高考复习体系-高考母题B-数列 省赛一等奖

课题5数列的实际应用课前预习识记考点1．现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率等实际问题，常常考虑用数列知识加以解决．2．理解“复利”的概念，掌握分期付款中的有关计算方法．3．能够把实际问题转化成数列问题，并且能够明确是等差数列还是等比数列，确定首项，公差(比)，项数各是什么，能分清是某一项还是某些项的和，并能运用有关知识得到正确解答．4．在实际应用题中，对的增加(减少)量为常数时，是等差数列；若对的增长(降低)率为常数p时，是等比数列，且公比为l+p．5．在溶液浓度的计算中，关键是两个基本公式：溶质÷溶液=浓度，溶质+溶剂=溶液，依题设的数量关系，构建相应数列，进一步求解．考前热身考点点击1．随着计算机技术的迅猛发展，电脑的价格不断降低，若每隔4年电脑的价格降低三分之一，则现在价格8100元的电脑12年后的价格可降为()(A)2400元(B)2700元(C)3000元(D)3600元2．某厂在1992年底制订生产计划。要使2002年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为()(A)－1(B)(C)－1(D)－13．某工厂总产值月平均增长率为p，则年平均增长率为()(A)p(B)12p(C)(D)－l4．(内蒙古·北京·安徽春招题)根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量(万件)近似地满足=(n=l，2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是()(A)5月、6月(B)6月、7月(C)7月、8月(D)8月、9月4．(上海高考题)1992年底世界人口达到54．8亿，若人口的年平均增长率为x％，2000年底世界人口数为y(亿)，那么)y与x的函数关系式是____________.课堂互动讲解重点[例l]（2004上海春招）某市2003年共有l万辆燃油型公交车．有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50％，试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力公交车?(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的?解析(1)该市逐年投人的电力型公交车的数量组成等比数列{}，其中=128，q=，则在2010年应该投入的电力型公交车为=q6=128×1．56=1458(辆)．(2)记=++…+，依据题意，得，于是=5000(辆)，即，则，因此≥8．所以．到2011年底，电力型公交车的数量超过该市公交车总量的．[例2](2001年全国高考题)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为万元，旅游业总收入为万元．写出，；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?思路通过审题知，对(1)，分别是两个等比数列的前n项和；对(2)只须解不等式－>0．解析(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－）万元，第n年投入为800×万元．所以，n年内的总投人为=800+800×（1－）+…+800×==4000×第1年旅游业收人为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)万元，…，第n年旅游业收人为400×万元．所以，n年内的旅游业总收人为=400+400×(1+)+400×==1600×．(2)设至少经过n年旅游业的总收人才能超过总投入，由此－>0，即1600×－4000×>0．化简得，设，代入上式得5x2－7x+2>0，解此不等式，得，x>l(舍去)．即<，由此得n≥5.答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.讨论难点[例3]某职工年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，低息贷款年利率为2％，按复利计息(即本年的利息计人次年的本金生息)．若这次贷款要求分10次等额还清，每年一次，从贷款次年年初开始还，问每年应还多少元?(精确到元)思路这是分期付款问题，用最后一次还款余额为0布列方程求解．解析设每年还款x元，第n年还款后余额为．依题意得：答：每年应还2226元．点评此类贷款问题的一般情形是：设贷款额(元)。贷款年利率α，等额归还x元，第n年还清．则有计算公式．这正是分期付款计算规定的理论依据．[例4]容器A中盛有浓度为a％的农药m升，容器B中盛有浓度为b％的同种农药也是m升．两种农药的浓度差为20％(a>b)．现将A中农药的倒入B中，均匀混合后再由B倒入A．恰好使A中保持m升(将A中的倒入B．均匀混合后由B倒回A，使A保持m升不变．这样叫做一次操作)，欲使两种农药的浓度差小于l％，那么至少要操作多少次?(下列对数值可供选用：lg5=,1g6=思路记k次操作后A、B两容器中的溶质分别为、．找到两数列{}、{}的递推关系，构造等比数列，求出浓度差的表达式．通过解不等式求出k的最小值．解析设A中溶质为，B中溶质为b1．操作k次后．A、B中溶质分别为、．则=m·a％,b1=m·b％,又a％－b％=20％，∴－b1=20％m,依题意，的故{－}是首项为－b1=20％m．公比为的等比数列．故至少操作7次后，浓度差小于1％．随堂小结方法提炼1．数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容．解答数学应用问题的核心是建立数学模型．有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．2．在试题中常用的数学模型有①构造等差、等比数列的模型，然后再去应用数列的通项公式和求和公式求解，②用无穷递缩等比数列的求和公式求解；③通过归纳得到结论．当用数列知识求解．3．建立数学模型的一般方法步骤是：(1)认真审题．准确理解题意．达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题②弄清题目中的主要已知事项③明确所求的结论是什么(2)抓住数量关系．联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表让．(3)将实际问题抽象为数学问题．将已知与所求联系起来．据题意列出满足题意的数学关系式(如函数关系式或方程或不等式)．4．建立数列模型时．应叫确是等差数列模型还是等比模型，还是递推数列模型?是还是求，n是多少?变式训练能力进阶一、选择题1．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长％”．如果“十·五”期间(2001年—2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五(A)115000亿元(B)120000亿元(C)127000亿元(D)135000亿元2．某商品的零售价2001年比2000年上涨25％．欲控制2002年比2000年上涨10％．则2002年应比2001年降低()(A)15％(B)12％(C)10％(D)5％3．某地区重视环境保护．绿色植被面积呈上升趋势．经调查，从1986年到1995年这10年间每两年上升2％．1994年和1995年种植绿色植被815万平方米，当地政府决定今后10年内按这个比例发展F去。那么从1996年到1999年种植绿色植被面积为(四舍五入)()(A)848万平方米(B)l679万平方米(c)1173万平方米(D)12494万平方米4．某放射性物质，它的质量每天衰减3％，若此物质衰变到其质量的一半以下．至少需要的天数是1g=－2，=－0)()(A)22(B)23(C)24(D)25二、填空题5．某林场去年底木材存量为a(立方米)．若森林以每年25％的增长率生长。每年冬天要砍伐的木材量为x(立方米),设经过一年林场木材存量为，(1)，经过二年林场木材存量为f(2)，…，经过n年林场木材存量为f(n)(n∈)，则f(n)=____．6．某人零存整取，从银行按月存入n元．月息p％(不计复利)，如果该人一月份开始存．第二年一月份取出．则取出的本息和为_______元．(利息税率为20％)7．某人从1995年起．每年9月1日到银行新存n元一年定期，若年利率r保持不变，且每年到期存款均自动转成新一年的定期，到2000年9月1日将所有的存款及利息全部取回，他取回的钱数是__________元．(假设不扣利息税)三、解答置8．某单位用分期付款方式为职工购买柏套住房，共需l150万元．购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元．并加付欠款利息，月利率为l％．若交150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月。问分期付款的第10个月应付多少钱?全部款付清后，买这套住房实际花了多少钱?9．小华准备购买一台价值6000元的电脑,但现款不够,商店允许分期付款，但必须在一年内将款全部付清．商店提供了两种付款方案，供小华选择．方案类别几次付清付款方法计息方法月利率16次购买后2个月第1次付款。再过2个月第2次付款，…，购买后12个月第6次付款不计复利1%212次购买后1个月第1次付款。再过1个月第2次付款，…，购买后12个月第6次付款按复利计息%问：(1)采用方案l，每期应付款多少?付款总额是多少?(精确到元)(2)采用方案2每期应付款多少?付款总额是多少?(1．00812=1．100)10．（2002年全国高考题）某城市2001年末汽车保有量为30万辆．预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6％，并且每年新增汽车数量相同．为保护城市环境．要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?11．（选做题）1993年初某一万人口贫困地区为了脱贫致富奔小康，将人口增长率控制为2％o，并且利用当地资源优势创办一家企业．这家企业1993年创利润90万元，自1994年开始每年实现利润为前面所有年利润总和的．(1)若以1993年为第1年，试写出这家企业第n年实现利润与n的关系式；(2)设该地区2001年底除上述这家企业外的经济收入可达3000万元．问到2001年底该地区人民生活能否达到“人均年收入5000元”的小康线?(计算时当|a|<0．003时，可采用近似公式)参考答案考前热身