用导数求解较为方便简捷；（2）本例利用判别式法求值域是解决有关二次函数最值问题的很实用的办法，但要注意的是二次函数的条件；（3）此题也可设∠ACD=去做．例2．分析：利用垂直条件求出f（x），利用f/（x）的正负得单调性再利用最值．（1）证明：（2）解：，而（3）解：若存在t满足条件，则f/（x）=2t－12x2（t≥2）由f/（x）=0，得当上递增；当．综上，当x∈[0，1]时，存在不小于2的常数t=8，使f（x）有最大值12．小结：向量、导数与函数的综合应引起重视，特别是导数与单调性、最值有关的题尤其重要．例3．分析：“利润=销售收入R（x）－总成本为G（x）”是思维主线．解：（1）生产x百台的成本为2+x万元．当0≤x≤4时，利润为（2）当0≤x≤4时，利润，当x=3时，利润有最大值2（万元）；当x>4时，利润－x<．综上，产量为3百台时可使利润最大．（3）售价为，当x=3时，产品售价为所以，产品利润最大时，每百台的售价约为万元．小结：本题背景是产品的销售收入、成本、利润的问题，是一类常见的数学问题，反映了数学对解决实际问题的应用．参考答案：1．C；设每床每夜提高2x元，获利y元，则2．A；3．B；4．B；5．8；，当且仅当；；7．5；；8．解：（1）设t点时（即从零点起，t小时后），池中的存水量为y吨，则即每天早晨6点时蓄水池中的存水量最少，仅剩40吨．（2）池中的存水将不多于80吨，由知，每天将有8个小时出现供水紧张现象．9．解：（1）由题意，该商品年销售量为万件，年销售收入为60万元．故所求函数为y=60·p%．由>0，且p>0得，定义域为（0，12）．（2）由y≥128，得60·p%≥128，化简得p2－12p+32≤0，（p－4）（p－8）≤0，解得4≤p≤8．故当税率在[4%，8%]内时，政府收取税金将不少于128万元．（3）当政府收取的税金不少于128万元时，厂家的销售收入为g（p）=60（4≤p≤8）．∴g（p）为减函数，∴[g（p）]max=g（4）=3200（万元）．故当税率为4%时，厂家销售金额最大，且国家所收税金又不少于128万元．10．（1）由题设条件可得，当x∈[－1，1]，有|f（x）|=|f（x）－f（1）|≤|x―1|=1―x，即x－1≤f（x）≤1－x．（2）解：函数g（x）满足题设条件．验证如下：g（－1）=0=g（1）．对任意的u，v∈[－1，1]，当u，v∈[0，1]时，有|g（u）－g（v）|=|（1－u）－（1－v）|=|u－v|；当u，v∈[－1，1]时，同理有|g（u）－g（v）|==|u－v|；当u·v＜0时，不妨设，有|g（u）－g（v）|=|（1+u）－（1－v）